Ensayos relacionados con las fronteras nacionales
En la primera parte del artículo, Mandelberg analiza cómo la longitud entre las costas y otros límites geográficos físicos medidos por Louis Fray Richardson depende de la escala de medición. Richardson observó que la longitud L(G) medida en las fronteras de diferentes países es función de la escala de medición G. Recopiló datos de varios ejemplos diferentes y luego supuso que L(G) podría estimarse mediante una función de la forma:
L(G)=MG1-D
Mandel Berg interpretó Este resultado muestra que las costas y otros límites geográficos pueden tener autosemejanza estadística, con el exponente D calculando la dimensión de Hausdorff del límite. Para poner esto en perspectiva, el ejemplo estudiado por Richardson tiene una dimensión que va desde 1,02 en la costa sudafricana hasta 1,25 en la costa oeste del Reino Unido.
En la segunda parte del artículo, Mandelberg describe diferentes curvas para los copos de nieve de Koch, que son todas figuras autosimilares estándar. Mandelberg mostró cómo calcular sus dimensiones de Hausdorff, todas entre 1 y 2. También mencionó la curva de peano, que llena el espacio y tiene dimensión 2, pero no dio su estructura.
Este artículo es importante porque no sólo demuestra las primeras ideas de Mandelberg sobre los fractales, sino que también es un ejemplo de la conexión entre los objetos matemáticos y las formas naturales, una base para muchos de los temas posteriores de Mandelberg.
¿Cuánto mide la costa del Reino Unido?
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El objeto de investigación de la geometría euclidiana son los objetos geométricos con longitudes características;
Espacio unidimensional: segmentos de recta, con largo y sin ancho;
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Espacio bidimensional: un paralelogramo con perímetro y área;
Espacio tridimensional: esfera, área de superficie, volumen;
Muchos los objetos en la naturaleza tienen longitudes características, por ejemplo: las personas tienen altura, las montañas tienen altitud, etc.
Existe un tipo especial de problema. Mandelbrot hizo la pregunta: ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?
Quizás pienses que esta pregunta es demasiado simple, y medir la línea de costa no es fácil. Puede obtener la respuesta utilizando un mapa o un reconocimiento aéreo.
Sin embargo, en 1967, se publicó un artículo que hizo época en la revista estadounidense de autoridad internacional "Science", titulado "¿Cuánto mide la costa británica?" En "Auto-semejanza estadística y dimensión fractal", la autora Beonit Mandelbrot es una matemática y experta en informática franco-estadounidense contemporánea. En ese momento trabajaba en el Centro de investigación de IBM en Nueva York, pero su respuesta le sorprenderá: él. Cree que no importa cuán cuidadosamente trabaje, no puede obtener una respuesta precisa porque no hay respuestas precisas. ¡La longitud de la costa del Reino Unido es incierta! Esto depende de la escala utilizada al medir.
Resulta que en el litoral se han formado grandes y pequeñas bahías y promontorios debido a la erosión prolongada del agua del mar y al propio movimiento de la tierra.
Si vuelas a lo largo de una costa a una altitud de 10.000 m mientras tomas fotografías de la costa, y luego calculas la longitud total de la costa que se muestra en estas fotografías a una escala adecuada, ¿es precisa la respuesta? no quiero! Porque desde gran altura no se pueden distinguir muchas pequeñas bahías y estrechos.
Si en lugar de eso tomas un avión pequeño y repites el disparo y la medición anterior a una altitud de 500 metros, verás muchos detalles que no habías visto antes, y tu respuesta será mucho mejor que la anterior. uno.
Ahora imagina que estás en el suelo. Si la longitud se mide en kilómetros, las curvas desde unos pocos metros hasta unos cientos de metros se ignorarán y no se podrán contar.
Sea la longitud l 1; use un medidor con una longitud de 10 m para medir la longitud de la costa, entonces aquellas curvas que no se pueden ver claramente en el aire harán que la costa sea más larga, L2 > l 1, por ejemplo; cambie el ancho de vía a una longitud de 1 m, puede Se cuentan todas las curvas ignoradas y los resultados seguirán aumentando. Sin embargo, las curvas de varios centímetros o decenas de centímetros aún se ignoran y la longitud obtenida es L3> L2> l. 1. Por analogía, cuanto más precisa es la medición, más detalles revela la línea costera y más larga es la línea costera (Figura 19). Es concebible que en unidades de escala molecular y atómica, la longitud medida sea un número astronómico. Aunque esto no tiene significado práctico, muestra que a medida que la unidad de medida se vuelve infinitamente pequeña, la longitud de la costa también se vuelve infinitamente larga, por lo que es incierta. Entonces la longitud es.
Por supuesto, en términos de mano de obra, se puede dejar de medir después de medir con un calibre de 1 m. Los físicos pueden pensar que este proceso de medición debe alcanzar un límite teórico a nivel atómico, pero desde la idealización de los matemáticos. La perspectiva de la longitud de la costa es sólo de cierta escala. Benoit Mandelbrot dijo que, de hecho, la longitud de cualquier línea costera es infinita en cierto sentido, o que la longitud de la costa depende de la longitud de la regla.
Mandelbrot se encontró por primera vez con el problema de la longitud de la costa en un oscuro artículo poco conocido del manuscrito final del matemático británico Lewis Fry Richardson. Este problema despertó en él un gran interés y lo estudió con gran concentración. Entre ellos, muchos de los temas controvertidos que exploró posteriormente pasaron a formar parte de la teoría del caos. Inicialmente, Lewis Fry Richardson revisó enciclopedias de España, Portugal, Bélgica y los Países Bajos para comprender la longitud de las escarpadas costas de algunos países. Descubrió que la estimación del libro sobre la longitud de la costa del mismo país tenía un error del 20%. Lewis Fry Richardson señaló que este error se debía a las diferentes escalas de longitud que utilizaban. Al mismo tiempo, encontró que la relación entre la longitud de la costa L y la escala de medición S es la siguiente. Vale la pena señalar que la relación entre log (1/s) y log (L) es lineal y su pendiente es un cierto valor D:, es decir, donde lgk≈3.7 y d≈0.24. Obviamente, si dibujamos lgL, la pendiente de la recta es d.
Con una visión única, Mandelbrot descubrió que la fórmula empírica de longitud límite L(r) = Kr1-a obtenida por Richardson en 1961 podía utilizarse como tal parámetro para describir las características de la línea costera, que llamó "dimensión normativa", que es una de las famosas dimensiones fractales. El estudio de esta cuestión supuso un punto de inflexión en el pensamiento de Mandelbrot, y también brotó el concepto de fractales. Finalmente unificó las tres multiplicidades de Cantor, las curvas de Koch y otros objetos matemáticos que las matemáticas tradicionales han considerado "mórbidos" y "monstruosos" durante un siglo en un nuevo sistema geométrico, creando una nueva rama de las matemáticas: la geometría fractal se encuentra entre las matemáticas modernas. .
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Una metáfora simple para medir la longitud de la costa usando diferentes medidores
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Obviamente, usar pasos humanos para medir y Medir con una hormiga marcará una gran diferencia, porque la hormiga escalará muchos más rincones que un humano, por lo que los resultados de la medición serán mucho mayores que los de un humano. Supongamos que hay una criatura infinitesimal, entonces los resultados de la medición serán infinitos. No olvides que, a los ojos de las hormigas, somos más grandes que las ballenas. Hay una maravillosa descripción de la escala de observación en Los viajes de Gulliver. Cuando Gulliver llegó a la tierra de los gigantes, descubrió que ninguna mujer era hermosa, pues en sus pequeños ojos podía ver claramente cada poro feroz de una mujer. El texto objeto de lectura puede compararse con la costa británica. Decir que el texto no tiene explicación no es decir que el texto no tiene explicación. Es la costa británica, pero qué tan larga es, diferentes lectores tienen diferentes medidas.
¿Pero quién ganará? ¿No cuenta el resultado de la hormiga?
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Por favor ayuden al enviado de la ONU.
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Problema: A y B tienen la misma línea límite terrestre, que se curva hacia B (Figura 20). Hay un terreno elevado estratégico al otro lado de la frontera que originalmente era propiedad de ambos países. En la década de 1980, el país A volvió a medir su frontera, y la longitud medida de la frontera fue mayor que la longitud registrada originalmente. Según la longitud recién medida, esta montaña se encontraba completamente dentro del territorio del país A, por lo que el país A pidió al país B que incluyera la montaña en él.
Plan: Señale a ambos países que la línea fronteriza es una curva fractal y que la longitud no se puede determinar utilizando métodos de medición tradicionales. A medida que la unidad de medida disminuye, la longitud medida aumenta. La longitud medida de un nuevo país es mayor que la longitud registrada original precisamente porque utilizó una vara de medir más pequeña al medir. Por lo tanto, por un lado, la teoría de la geometría fractal se puede utilizar para explicar los dos países y, por otro lado, los dos países se pueden utilizar para demostrar la frontera.
Pensando:
1. ¿Por qué la longitud ya no es una cantidad característica de la costa?
2. Al medir la longitud de la línea costera, ¿por qué la línea costera se hace cada vez más larga a medida que disminuye la unidad de medida?
3. Comprender y explorar el proceso de generación de la Curva del Copo de Nieve de Koch, y comprender por qué Mandelbrot eligió la Curva del Copo de Nieve de Koch como modelo matemático de la línea costera.