Antecedentes históricos del álgebra multilineal

El tema en sí tiene muchos orígenes diferentes, que se remontan a las matemáticas del siglo XIX, pero se conoce como análisis tensorial, cálculo tensorial o campos tensoriales. Las aplicaciones de los tensores se han desarrollado en geometría diferencial, relatividad general y muchas ramas de las matemáticas aplicadas. A mediados del siglo XX, la investigación sobre tensores giró hacia la abstracción. Particularmente popular es la monografía de la escuela Bourbaki "Álgebra lineal múltiple". De hecho, quizás a partir de esto se inventó el "álgebra multilineal".

Una de las razones es su aplicación en el nuevo campo del álgebra homóloga. El desarrollo de la topología algebraica en la década de 1940 dio nueva vida a formas puramente algebraicas de tratar con productos tensoriales. El cálculo del grupo de homología de productos de dos espacios implica productos tensoriales, pero sólo en los casos más simples, como el toro, que se calculan directamente (consulte el teorema del coeficiente universal); Los fenómenos topológicos sutiles requieren mejores conceptos; técnicamente hablando, es necesario definir la funcionalidad de Tor. Este material está organizado de manera amplia, incluyendo ideas que se remontan a Hermann Grassmann, desde la teoría de formas diferenciales hasta las ideas de Drummond sobre cohomología, así como algunas ideas más fundamentales como los productos de cuña (que generalizaron los productos cruzados).

La conclusión de Bourbaki niega por completo un método de tratamiento en el análisis vectorial (el método de los cuaterniones, que generalmente está relacionado con los grupos de Lie) de una manera bastante dura. En su lugar, aplicaron un nuevo enfoque utilizando la teoría de categorías, que es un enfoque independiente desde el punto de vista del modelo de procesamiento del grupo de Lie. Debido a que esto conduce a un tratamiento más claro, es posible que no tengan términos puramente matemáticos correspondientes. Estrictamente hablando, implica un enfoque pannatural; esto parece ser más general que la teoría de categorías y también aclara la relación entre estas dos alternancias. )

Efectivamente, lo que hacen es explicar con precisión que el "espacio tensor" es una construcción que reduce múltiples problemas lineales a problemas lineales. Este desafío puramente algebraico no proporciona intuición geométrica.

Es útil reformular este problema como un término algebraico multilineal. Existe una "mejor solución" clara e inequívoca: el límite de la solución es exactamente lo que realmente necesita. Generalmente no es necesario introducir estructuras especiales, conceptos geométricos o dependencia de sistemas de coordenadas. En términos de teoría de categorías, todo es completamente natural.