Teoría del sistema numérico de números complejos
El número es un concepto básico en matemáticas y una parte importante de la civilización humana. Cada ampliación del concepto de números marca un salto en las matemáticas. El grado de perfección de la comprensión y aplicación de los números y la teoría de los sistemas numéricos por parte de las personas en una época refleja el nivel de desarrollo de las matemáticas en ese momento. Hoy en día, el sistema digital que utilizamos ha sido construido de forma tan completa y minuciosa que se ha convertido en un lenguaje básico y una herramienta indispensable en todos los campos de la ciencia, la tecnología y la vida social. Cuando disfrutamos con facilidad de la riqueza de la civilización humana, ¿hemos pensado en los giros, vueltas y dificultades que la sabiduría humana ha experimentado en el proceso histórico de formación y desarrollo del sistema numérico? En el período ignorante de la evolución, los humanos tenían una "capacidad de reconocer números", lo que los psicólogos llaman "la percepción de números". Los conductistas animales creen que esta "percepción numérica" no es exclusiva de los humanos. Lo destacable de la inteligencia humana es que han inventado varios métodos de contar. El "Libro de los cambios Neiju Li Xia" registra que "en la antigüedad, los nudos se usaban para gobernar, y las generaciones posteriores de santos eran libros fáciles de usar de la dinastía Han del Este, que decían: "Las cosas grandes son nudos grandes; las pequeñas". cosas, resume los secretos. La cantidad de nudos depende de la cantidad de cosas ". De hecho, los nudos se utilizan para hacer nudos. El método de contar y escribir escrituras se puede encontrar en varias partes del mundo, como Grecia, Persia. , Roma, Palestina, Islam y países mesoamericanos, donde existen registros documentados y ejemplares físicos. No fue hasta 1826 que el Tesoro británico decidió dejar de utilizar la escritura como recurso legal. Con el progreso de la sociedad humana, el lenguaje digital también se desarrolla y mejora constantemente. Apareció el primer hito en el desarrollo de los sistemas numéricos: el sistema de notación posicional. La llamada notación posicional utiliza una pequeña cantidad de símbolos para representar diferentes números mediante la disposición de diferentes números. Lo que interesa a los historiadores y a los historiadores de las matemáticas es que diferentes civilizaciones crearon métodos de conteo completamente diferentes bajo la influencia del entorno natural y las condiciones sociales. Como el sistema de numeración cuneiforme babilónico, el sistema de numeración jeroglífico egipcio, el sistema de numeración alfabético griego, el sistema de numeración maya, el sistema de numeración indoárabe y el sistema de numeración chino.
El primer sistema numérico desarrollado debería ser un sistema de agrupación simple. Por ejemplo, los jeroglíficos egipcios del 3400 a. C. están en decimal 10, pero no son posicionales. Entre el 3000 a. C. y el 2000 a. C., los babilonios desarrollaron un sistema numérico posicional de base 60 y adoptaron el sistema posicional, pero no el sistema de base 10. La notación más importante y apasionante es la notación posicional decimal.
El famoso matemático francés Laplace (1749–1827) escribió una vez:
Utiliza diez símbolos para representar todos los números, cada símbolo no solo tiene un valor absoluto, así como el valor de posición. . Este ingenioso método proviene de la India. Esta es una idea profunda e importante. Parece tan simple hoy que pasamos por alto su verdadera grandeza. Pero es precisamente su simplicidad y su gran comodidad para todos los cálculos lo que coloca a nuestra aritmética en primer lugar entre todos los inventos útiles. Cuando prestamos atención al genio de Ronios, sentimos aún más la grandeza de este logro;
Los comentarios de Laplace son maravillosos, pero es una lástima que fuera arrogante y culpara a la India por este invento. Hay datos históricos suficientes y concluyentes para demostrar que el sistema de notación de 10 dígitos surgió por primera vez en China. Esto también lo defienden algunos historiadores de las matemáticas occidentales. Joseph Needham señaló una vez: “Detrás de los 'números indios' que Occidente luego dio por sentado, el sistema de posiciones ha existido en China durante dos mil años.
"Sin embargo, la creación de la notación de la posición de los 10 decimales no puede atribuirse simplemente a la sabiduría de los genios. El progreso de la notación está relacionado con la mejora de las herramientas de cálculo. Las investigaciones muestran que la notación de la posición de los 10 decimales se originó en China, que es relacionado con los cálculos El uso del "0" es inseparable de la evolución del sistema de cálculo.
Como vacante en la notación, era indispensable en la civilización de la notación posicional en la escritura cuneiforme babilónica temprana y antes de la dinastía Song. En China, el método de notación dejaba espacios y no usaba símbolos. Inicialmente, los indios también usaban espacios para representar el cero, y luego los registraban como puntos, y finalmente se convirtieron en números redondos que se introdujeron en los países árabes. Fibonacci (1175-1250) compiló el Libre Abbach (1202), que introdujo los números indios completos, incluido el cero, en Europa. Posteriormente se adoptó la notación decimal. Ha desempeñado un papel importante en el avance de la ciencia y la civilización en Europa. ya que fue generalmente aceptado por los europeos. Los antiguos griegos una vez hicieron una pregunta: creían que la arena en el mundo era infinita, y aunque no fuera infinita, nadie podía escribir más que arena. 212 02) Respuesta: No, en Numera, Arquímedes estableció una nueva notación basada en la miríada para que cualquier número grande pudiera ser representado: Del 1 al 100 millones (el texto original es 100 millones, rebautizado como 100 millones según la costumbre china). , se llama serie 1; la segunda serie con cientos de millones (10 8) como unidad, de 100 millones a 100 millones (es decir, 10 16) se llama La segunda secuencia en miles de millones, hasta mil millones (10 24); ) se llama la tercera secuencia hasta el último billón de la serie de 65438 mil millones Arquímedes calculó que la cantidad de arena que llenaba el universo era sólo 10 51. Se expandió al "universo estelar", es decir, la esfera celeste con la distancia desde el. ¡El mismo problema también apareció en la antigua China! El número antes de la dinastía Han era 10. Tomemos 100.000 como mil millones. Artículo 16 de "Mandarin·Zheng Yu": "Para cientos de millones de cosas, use materiales para predecir cosas, siga las escrituras y practique cosas extremas". Tenga en cuenta que "cálculo", cuente el material; Tang Jia dijo que todo son mil millones, y Zheng Hou Sinong dijo: Cien mil millones son mil millones y mil millones son un símbolo, contando desde la antigüedad. "El "Libro de Numerología" registra un conjunto completo de nombres y tres métodos para representar grandes números. "Numerología" dice:
El Dharma del Emperador Amarillo tiene diez niveles y tres usos. La décima categoría es Yi, zhao, jing, yi, tu, gully, liu, zheng, zai; tercero, los siguientes, si dices cien mil, mil millones, diez millones, los que están en el medio de los números nunca lo cambiarán. Si dicen cien millones, cien mil millones o mil billones, lo cambiarán. Si dices cien millones, cien millones significa cien millones. De 100 millones a carga, finalmente es. genial
La importancia matemática de "El método de los números grandes" en "Notas de numerología" no es solo que construye tres métodos de conteo, sino que, lo que es más importante, revela el difícil proceso de comprensión de los logaritmos por parte de las personas. De lo finito a lo infinito, las necesidades objetivas y el desarrollo de las matemáticas han llevado a las personas a comprender y dominar números cada vez más grandes. Al principio, las personas podían comprender algunos números grandes y utilizar los existentes, pero con el desarrollo de la comprensión de las personas, estos números grandes. también se están expandiendo rápidamente y la gente no puede evitar preguntarse:
¿Son los números diferentes?
Ésta es una proposición importante que debe responderse en el desarrollo del sistema numérico. La conversación entre Xu Yue y su maestro Liu Hong registrada en "El legado de la numerología" ilustra brillantemente el profundo principio de "si eres pobre, cámbialo":
Xu Yue preguntó: ¿Es este número un? ¿pobre persona?
Hui Ji (Liu Hong) respondió: Una vez viajé a la montaña Tianmu y cuando vi a un ermitaño, no sabía su nombre, le pregunté esto. Wang dijo: No hay comparación entre tres y cuatro. Si no sabes tres, puedes saber decenas de miles de millones sin distinguir el tamaño....De miles de millones a Zai, finalmente genial.
Hui Ji preguntó: Señor, si hay menos personas en la lista, cambiará.
Por ejemplo, tanto Nicolas Chuquet como Stifel describen los números negativos como números absurdos y "ridículamente inferiores a cero". Cardan (1501-1576) consideraba los números negativos como raíces de ecuaciones, pero los consideraba soluciones imposibles, sólo símbolos y las llamaba raíces imaginarias; Veda (Vieta, 1540-1630) no quería números negativos en absoluto, y Pascal (1623-1662) pensaba que 0 menos 4 era pura tontería.
Los números negativos son la primera vez que el ser humano cruza el rango de los números positivos. Toda experiencia previa es completamente inútil ante los números negativos. En el proceso histórico de desarrollo de los sistemas numéricos, la experiencia práctica a veces no sólo es inútil, sino también un obstáculo. Como veremos, los números negativos no son el único ejemplo. El descubrimiento de los números irracionales hizo añicos el sueño pitagórico de que "todo tiene valor". Al mismo tiempo, también expuso los defectos del sistema de números racionales: aunque los números racionales en línea recta están "densamente empaquetados", hay muchos "poros" que se filtran y hay muchos "números incontables". De esta manera, los antiguos griegos creían que los números racionales eran un continuo aritmético continuamente conectado. La hipótesis quedó completamente destrozada. Su colapso tendría profundas consecuencias para el desarrollo de las matemáticas durante los próximos dos milenios. ¿Cuál es la naturaleza de la inconmensurabilidad? Durante mucho tiempo ha habido muchas opiniones diferentes. La proporción de dos cantidades inconmensurables también se considera un número ilegítimo porque no puede interpretarse correctamente. Leonardo da Vinci (1452-1519) los llamó "números irracionales", y aunque J. Kepler (1571-65438) utilizó gradualmente estos "números irracionales" y números "indescriptibles" en cálculos posteriores, al final resultaron ser reales. Los números siempre han sido una cuestión desconcertante.
Cuando las matemáticas chinas antiguas se ocupan de problemas de raíz, es inevitable encontrar raíces irrazonables. Con respecto a este número "ineagotable", "Nueve capítulos sobre aritmética" acepta directamente que "encontrar la diferencia" en la nota de Liu Hui es en realidad usar decimales de 10 para aproximar infinitamente números irracionales. Esta es una forma correcta de completar el sistema de números reales, pero las ideas de Liu Hui excedieron con creces su tiempo y no lograron atraer la atención de las generaciones futuras. Las matemáticas tradicionales chinas se centran en el cálculo de cantidades y no están muy interesadas en las propiedades de los logaritmos. Los griegos, que eran buenos haciendo preguntas, no pudieron superar este obstáculo. Como no se puede superar, hay que evitarlo. A partir de entonces, matemáticos griegos como Eudoxo y Euclides evitaron estrictamente equiparar en su geometría los números con cantidades geométricas. La teoría de las proporciones de Eudoxo (ver Volumen 5 de Elementos) permitió a la geometría sortear lógicamente obstáculos inconmensurables, pero durante mucho tiempo formó la relación entre geometría y aritmética.
El desarrollo del cálculo en los siglos XVII y XVIII atrajo la atención de casi todos los matemáticos, y fue precisamente la atención de la gente a los fundamentos del cálculo lo que una vez más puso de relieve la continuidad del campo de los números reales. Porque el cálculo es matemática variable basada en operaciones de límite, y las operaciones de límite requieren un campo numérico cerrado. Los números irracionales son la clave de la continuidad en el campo de los números reales.
¿Qué son los números irracionales? El matemático francés A. Cauchy (1789-1875) dio la respuesta: Los números irracionales son el límite de la secuencia de números racionales. Pero según la definición de límite de Cauchy, el llamado límite de una secuencia de números racionales significa que hay un cierto número por adelantado, de modo que la diferencia entre él y los números de la secuencia puede ser arbitrariamente pequeña cuando la secuencia se acerca al infinito. ¿Pero de dónde viene este “número” preexistente? Según Cauchy, el límite de la secuencia racional parecía existir a priori. Esto muestra que, aunque Cauchy fue un gran analista en ese momento, todavía no pudo deshacerse de la influencia de las ideas tradicionales basadas en la intuición geométrica durante más de dos mil años.
La tarea histórica de construir independientemente un cuerpo numérico completo a partir de matemáticas variables fue finalmente completada en la segunda mitad del siglo XIX por Weierstrass (1815-1897) y Dedekind (r. dede kind 1831-65438).
1872 es el año más memorable en la historia de las matemáticas modernas. Este año F. Kline (1849-1925) propuso el famoso programa de Erlanger y Wilstras dio un famoso ejemplo de una función que es continua en todas partes pero no diferenciable en todas partes.
También fue en este año que surgieron en Alemania tres escuelas principales de teoría de números reales: la teoría de la "partición" de Dedekind; la teoría de la "secuencia básica" de Cantor y la teoría de la "secuencia monótona acotada" de Weierstrass.
El propósito de intentar establecer números reales es dar una definición lógica formal que no dependa del significado geométrico y evite el error lógico de usar límites para definir números irracionales. Con estas definiciones como base, la derivación del teorema fundamental de los límites en cálculo no implica ciclos teóricos. Por lo tanto, las derivadas y las integrales pueden basarse directamente en estas definiciones, sin ninguna propiedad asociada con el conocimiento perceptivo. Los conceptos de geometría no pueden entenderse completamente ni ser precisos, como se ha demostrado durante los largos años de desarrollo del cálculo. Por lo tanto, el rigor necesario sólo puede alcanzarse a través del concepto de número, una vez cortada la conexión entre el concepto de número y el concepto de cantidades geométricas. Aquí, el trabajo de Dedekind es muy apreciado porque los números reales definidos por la "división de Dedekind" son creaciones intuitivas de la inteligencia humana que son completamente independientes del espacio y el tiempo.
En esencia, la teoría de las tres escuelas de números reales da una definición estricta de los números irracionales, estableciendo así un campo completo de números reales. La exitosa construcción del campo de los números reales ha salvado por completo la brecha entre la aritmética y la geometría durante más de dos mil años. Los números irracionales ya no son "números irracionales". La idea de los antiguos griegos sobre el continuo aritmético finalmente se realizó en un sentido científico estricto. La evolución del concepto de números complejos es el capítulo más peculiar de la historia de las matemáticas, es decir, el desarrollo histórico del sistema numérico es completamente inconsistente con la continuidad lógica descrita en los libros de texto. La gente no esperó a que se estableciera la base lógica de los números reales antes de emprender un nuevo viaje. En el proceso histórico de expansión de los sistemas numéricos, muchos campos intermedios a menudo no han sido completamente comprendidos, y la intuición del genio ha seguido el ritmo de los hombres valientes para alcanzar puestos avanzados distantes.
En 1545, los europeos no entendían del todo los números negativos e irracionales, pero su inteligencia se vio desafiada por un nuevo "monstruo". Por ejemplo, Cardin planteó el problema en su libro El arte de la significación (1545): Divide 10 en dos partes para que su producto sea 40. Esto requiere resolver la ecuación x (10-x) = 40. Las raíces que obtuvo son 5-√-15 y 5 √-15 Luego dijo "No importa la conciencia que tengas, te culparán" y puso 5 √. -15 y 5- √-65435. Por eso dijo: "La aritmética procede de manera tan maravillosa que su objeto es, como suele decirse, delicado e inútil". Descartes (1596-1650) también abandonó las raíces complejas y acuñó el nombre de "números imaginarios". Leibniz (1646-1716) representa mejor esta comprensión del plural: “El Espíritu Santo encuentra su extraordinario despliegue en la maravilla del análisis, el fin del mundo ideal, el anfibio entre la existencia y la no existencia, que llamamos imaginario. 65438.
No fue hasta el siglo XVIII que los matemáticos desarrollaron cierta confianza en los números complejos porque, siempre que se utilizaban en pasos intermedios del razonamiento matemático, se demostró que los resultados eran correctos. Especialmente en 1799, Gauss (. 1777-1855) la demostración del "Teorema fundamental del álgebra" debe basarse en la comprensión de los números complejos, lo que consolidó aún más el estatus de los números complejos. Por supuesto, esto no significa que la gente esté preocupada por los "números complejos". Incluso en 1831, de Morgan (1806-1871) todavía creía en su libro "Estudios y dificultades en matemáticas":
......
p>Resulta que las fracciones no tienen sentido, incluso son contradictorias, absurdas. Sin embargo, a través de estos símbolos se establece una parte extremadamente útil del álgebra, que depende de un hecho que debe ser probado empíricamente, es decir, el álgebra general se puede aplicar a estas fórmulas. (números complejos)
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Sabemos que el siglo XVIII fue el "siglo heroico" en la historia de las matemáticas, expandiendo el ámbito de las matemáticas. preocuparse por la base lógica del sistema de números reales y del sistema de números complejos Dado que los números complejos son al menos intuitivamente confiables, ¿por qué molestarse? Escribió un ensayo "La representación analítica de la dirección" en un intento de utilizar vectores para representar números complejos.
Es una lástima que este artículo de gran valor no fuera traducido al francés hasta 1897. El suizo Arganda (J. Argand, 1768-1822) dio una interpretación geométrica ligeramente diferente de los números complejos. Observó que los números negativos son una extensión de los números positivos, resultantes de la combinación de dirección y magnitud. Su idea es: ¿Se puede ampliar el sistema de números reales añadiendo algunos conceptos nuevos? El trabajo de Gauss fue más eficaz para lograr que la gente aceptara los números complejos. No sólo representó a bi como un punto (a, b) en el plano complejo, sino que también desarrolló la suma y multiplicación geométrica de números complejos. También dijo que si la suma de 1 y -1 no se llamara unidades positivas, negativas e imaginarias, sino unidades rectas, negativas y horizontales, entonces la gente podría no tener todo tipo de impresiones oscuras y misteriosas sobre estos números. Dijo que las representaciones geométricas realmente pueden brindar a las personas una nueva perspectiva sobre los números imaginarios. Introdujo el término "números complejos" como una objeción a los números imaginarios y los reemplazó por I.
El matemático irlandés Hamilton (1805-1865) fue muy importante a la hora de aclarar el concepto de números complejos. Hamilton se centró en la lógica aritmética y no quedó satisfecho con la intuición geométrica. Señaló que el número complejo a bi no es una suma real en el sentido de 2 3. El uso del signo más es un accidente histórico y bi no se puede sumar a A. El número complejo a bi es simplemente un par ordenado de números reales (A, B), que viene dado por Cuatro operaciones aritméticas sobre pares ordinales. Al mismo tiempo, estas operaciones satisfacen leyes asociativas, tipos de cambio y tasas de distribución. Desde este punto de vista, no sólo los números complejos se basan lógicamente en números reales, sino que la misteriosa raíz cuadrada de -1 se elimina por completo. Mirando retrospectivamente el desarrollo histórico del sistema numérico, parece dar la impresión de que cada expansión del sistema numérico añade nuevos elementos al antiguo sistema numérico. Si suma fracciones a números enteros, suma números negativos a números positivos, suma números irracionales a números racionales y suma números complejos a números reales. Sin embargo, desde la perspectiva de las matemáticas modernas, la expansión del sistema numérico no significa agregar nuevos elementos al antiguo sistema numérico, sino construir un nuevo sistema algebraico fuera del antiguo sistema numérico. Sus elementos pueden ser completamente diferentes en forma a los antiguos, pero contiene un subconjunto que es isomorfo al antiguo sistema algebraico, y este subconjunto necesariamente mantiene la misma estructura algebraica entre los sistemas algebraicos antiguo y nuevo. Una vez que la gente ha aclarado el concepto de números complejos, la nueva pregunta es: ¿Se pueden ampliar manteniendo las propiedades básicas de los números complejos? La respuesta fue no, y cuando Hamilton intentó encontrar un análogo de los números complejos en tres dimensiones, se vio obligado a hacer dos concesiones: primero, su nuevo número debía contener cuatro componentes; segundo, tenía que sacrificar la ley de conmutación multiplicativa. Estas dos características suponen una revolución en el sistema numérico tradicional. Llamó a este nuevo número cuaternión. La aparición de los "cuaterniones" marca el final de la expansión de los sistemas numéricos bajo el concepto tradicional. En 1878, Fubini (F. Frobenius, 1849-1917) demostró que un álgebra de coeficientes reales con elementos identidad finitos primitivos y multiplicativos es ante todo asociativa, y si obedece a la ley asociativa, entonces sólo los números reales, los números complejos y Álgebra de cuaterniones reales.
Una vez que el pensamiento matemático rompa el modelo tradicional, producirá una creatividad inconmensurable. La invención de los cuaterniones por parte de Hamilton hizo que los matemáticos se dieran cuenta de que, dado que podemos abandonar la intercambiabilidad de los números reales y los números complejos para construir un nuevo "sistema numérico" significativo y eficaz, entonces somos libres de considerar e incluso desviarnos de los números reales y la construcción algebraica. de propiedades generales. Aunque aquí termina la expansión del sistema numérico, la puerta al álgebra abstracta todavía está abierta.