Antecedentes prácticos y aplicaciones de secciones cónicas.
El trasfondo real de la geometría analítica proviene más de la necesidad de matemáticas variables. Después del Renacimiento, Europa entró en una era de rápido desarrollo de la producción y del pensamiento activo. El uso generalizado de maquinaria impulsa a la gente a estudiar las propiedades mecánicas, lo que requiere conocimientos de cinemática y las correspondientes teorías matemáticas. La prosperidad de la arquitectura y la construcción de presas fluviales plantearon interrogantes sobre la mecánica de sólidos y la mecánica de fluidos. La solución razonable de estos problemas requirió cálculos matemáticos correctos, con el desarrollo de la navegación, planteó interrogantes sobre la astronomía y, de hecho, también planteó dudas; sobre cómo medir con precisión la longitud y la latitud, calcular el área y el volumen de barcos de diversas formas y determinar el centro de gravedad. La invención de los telescopios y microscopios planteó la cuestión del estudio de la forma de las lentes de menisco. En matemáticas, es necesario estudiar las rectas tangentes de las curvas. Todo esto era difícil de resolver dentro de los límites de las matemáticas constantes utilizando sólo geometría elemental o álgebra, por lo que la gente intentó crear matemáticas variables. Como producto de la combinación del álgebra y la geometría, nació en este contexto la geometría analítica. La idea central de la geometría analítica es expresar problemas geométricos en forma algebraica mediante coordenadas, y luego expresar y estudiar curvas mediante ecuaciones algebraicas. Para lograr esto, las matemáticas deben tener sus propias condiciones: en primer lugar, la geometría siempre ha estado débil a la hora de resolver problemas; en segundo lugar, el álgebra es lo suficientemente madura para resolver eficazmente problemas geométricos; La geometría se formó muy temprano y los "Elementos" de Euclides con un sistema completo se produjeron en el siglo III a.C. Medio siglo después, otro matemático griego antiguo, Apolonio, escribió "Sobre las cónicas". Si el gran logro de "Primordial" es el establecimiento de un sistema de deducción geométrica completo por primera vez, entonces los ocho volúmenes de Apolonio "Sobre las secciones cónicas" pasarán a la historia para siempre porque agota casi todas las propiedades de las secciones cónicas. Se puede decir que ningún trabajo previo sobre secciones cónicas en geometría analítica ha estudiado las secciones cónicas con tanto detalle.
Sin embargo, como toda la geometría griega antigua, la geometría de Apolonio era geometría estática. No considera la curva como una trayectoria de puntos en movimiento ni le da una representación general. Esta limitación pasó desapercibida antes del siglo XVI porque la práctica no planteaba un tema que pudiera causar problemas a la geometría. Después del siglo XVI la situación fue diferente. Copérnico, la teoría heliocéntrica (1473-1543) y Galileo (1564-1642) propusieron la ley de la inercia y la ley de caída libre basándose en el estudio del movimiento de los objetos. Todos ellos propusieron la comprensión y el procesamiento de las secciones cónicas y otros. Curvas geométricas desde la perspectiva del movimiento hasta el tema de la geometría. La órbita de la Tierra alrededor del Sol es elíptica. Estos no pueden entenderse mediante los conceptos de elipses y parábolas basados en cortar un cono con un plano. Si la geometría puede reflejar la naturaleza orbital de este movimiento, se necesita un cambio de perspectiva para abordarlo para crear una geometría basada en una perspectiva de movimiento.
El desarrollo del álgebra en el siglo XVI creó las condiciones para el nacimiento de la geometría analítica. Sabemos que el método de geometría analítica consiste en utilizar una ecuación para representar la relación entre dos coordenadas determinadas por una curva basada en la introducción de coordenadas, y reflejar la naturaleza del gráfico mediante el aprendizaje de ecuaciones. Si el álgebra no está simbolizada, es imposible establecer una ecuación de curva general incluso si se introduce minuciosamente el concepto de coordenadas. Usa su omnipotencia. En 1591, el matemático francés Veda fue el primero en utilizar letras en álgebra de forma consciente y sistemática. No sólo usó letras para representar cantidades desconocidas (como lo habían hecho otros antes que él), sino que también usó letras para representar números conocidos, incluidos coeficientes y constantes en ecuaciones. De esta forma, el álgebra es una rama de las matemáticas que se centra en cálculos para resolver diversos problemas especiales. Se adquiere el conocimiento del estudio de formas y ecuaciones generales, allanando el camino para el establecimiento de ecuaciones algebraicas de curvas geométricas. Por supuesto, la formación del álgebra simbólica no fue sólo obra de los Vedas. Antes que él, Stavin y otros habían hecho esfuerzos para establecer el concepto y el uso de símbolos para los exponentes de potencia. Como hoy, fue Descartes quien utilizó A, B, c... para representar números conocidos, y X, Y, z... para representar números desconocidos. En resumen, fue Descartes quien lo creó.
La aportación de Fermat
La geometría analítica fue fundada por Fermat y Descartes respectivamente. Fermat (1601-1665) nació en 1601 en una familia de comerciantes de cuero cerca de Toulouse, Francia. Se especializó en derecho en la universidad y se ganó la vida como abogado después de graduarse. Es miembro del consejo regional de Toulouse y consultor desde hace más de 30 años.
Aunque Fermat era un matemático aficionado y no estudió matemáticas seriamente hasta los 30 años, fue un líder en la historia de las matemáticas en el siglo XVII. Hizo la mayor contribución a la creación del cálculo antes de que Newton y Leibniz lo completaran básicamente. De hecho, si quieres añadir el nombre de un fundador después de Newton y Leibniz. Junto con Huygens y Pascal, se le considera el fundador de la teoría de la probabilidad. La teoría de números en el siglo XVII estuvo casi dominada por Fermat, y el famoso último teorema de Fermat todavía atrae a un grupo de perseguidores.
De la correspondencia entre Fermat y Pascal, podemos saber que Fermat ya había complementado algunas pruebas perdidas de la trayectoria de Apolonis con geometría analítica mucho antes de la publicación de la "Geometría" de Descartes. En 1968+0630, escribió este trabajo como "Introducción a las trayectorias en planos y sólidos". En este trabajo, Fermat tradujo problemas geométricos al lenguaje algebraico: ecuaciones y la forma unificada de ecuaciones mediante la introducción de coordenadas.
El sistema de coordenadas utilizado por Fermat es diferente al sistema de coordenadas rectangular comúnmente utilizado en la actualidad. Es una coordenada oblicua y no tiene eje Y. Si consideramos una curva y cualquier punto P en ella, y elegimos un rayo con O como origen, entonces P está representado por los segmentos de línea OQ y PQ (ver Figura 1), que es equivalente a lo que ahora llamamos X e y. Si solo Fermat No hay diferencia entre Apolonio y Apolonio en términos de objetos de investigación. La única diferencia es que los métodos de investigación son diferentes porque tradujo las propiedades de las secciones cónicas descubiertas por Apolonio al lenguaje algebraico mediante la introducción de coordenadas. No sólo libera las secciones cónicas de su posición subordinada, sino que también proporciona a varias curvas un método de representación general de ecuaciones algebraicas y un método de investigación unificado. Aunque Fermat no inventó las coordenadas y no fue el primero en utilizar el álgebra en el estudio de la geometría, nadie, excepto Fermat y Descartes, las combinó.
Aporte de Descartes
René. Descartes (René Descartes, 1596-1650) nació en una familia famosa en un pequeño pueblo de Durand, Francia. Descartes era frágil y enfermizo desde que era niño. Su madre murió temprano, por lo que su padre lo mimó aún más. Su padre le prometió acostarse temprano y levantarse tarde, y desarrolló el hábito de acostarse y pensar por la mañana. Una anécdota habla de su pensamiento armonioso.
En aquella época, era costumbre en Francia que las personas de noble cuna a menudo se sintieran orgullosas de servir en el ejército y en la iglesia. Descartes también se convirtió en sargento de caballería en el ejército del duque de Orange en los Países Bajos en 1617. Durante este período, Descartes vio una vez en la calle un cartel escrito en holandés, lo que despertó su curiosidad. En ese momento, un holandés se acercó y Descartes le preguntó. Pickman, el director le cuenta a Descartes lo que está escrito en el cartel, mientras prueba el dominio de las matemáticas de Descartes. Resulta que se trata de un anuncio para resolver un problema matemático, que tiene un sabor competitivo. Inesperadamente, Descartes respondió a estas preguntas en poco tiempo, por lo que Pickman lo apreció profundamente. Desde entonces, la confianza en sí mismo de Descartes para aprender matemáticas ha aumentado considerablemente y mantuvo una amistad duradera con Pickman.
1619 fue la "Guerra de los Treinta Años" en Europa. Descartes llegó al cuartel de Neuberg, en el río Danubio, donde había estado pensando en sus problemas filosóficos y matemáticos. En ese momento, tuvo tres sueños consecutivos el 30 de junio de 2009 +061165438. Se dice que este sueño se convirtió en un punto de inflexión en su vida, y decidió dejar el ejército para estudiar filosofía y matemáticas. En 1621, Descartes renunció al ejército y comenzó a estudiar matemáticas y a fabricar instrumentos ópticos. Durante este período escuchó las conferencias de Gerard Desargues y Meador (1585-1647), que fueron muy populares.
En 1629, Descartes se mudó a los Países Bajos para escapar de los problemas de vivir en París. Durante los siguientes 20 años se dedicó al estudio de la filosofía y las matemáticas. En los últimos cuatro años, escribí el libro "Universo", que trata principalmente sobre la física del universo. Al igual que sus escritos anteriores sobre el universo, Descartes fue atacado y opuesto por la iglesia. Para evitar el desastre como el de Copérnico y otros, Descartes tuvo que posponer su publicación hasta 1664. De 1633 a 1637, Descartes se dedicó principalmente a la creación del "Discurso sobre el método", incluidos sus tres apéndices "Refracción", "Meteorología" y "Geometría", que se publicó en Leiden el 8 de junio de 1637. Sólo con la ayuda de las matemáticas se pueden confiar en las conclusiones. La comprensión de Descartes y la inducción experimental de Bacon se convirtieron en los principales métodos para promover el desarrollo de la ciencia y la tecnología en la era capitalista temprana en dos aspectos diferentes.
En 1641 y 1644, Descartes publicó sus obras maestras filosóficas "Meditaciones metafísicas" y "Principios de filosofía".
Los grandes logros de Descartes hicieron que su fama creciera día a día.
En 1647 tuvo el honor de recibir un salario directamente del emperador francés. En 1649, Cristina de Suecia (1626-1689) lo invitó a enseñar matemáticas a la reina. Desafortunadamente, Descartes sólo permaneció en Suecia unos pocos meses.
La geometría analítica de Descartes aparece como un apéndice a la metodología. Hay tres volúmenes en esta parte. El primer volumen se titula "Posibles problemas al dibujar sólo círculos y líneas rectas". La primera mitad presenta varios ejemplos del uso de métodos algebraicos para resolver problemas de geometría analítica que aún no se utilizan, por lo que no son verdadera geometría analítica. La segunda mitad introduce el método de geometría analítica a través del proceso específico de resolución del problema de Pappus. En esta parte se refleja principalmente la denominada geometría analítica cartesiana. El segundo volumen se titula "Propiedades de las curvas". Aquí, Descartes describe un método para clasificar sistemáticamente curvas basándose en el número de ecuaciones basándose en la absorción crítica de las ideas de los antiguos matemáticos griegos sobre la clasificación de curvas. El tercer volumen se titula "Construcción de gráficos sobre sólidos y supersólidos", que presenta el método de utilizar secciones cónicas en métodos algebraicos para resolver problemas de sólidos. Entre ellos, los dos logros famosos de Descartes en álgebra son el "Teorema fundamental del álgebra" y la "Ley de los signos de Descartes". Aunque la "Geometría" de Descartes no mostró a los lectores un proceso secuencial desde el establecimiento de sistemas de coordenadas y ecuaciones hasta el estudio de ecuaciones, expresó claramente sus nuevas ideas y métodos a través de ejemplos específicos. Aunque esta idea y método no es tan completo en su forma como la geometría analítica actual, en esencia es una auténtica geometría analítica. Un ejemplo de Descartes expresando la geometría analítica es su solución del problema de Papus (alrededor del siglo III). El problema de Pappus es el siguiente: "Supongamos que se dan cuatro líneas rectas AB, AD, EF, GH, y luego las líneas rectas CB, CD, CF, CHG. Todas se trazan desde un cierto punto C, y cada punto está relacionado con el dado La línea recta forma los ángulos conocidos CBA, CDA y CFE. La trayectoria del punto CH (*) se muestra en la Figura 2. La solución de Descartes es encontrar el punto primero. dio un paso importante, es decir, considere una de las líneas rectas dadas y una de las líneas rectas buscadas, como AB y BC, como la línea principal, y luego haga que las otras líneas estén relacionadas con ellas. Esto es equivalente a. eligiendo AB y BC como ejes coordenados Descartes recuerda que AB es X y BC es Y, por lo que la relación de AB y BR está dada: AB = Z: B, entonces como AB = x, Dado que B es. entre C y R, entonces Cr = Y+ Si R está entre C y B, Cr = Y- Entre R, Cr =-Y+. Considere los triángulos DRC y ESB. CF y CH son todas expresiones lineales sobre las incógnitas X e Y, por lo que al sustituir (*), X en ambos lados de la ecuación, el grado de Y no será mayor que cuadrático. Es decir, la forma general de C. La ecuación de trayectoria puntual que satisface el problema de Papus debe ser: y2 = ay+bxy+CX+DX2
Donde, A, B., C y D son expresiones algebraicas simples compuestas de cantidades conocidas. Entonces, Descartes. enfatizó: "Si asignamos infinitos valores diferentes al segmento de línea Y uno por uno, también podemos encontrar infinitos valores para el segmento de línea x, de modo que, puede haber infinitos puntos C representados, de los cuales se puede representar la curva buscada. ”
De esta manera, Descartes unificó en el pasado los dos objetos de investigación opuestos “número” y “forma”, introdujo la idea de variables en las matemáticas y completó así un cambio que hizo época en el mundo. Historia de las matemáticas. Este trabajo no solo puso todo el campo de la geometría clásica bajo el control del álgebra, sino que también abrió el campo de las matemáticas variables, acelerando así la madurez del cálculo.
Engels habló muy bien. Las ideas innovadoras de Descartes dijo: "Matemáticas. El punto de inflexión es la variable cartesiana. Con las variables, el movimiento entra en las matemáticas, con las variables, la dialéctica entra en las matemáticas, con las variables, la diferenciación y la integración inmediatamente se vuelven necesarias, y surgen inmediatamente..."