La historia de la investigación del teorema de los cuatro colores
El 23 de octubre de 1852, su hermano pidió a su maestro, el famoso matemático De Morgan, una prueba de este problema. Morgan no pudo encontrar una solución a este problema, por lo que le escribió a su buen amigo, el famoso matemático Sir Hamilton, para pedirle consejo. Sin embargo, hasta la muerte de Hamilton en 1865, el problema aún no pudo resolverse.
En 1872, Kelly, el matemático británico más famoso de la época, planteó formalmente esta cuestión a la Sociedad Matemática de Londres. Como resultado, la conjetura de los cuatro colores se convirtió en el centro de atención de la comunidad matemática mundial. En él participaron muchos matemáticos de primer nivel del mundo. Una gran batalla de adivinanzas de cuatro colores.
Desde entonces, la pregunta ha estado circulando entre algunas personas. En ese momento, el problema armonioso entre la trisección de las esquinas y la plaza ya era "notorio" en la sociedad, y la "peste de los cuatro colores" se había extendido silenciosamente. En los dos años comprendidos entre 1878 y 1880, dos famosos abogados y matemáticos, Alfred Kemp y Peter Guthrie Tait, presentaron artículos que demostraban la conjetura de los cuatro colores y anunciaron que habían demostrado el teorema de los cuatro colores.
Todos pensaban que la conjetura de los cuatro colores estaba resuelta, pero en realidad Kemp no demostró el problema de los cuatro colores. Once años más tarde, en 1890, Herwood, que sólo tenía 29 años y estudiaba en la Universidad de Oxford, utilizó sus cálculos precisos para señalar las lagunas en la demostración de Kemp. Señala que el argumento de Kemp de que un país sin un mapa mínimo de cinco colores no puede tener cinco vecinos es erróneo. La prueba de Taylor pronto fue refutada. Se descubrió que en realidad demostraron una proposición débil: el teorema de los cinco colores. Es decir, basta con pintar el mapa con cinco colores.
Sin embargo, para satisfacción de los matemáticos, Howard no negó completamente el valor del artículo de Kemp. Utilizando un método inventado por Kemp, Howard demostró el teorema débil de los cinco colores. Era el equivalente a darle una savia a Kemp y elogiarlo. En términos generales, el significado despectivo es mayor que el positivo. No sé qué siente el abogado del pobre Kemp. Está en la naturaleza de un matemático investigar. Por un lado, cinco colores son suficientes, pero por otro lado, hay ejemplos en los que tres colores no son suficientes. Entonces, ¿son suficientes cuatro colores? Es como ser un buscador de oro que sabe que hay mucho oro en alguna parte pero sólo encuentra una pieza de plata. ¿Crees que está dispuesto a volver así? Kemp utilizó la reductio ad absurdum para demostrar este punto, en el sentido de que si hay un mapa regular de cinco colores, habrá un "mapa regular mínimo de cinco colores" con el menor número de países. Si hay un país con menos de seis vecinos en el gráfico mínimo regular de cinco colores, entonces habrá un gráfico regular con menos países que seguirá siendo de cinco colores, por lo que no habrá ningún país en el gráfico mínimo de cinco colores. y no habrá Hay diagramas regulares de cinco colores. Entonces Kemp pensó que había demostrado el "problema de los cuatro colores", pero luego la gente descubrió que estaba equivocado.
Sin embargo, la prueba de Kemp aclaró dos conceptos importantes y proporcionó una idea para resolver problemas en el futuro. El primer concepto es "configuración". Demostró que en todo gráfico regular, al menos un país tiene dos, tres, cuatro o cinco vecinos, y no existe un gráfico regular en el que cada país tenga seis o más vecinos. Es decir, es inevitable un conjunto de "configuraciones" que consta de dos vecinos, tres vecinos, cuatro o cinco vecinos, y cada mapa contiene al menos una de estas cuatro configuraciones.
Otro concepto propuesto por Camp es el de reducibilidad. El uso del término "negociable" proviene del argumento de Camp. Demostró que mientras un país en un mapa de cinco colores tenga cuatro países vecinos, habrá un mapa de cinco colores con menos países. Desde que se propusieron los conceptos de "configuración" y "reducibilidad", se han desarrollado gradualmente algunos métodos estándar para probar configuraciones para determinar si son reducibles. Se pueden encontrar los grupos necesarios de configuraciones reducibles, lo que es la prueba de "cuatro bases importantes para". el "problema del color". Pero para demostrar que una configuración grande es reducible es necesario comprobar muchos detalles, lo cual es bastante complicado. La gente encontró que el problema de los cuatro colores era sorprendentemente difícil. Mucha gente ha publicado pruebas o contraejemplos del problema de los cuatro colores, pero se ha demostrado que todos estaban equivocados.
Más tarde, cada vez más matemáticos se devanaron los sesos por esto, pero no encontraron nada. Como resultado, la gente empezó a darse cuenta de que esta pregunta aparentemente simple era en realidad un problema difícil comparable a la conjetura de Fermat. Desde el siglo XX, los científicos han seguido básicamente las ideas de Kemp para demostrar la conjetura de los cuatro colores.
La esencia del teorema de los cuatro colores es que no puede haber cinco o más áreas conectadas en pares en un plano o esfera. Si hay más de cinco regiones conectadas en pares, la quinta región tiene el mismo color que al menos una región. Esta teoría también es evidente en otras construcciones, como en el toro (género 1), donde se requieren siete colores porque el toro no puede construir ocho regiones conectadas por pares. En una superficie bicíclica de género 2 se requieren 8 colores, es decir, no se pueden conectar 9 áreas por pares.
En 1913, el famoso matemático estadounidense y boekhoff de la Universidad de Harvard utilizó las ideas de Kemp y las combinó con sus nuevas ideas demostró que algunas configuraciones grandes son reducibles; Posteriormente, el matemático estadounidense Franklin demostró en 1939 que un mapa de menos de 22 países se podía colorear con cuatro colores. En 1950, Winn avanzó de 22 países a 35 países. En 1960 se demostró que se podían colorear mapas de hasta 39 países con sólo cuatro colores; luego se avanzó a 50 países. Parece que el progreso es todavía muy lento. La invención de las computadoras digitales de alta velocidad impulsó a más matemáticos a estudiar el "problema de los cuatro colores". Después de la llegada de las computadoras electrónicas, el proceso de demostración de la conjetura de los cuatro colores se aceleró enormemente debido al rápido aumento de la velocidad de cálculo y la aparición del diálogo entre humanos y computadoras. En junio de 1976, se necesitaron 1.200 horas en dos ordenadores diferentes de la Universidad de Illinois para realizar 100.000 millones de juicios. Resultó que ningún mapa requería cinco colores, lo que finalmente demostró el teorema de los cuatro colores y causó sensación en todo el mundo.
Este es un evento importante que ha atraído a muchos matemáticos y entusiastas de las matemáticas durante más de 100 años. Cuando los dos matemáticos publicaron sus hallazgos, la oficina de correos local selló todo el correo enviado ese día con un matasellos especial de "Cuatro colores son suficientes" para celebrar la solución del rompecabezas. Aunque con la popularización de las computadoras, la mayoría de los matemáticos no tienen dudas sobre la demostración del teorema de los cuatro colores, todavía hay algunos matemáticos que no están satisfechos con las demostraciones asistidas por computadora y esperan encontrar una demostración completamente "artificial". Como lo expresaron Tommy R Jensen y Biyani Tofte en Graph Coloring Problem: "¿Existe un teorema de los cuatro colores? ¿Una prueba breve que un matemático calificado pueda verificar su exactitud en, digamos, dos semanas?"
El También es necesario revisar la definición de "demostración" del teorema de los cuatro colores. Otros comparan la diferencia entre las pruebas asistidas por ordenador y las pruebas tradicionales con la diferencia entre descubrir nuevas estrellas con un telescopio astronómico y descubrir nuevas estrellas a simple vista. Las pruebas informáticas aún no han sido universalmente reconocidas por la comunidad matemática. Muchos matemáticos no están satisfechos con los logros de las computadoras. Creían que debería haber un método de prueba escrita simple y claro para demostrar el problema de los cuatro colores.