La historia de los números cardinales

Cantor introdujo por primera vez el concepto de cardinalidad cuando introdujo la teoría de conjuntos original de 1874 a 1884 (ahora llamada teoría ingenua de conjuntos). Primero consideró los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4}, que no son idénticos pero tienen la misma cardinalidad. Pero, ¿qué significa exactamente que dos conjuntos tengan el mismo número de elementos?

La respuesta de Cantor es la llamada correspondencia uno a uno, es decir, los elementos de los dos conjuntos están ordenados uno por uno; si esto se puede hacer, los números cardinales de los dos conjuntos se ordenarán Naturalmente será el mismo. Se puede utilizar el mismo método para comparar el tamaño de cualquier colección, incluidas colecciones infinitas.

El primer conjunto infinito a considerar es el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3,...} y sus subconjuntos infinitos. Consideró todos los conjuntos correspondientes a n energías como conjuntos contables. Todos los subconjuntos infinitos de n pueden corresponder a n uno a uno. Llamó a la cardinalidad de n (pronunciada Alev cero, siendo Alef la primera letra del hebreo) la cardinalidad menos transfinita.

Cantor descubrió que el conjunto de los números racionales originales y el conjunto de los números algebraicos también son contables. Así, a principios de 1874, intentó demostrar si todos los conjuntos infinitos son contables. Más tarde se le ocurrió el famoso argumento de la diagonal: el conjunto de los números reales es incontable. La cardinalidad del conjunto de números reales, denotada por , representa el continuo.

Luego Cantor construyó un conjunto más grande y obtuvo una cardinalidad mayor, pero los elementos de estos conjuntos enormes no pudieron escribirse fielmente. Por lo tanto, la teoría general de los números cardinales requiere una nueva descripción del lenguaje, que es también la razón principal por la que Cantor inventó la teoría de conjuntos.

Cantor propuso entonces la hipótesis del continuo: es el segundo número de superdiferencia, que es el siguiente número cardinal más pequeño. Muchos años después, los matemáticos descubrieron que esta hipótesis no podía probarse, es decir, aceptarla o rechazarla conduciría a dos conjuntos diferentes pero lógicamente factibles de teorías de conjuntos axiomáticas.