¿Es pi realmente igual a 4?

Esta parece ser la octava vez que veo a alguien confundido acerca de este tema...

Si no comprende el siguiente contenido entre paréntesis, puede omitirlo.

Los dos problemas son similares, sólo se incluye el diagrama esquemático del "número raíz 2=2":

Cuando n es lo suficientemente grande, el zigzag y la hipotenusa se verán infinitamente cercanos Pero la longitud de uno es 2 y la longitud del otro es raíz cuadrada 2. A los ojos de algunas personas, esto es una paradoja.

Al respecto se da la siguiente explicación:

En primer lugar, no existe una definición general del límite de una curva en cálculo elemental. (Sólo se definen límites de secuencia y límites de función, y la teoría de límites general está en el espacio topológico).

En segundo lugar, incluso si se crea una definición, puede describir esta aproximación (debe señalarse que esto El tipo de definición puede no ser único, es posible que la curva C_n converja a la curva C bajo la definición 1, mientras que la curva C_n no tiene límite bajo la definición 2. Se puede considerar que cada método de definición diferente considera diferentes espacios topológicos).

No hay razón para pensar que el límite de la longitud de la curva sea siempre igual a la longitud del límite de la curva. (A menos que la longitud de la curva sea una funcional continua en ese espacio topológico).

De hecho, la importancia matemática de este problema radica en cómo definir "bien" la longitud de la curva.

Primero admitimos que la longitud del segmento de línea es trivial. Para una polilínea finita, la longitud de cada segmento se suma.

Para los arcos, necesitamos usar polilíneas para aproximarlos, pero no al azar, en términos simples, la "dirección" del pequeño segmento de la polilínea debe ser consistente con la curva en circunstancias extremas y no puede variar. atrás.

En el caso unidimensional, la longitud de la curva suele definirse como el supremo de la longitud de la polilínea inscrita.

Aquí, la inscripción puede garantizar que la dirección sea consistente y el supremo reemplaza el concepto de límite complejo. (En cuanto a la situación de retroceder, se ha excluido directamente de la definición de polilínea en los libros generales)

Esta es una "buena" definición.

Según esta definición, los gráficos denominados "pi=4" y "raíz cuadrada 2=2" quedan directamente excluidos. Debido a que esas polilíneas en zigzag no son en absoluto polilíneas inscritas de la curva bajo consideración, naturalmente no hay necesidad de exigir que la longitud converja con la longitud de la curva.

(Sin embargo, en el caso bidimensional, incluso si está inscrito, no se garantiza que la dirección sea consistente. Vea el ejemplo de Schwarz. Incluso si es un cilindro recto simple, el área de ​​su superficie de plegado inscrita es exactamente la misma.

Por lo tanto, la definición estricta del área de la superficie es más complicada que la longitud de la curva. consulte las "Nuevas conferencias sobre análisis matemático" de Zhang Zhusheng

)

Además, no creo que este tema tenga nada que ver con la geometría fractal.

Esto y lim[n*(1/n)]=lim(1/n)+lim(1/n)+...+lim(1/n)=0 +...0=0 cometió el mismo error

Agregue información sobre por qué creo que este problema no tiene nada que ver con la geometría fractal.

En la estructura real del análisis estándar, a diferencia de los copos de nieve de Koch, las curvas con bordes dentados infinitesimales unidos a curvas suaves no tienen significado racional.

Por supuesto, algunas personas dirán que no necesito este tipo de curva con dientes de sierra infinitesimales unidos a la curva suave para existir como una "curva real". Sólo necesito discutir la serie de polilíneas. cumplir ciertas condiciones. La columna de polilínea se define como una "curva generalizada".

Pero también es necesario extender la definición de dimensiones a esta "curva generalizada". En mi opinión, incluso si se puede completar esta definición, entre estos dos problemas, la dimensionalidad más razonable debería ser 1. , no un número mayor que 1. (En los dos ejemplos de "raíz cuadrada 2=2" y "pi=4", la longitud total de la columna de polilínea es un valor finito. Como idea simple, las cosas con dimensiones mayores que 1 no deberían tener una longitud finita. Es más, la dimensión de similitud en el ejemplo de "raíz cuadrada 2=2" es intuitivamente 1)

Se puede explicar más o menos así.

Coloca estas dos imágenes en un sistema de coordenadas rectangular, con el vértice rectangular como origen.

En la imagen de polilínea, la "hipotenusa" no puede ser continua en todas partes del intervalo (0, 1). (Es decir, puede encontrar ese punto. El límite izquierdo y el límite derecho no son iguales. La explicación más popular e intuitiva es que no es suave).

En la imagen de la derecha, la "hipotenusa" es continua a la derecha excepto en los dos puntos finales y continua a la izquierda, continua en todo el intervalo (0, 1).

(Es decir, el límite izquierdo y el límite derecho de todos los puntos son iguales, lo que comúnmente se conoce como suave).

La imagen de la izquierda en realidad debería conectar las pequeñas hipotenusas de la "hipotenusa" (es decir, la suma de las hipotenusas pequeñas (el límite) es "raíz cuadrada 2".

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El llamado PI == 4 también es cierto. El perímetro de un polígono regular está cada vez más cerca de ser "continuo en todas partes", y ese "cuadrado de origami" simplemente no puede lograrlo.

Los bordes de la polilínea en casos limitados son continuos.

Los bordes de la polilínea en la situación infinita no son un problema de continuidad y discontinuidad, sino un problema que no existe en absoluto.