Cuatro operaciones aritméticas con números complejos

Reglas de la aritmética de números complejos

Las reglas de la aritmética de números complejos incluyen: suma, resta, multiplicación y división. La suma de dos números complejos sigue siendo un número complejo. Su parte real es la suma de las partes reales de los dos números complejos originales y su parte imaginaria es la suma de las dos partes imaginarias originales. La suma de números complejos satisface las leyes conmutativa y asociativa. Además, cuando los números complejos sirven como bases, exponentes y números verdaderos de potencias y logaritmos, sus reglas de operación pueden derivarse de la fórmula de Euler e^iθ=cos θ i sin θ (radianes).

Nombre chino

Algoritmo complejo

Nombre extranjero

Algoritmo complejo

Incluye

Cuatro operaciones aritméticas, operaciones de potencia, operaciones logarítmicas

Campos relacionados

Matemáticas, aritmética

Símbolos especiales

i

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Multiplicación y división

Reglas logarítmicas

Reglas exponenciales

Suma y resta

Reglas de la suma

La suma de números complejos se realiza según las siguientes reglas: Sean z1=a bi, z2=c di dos números complejos cualesquiera,

Entonces su suma es (a bi) (c di)=(a c) (b d)i.

La suma de dos números complejos sigue siendo un número complejo. Su parte real es la suma de las dos partes reales originales del número complejo, y su parte imaginaria es la suma de las dos partes imaginarias originales.

La suma de números complejos satisface la ley conmutativa y la ley asociativa,

Es decir, para cualquier número complejo z1, z2, z3, existen: z1 z2=z2 z1; (z1 z2) z3=z1 (z2 z3).

Reglas de resta

La resta de números complejos se realiza según las siguientes reglas: Supongamos que z1=a bi, z2=c di son dos números complejos cualesquiera,

Entonces su diferencia es (a bi)-(c di)=(a-c) (b-d)i.

La diferencia entre dos números complejos sigue siendo un número complejo. Su parte real es la diferencia entre las partes reales de los dos números complejos originales, y su parte imaginaria es la diferencia entre las dos partes imaginarias originales.

Multiplicación y división

Reglas de multiplicación

Se estipula que la multiplicación de números complejos debe realizarse según las siguientes reglas:

Supongamos que z1=a bi, z2= c di (a, b, c, d∈R) son dos números complejos cualesquiera, entonces su producto (a bi) (c di) = (ac-bd) (bc ad) i.

De hecho, es multiplicar dos números complejos, similar a multiplicar dos polinomios, y expandirlo a: ac adi bci bdi2, porque i2 = -1, entonces el resultado es (ac-bd) ( bc ad)i . El producto de dos números complejos sigue siendo un número complejo.

En coordenadas polares, un número complejo se puede expresar como (r, θ) con la longitud del módulo r y el ángulo del argumento θ. Para el número complejo a bi, r=√(a2 b2), θ=arctan(b/a). En este momento, la multiplicación de números complejos se expresa como la suma de los argumentos y la multiplicación de las longitudes de los módulos.

Regla de división

Definición de división de números complejos: El número complejo x yi (x, y∈R) que satisface (c di) (x yi) = (a bi) se llama número complejo a bi división Toma el cociente del número complejo c di.

Método de operación: puedes convertir la división en multiplicación, multiplicar el numerador y el denominador por el yugo del denominador al mismo tiempo. El llamado yugo *** puede entenderse como la transformación de los signos más y menos. La multiplicación de dos números complejos que son yugos *** entre sí es una constante real.

Reglas de operación de división:

① Supongamos que el número complejo a bi(a, b∈R) se divide por c di(c, d∈R), y su cociente es x yi(x , y∈R),

Es decir, (a bi)÷(c di)=x yi

El denominador se realiza

∵(x yi)(c di)=(cx－dy) (dx cy)i

∴(cx－dy) (dx cy)i=a bi

Puede Como se puede ver en la definición de igualdad de números complejos, cx-dy= a dx cy=b

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos x=(ac bd)/(c2 d2) y=(bc -ad)/(c2 d2)

Entonces tenemos (a bi)/(c di)=(ac bd)/(c2 d2) ((bc-ad)/(c2 d2))i

②Usa *** yugo de números complejos para convertir el denominador a una transformación de número real (ver la imagen de la derecha):

Comentarios: ① Es un método convencional; Cuando usamos las fracciones irracionales que aprendimos en la escuela secundaria para simplificar fracciones irracionales, siempre usamos el método de pensamiento de racionalización del denominador, y el número complejo c di Con el número complejo c-di, es equivalente a la expresión dual que aprendimos en escuela secundaria Su producto es 1, que es un número racional, y (c di)·(c-di) = c2 d2 es un número real positivo. Por lo tanto, el denominador se puede convertir en un número real. Este método se llama método de realización del denominador.