¿Cuáles son los métodos de factorización?
En la escuela intermedia y secundaria, los estudiantes estarán expuestos a muchos ejemplos y preguntas de prueba de factorización. Entonces, ¿cuáles son los métodos de factorización y a qué se debe prestar atención? Lo siguiente es "¿Cuáles son los métodos de factorización?" Compilado por mí únicamente para su referencia. Le invitamos a leerlo. Método de factorización
1. Utilice el método de fórmula
Sabemos que la multiplicación de enteros y la factorización son transformaciones inversas entre sí. Si inviertes la fórmula de multiplicación, factorizas el polinomio. Entonces hay:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^ 2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
Si la fórmula de multiplicación se invierte, se puede usar para factorizar ciertos polinomios. Este método de factorización se llama método de fórmula.
2. Fórmula de diferencia cuadrada
1. Fórmula: a^2-b^2=(a+b)(a-b)
2. Idioma: La diferencia cuadrada de dos números es igual al producto de la suma de los dos números por la diferencia de los dos números. Esta fórmula es la fórmula de diferencia al cuadrado.
3. Factorización
1. Al factorizar, si hay factores comunes para cada elemento, los factores comunes deben mencionarse primero y luego descomponerse aún más.
2. La factorización debe realizarse hasta que cada factor polinómico no pueda descomponerse más.
IV. Fórmula cuadrada completa
1. Combina las fórmulas de multiplicación (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 y (a-b)^2=a. ^ 2-2ab+b^2 a la inversa,
Puedes obtener: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 y a^2-2ab+b^2=( a-b)^2, estas dos fórmulas se llaman fórmulas de cuadrado perfecto.
Esto significa que la suma de los cuadrados de dos números, más (o restando) 2 veces el producto de los dos números, es igual al cuadrado de la suma (o diferencia) de los dos números.
Las fórmulas a^2+2ab+b^2 y a^2-2ab+b^2 se llaman cuadrados perfectos.
2. La forma y características del método del cuadrado perfecto: ① Número de términos: tres; ② Dos términos son la suma de los cuadrados de dos números, y los signos de estos dos términos son iguales; ③ Un término son los dos números, el doble del producto de los números.
3. Cuando existen factores comunes en el polinomio, se deben proponer primero los factores comunes y luego descomponerlos mediante fórmulas.
4. A y B en la fórmula del cuadrado perfecto pueden representar monomios o polinomios. Aquí sólo necesitamos considerar el polinomio como un todo.
5. Al factorizar, debes descomponer hasta que cada factor polinómico ya no pueda descomponerse.
5. Método de descomposición de grupos
Echemos un vistazo al polinomio am+an+bm+bn. No hay factores comunes en estos cuatro términos, por lo que no podemos utilizar el método de extracción. Factores comunes. Veámoslo de nuevo. No se puede factorizar utilizando el método de la fórmula.
Si lo dividimos en dos grupos (am+an) y (bm+bn), estos dos grupos se pueden factorizar por separado extrayendo factores comunes.
Fórmula original=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)
Hacer este paso no se llama factorización polinomial porque no se ajusta al significado de factorización. Pero no es difícil ver que estos dos elementos también tienen un factor común (m+n), por lo que se pueden seguir descomponiendo, por lo que: fórmula original = (am+an)+(bm+bn)=a(m +n)+b( m+n)=(m+n)×(a+b).
Este método de utilizar la agrupación para descomponer factores se denomina método de descomposición por agrupación. En el ejemplo anterior, si a Después de agrupar los términos del polinomio y extraer sus factores comunes, sus otros factores son exactamente iguales, entonces este polinomio se puede factorizar utilizando el método de descomposición de grupos.
6. Método de extracción de factores comunes
1. Al utilizar el método de extracción de factores comunes para factorizar un polinomio, primero observe las características estructurales del polinomio y determine los factores comunes de. el polinomio. Cuando el factor común de cada término del polinomio es un polinomio, puedes convertirlo en un monomio configurando elementos auxiliares, o puedes considerar el factor polinómico como un todo y extraer directamente el factor común; cada término del polinomio Cuando el factor común del polinomio está implícito, el polinomio debe deformarse adecuadamente o cambiarse el signo hasta que se pueda determinar el factor común del polinomio
2. Utilice la fórmula x^. 2 +(p+q )x+pq=(x+q)×(x+p) Al factorizar, tenga en cuenta:
(1) El término constante primero debe descomponerse en el producto de dos factores, y estos dos La suma algebraica de los factores es igual al coeficiente del término lineal.
(2) Múltiples intentos de descomponer el término constante en un producto de dos factores que cumplan con los requisitos:
① Enumere los productos del término constante en dos factores. Una posible situación;
②Pruebe cuál de los dos factores tiene una suma que sea exactamente igual al coeficiente del término lineal.
3. Descomponga el polinomio original en la forma (x+q)(x+p).
7. Multiplicación y división de fracciones
1. La reducción de los factores comunes del numerador y denominador de una fracción se llama reducción de la fracción.
2. El propósito de reducir una fracción es reducir esta fracción a su fracción más simple.
3. Si el numerador o denominador de la fracción es un polinomio, primero puedes considerar factorizarlo por separado para obtener la forma del producto factorial y luego reducir el factor común del numerador y el denominador. o denominador es El polinomio en no se puede descomponer en factores. En este momento, ciertos términos del numerador y denominador no se pueden reducir de forma independiente.
4. En la reducción de fracciones, preste atención al uso correcto de las reglas de signos de las potencias, como x-y=-(y-x), (x-y)^2=(y-x)^2, (x-y) ^3=- (yx)^3.
5. La n-ésima potencia con signo del numerador o denominador de una fracción se puede cambiar al signo de toda la fracción de acuerdo con la regla del signo de fracción, y luego a la par-ésima potencia de -1 es la potencia positiva o impar. Trate el cuadrado como negativo. Por supuesto, el numerador y el denominador de una fracción simple se pueden elevar directamente a la potencia
6. Tenga en cuenta que en operaciones mixtas, los paréntesis deben ser. se calcula primero, luego la potencia, luego la multiplicación y la división, y finalmente la suma y la resta
8. Suma y resta de fracciones
1. Aunque las fracciones comunes y las reducciones son ambas. fracciones, son dos transformaciones opuestas. La reducción es para una fracción, la fracción común es para múltiples fracciones la reducción es para simplificar la fracción, mientras que la fracción común es para simplificar la fracción, unificando así los denominadores de cada fracción.
2. Tanto las fracciones generales como las fracciones reductoras se deforman en función de las propiedades básicas de la fracción, y su mayor similitud es que el valor de la fracción permanece sin cambios.
3. Generalmente, en el resultado de un denominador común, el denominador no se expande sino que se escribe en forma de un producto continuo, y el numerador se multiplica y se escribe como un polinomio para prepararlo para más adelante. operaciones.
4. La base de la fracción general: las propiedades básicas de la fracción.
5. La clave de las fracciones comunes: determinar los denominadores comunes de varias fracciones. Por lo general, el producto de las potencias más altas de todos los factores de cada denominador se toma como denominador común. Este denominador común se denomina denominador común más simple.
6. Analogizar el denominador común de una fracción para obtener el denominador común de una fracción: convertir varias fracciones con diferentes denominadores en fracciones con el mismo denominador que sean iguales a la fracción original, que se llama común denominador de la fracción.
7. La regla de suma y resta de fracciones con el mismo denominador es: sumar y restar fracciones con el mismo denominador, mantener el denominador sin cambios y sumar y restar los numeradores.
Para la suma y resta de fracciones con el mismo denominador, el denominador permanece sin cambios y los numeradores se suman y restan. Esto es para convertir la operación de fracción en una operación de número entero.
8. Reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores: Para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, primero haz que las fracciones sean comunes y conviértelas en fracciones con el mismo denominador, y luego suma y resta.
9. Al sumar y restar fracciones con el mismo denominador, el denominador permanece sin cambios. Solo necesitas sumar y restar los numeradores, pero ten en cuenta que cada numerador es un entero y los corchetes deben sumarse adecuadamente.
10. Para las operaciones de suma y resta entre números enteros y fracciones, los números enteros se consideran como un todo, es decir, como fracciones con denominador 1, para que puedan combinarse.
11. Para la suma y resta de fracciones con diferentes denominadores, primero observe si cada fórmula es la fracción más simple. Si se puede reducir, primero redúzcala para simplificar la fracción y luego divídala en una fracción común. fracción. Esto puede hacer una simplificación operativa.
12. Como resultado final, si es una fracción, debe ser la fracción más simple.
9. Ecuaciones lineales univariadas que contienen coeficientes de letras
Ejemplo de cita: a multiplicado por un número (a≠0) es igual a b, encuentre este número. Representa este número con Para x, la letra a es el coeficiente de x y b es el término constante. Esta ecuación es una ecuación lineal de una variable con coeficientes de letras. La solución de ecuaciones que contienen coeficientes de letras es la misma que la solución de ecuaciones que contienen solo coeficientes numéricos que hemos aprendido antes, pero se debe prestar especial atención: use una expresión que contenga letras para multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación. esta expresión no puede ser igual a cero. Lectura ampliada: se debe tener en cuenta la factorización
(1) La factorización y la multiplicación de números enteros son transformaciones inversas entre sí.
(2) El lado izquierdo de la ecuación debe ser un polinomio; y descomposición El resultado del factor debe expresarse en forma de producto
(3) Cada factor debe ser un número entero y el grado de cada factor debe ser menor que el grado del polinomio original; ;
(4) Los factores de descomposición deben descomponerse hasta que cada factor polinómico ya no pueda descomponerse.