¡Documento de Matemáticas del Día Nacional!
Un número irracional es un número real que no se puede expresar exactamente como la razón de dos números enteros, es decir, un decimal infinito no recurrente. Como pi, la raíz cuadrada de 2, etc.
Los números racionales son fracciones y números enteros, y se pueden convertir en decimales finitos o en decimales infinitamente recurrentes. Como el 22/7, etc.
Los números reales se pueden dividir en números racionales y números irracionales.
La diferencia entre números irracionales y números racionales:
1. Cuando los números racionales y los números irracionales se escriben como decimales, los números racionales se pueden escribir como decimales finitos y decimales recurrentes infinitos.
Por ejemplo, 4 = 4,0, 4/5 = 0,8, 1/3 = 0,33333... Y los números irracionales sólo se pueden escribir como infinitos decimales no recurrentes.
Por ejemplo √2 = 1.414213562........................ ............. ................................................. .. ....................................
2. son Se puede escribir como la razón de dos números enteros, no; Con base en esto, algunas personas sugirieron que los números irracionales deberían etiquetarse como "irrazonables", los números racionales deberían cambiarse a "números comparativos" y los números irracionales deberían cambiarse a "números no comparativos". Después de todo, los números irracionales no son irrazonables, pero al principio la gente no sabía mucho sobre ellos.
Utilizando las principales diferencias entre números racionales y números irracionales, se puede demostrar que √2 es un número irracional.
Demostración: Supongamos que √2 no es un número irracional, sino un número racional.
Dado que √2 es un número racional, se debe escribir como la razón de dos números enteros:
√2=p/q
Dado que P y Q no son reducibles El factor común, p/q, puede considerarse como la fracción más simple, es decir, la forma de fracción más simple.
Cuadrado √2 = ambos lados de P/q.
Obtenemos 2 = (p 2)/(q 2)
Es decir, 2 (q 2) = p 2.
Debido a que 2q^2 es un número par, p debe ser un número par. Sea p=2m.
A partir de 2 (q 2) = 4 (m 2)
Q 2 = 2 m 2.
De manera similar, q debe ser un número par, suponiendo q=2n.
Dado que P y Q son números pares, deben tener un factor común de 2, lo que contradice la suposición anterior de que p/q es la fracción más simple. Esta contradicción se debe al supuesto de que √2 es racional. Entonces √2 es un número irracional.
[Editar este párrafo] Fuente
Pitágoras (alrededor del 885 a. C. al 400 a. C.) fue muy inteligente desde que era niño. Una vez, estaba caminando por la calle cargando leña. Un hombre mayor vio que su método para agrupar leña era diferente al de los demás y dijo: "Este niño tiene mucho talento en matemáticas y definitivamente se convertirá en un académico universitario en el futuro". Al enterarse de esto, dejó atrás su leña y cruzó el Mediterráneo para estudiar en Tresmen. Pitágoras era muy inteligente. Bajo la dirección de Taylor, él resolvió muchos problemas matemáticos. Entre ellos, demostró que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados, se puede calcular que si se quiere utilizar baldosas cerámicas para pavimentar el piso, sólo se utilizan tres tipos de baldosas poligonales regulares: triángulo equilátero, regular; Se puede utilizar un cuadrilátero y un hexágono regular para pavimentar el suelo. También se demostró que sólo existen cinco poliedros regulares en el mundo: los regulares 4, 6, 8, 12 y el icosaedro. También descubrió los números impares, pares, triangulares, cuadriláteros, perfectos, de la amistad e incluso los números pitagóricos. Pero su mayor logro fue el descubrimiento del teorema de Pitágoras, que luego recibió su nombre, es decir, la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. Se dice que Pitágoras inventó este método cuando vio que los artesanos usaban baldosas cuadradas para colocar el piso del templo y, a menudo, calculaban el área.
Después de que Pitágoras se volvió competente en el uso del conocimiento matemático, sintió que no podía simplemente resolver problemas, por lo que trató de expandirse del campo de las matemáticas al campo de la filosofía y explicar el mundo desde la perspectiva de los números. . Después de una dura práctica, se le ocurrió la idea de que "todo es número". El elemento número es el elemento de todas las cosas y el mundo está compuesto de números. Nada en el mundo puede expresarse mediante números. Los números mismos son el orden del mundo. Pitágoras también fundó una fraternidad de jóvenes a su alrededor.
Unos 200 años después de su muerte, sus discípulos desarrollaron esta teoría y formaron una poderosa escuela pitagórica.
Un día, los miembros de la escuela acababan de terminar un seminario académico y estaban tomando un crucero para disfrutar del paisaje y disipar el cansancio del día. Era un día soleado y la brisa del mar soplaba suavemente, provocando capas de olas. Todos están muy felices. Un erudito barbudo miró el vasto mar y dijo emocionado: "La teoría del señor Pitágoras no está nada mal". Ves que las olas están capa sobre capa, con picos y valles, como números pares e impares. El mundo es un orden de números. "Sí, sí." "En ese momento, entró un hombre corpulento que estaba remando y dijo: "Hablemos de este barco y del mar". Medir el agua del mar con un barco definitivamente te dará una cifra exacta. Todo se puede representar con números. ”
“No lo creo. "En ese momento, un erudito en la popa de repente hizo una pregunta. Dijo con calma:" ¿Qué pasa si al final no es un número entero? ”
“Eso es un decimal. "¿Qué debo hacer si el decimal no se puede dividir en un bucle?" ”
“Imposible, todo en el mundo se puede expresar de forma directa y precisa mediante números. "
En ese momento, Xiucai dijo con calma en un tono que no quería discutir más: "No todo en el mundo se puede expresar con los números que conocemos ahora. Tomemos como ejemplo el triángulo rectángulo, que el Sr. Pitágoras estudió más. En el caso de un triángulo rectángulo isósceles, no se puede medir con precisión la hipotenusa con un lado derecho. ”
El erudito que hizo esta pregunta se llama Hipasus, un matemático inteligente, diligente e independiente entre los pitagóricos. Si no fuera por la controversia de hoy, no querría expresar Mi nuevo punto de vista. Al oír esto, el gran hombre que remaba se detuvo y gritó: "No, la teoría del señor se aplica en todas partes". Hippasos parpadeó con sus ojos inteligentes, estiró las manos y comparó los dos escapes con un triángulo rectángulo isósceles.
"Si el lado recto es 3, ¿cuál es la hipotenusa?" "
"4. "
"¿Más preciso? ”
”4.2. "
"¿Más preciso? ”
”4.24. "
"¿Más preciso? "
La cara del gran hombre estaba roja y no pudo responder por un tiempo. Hippasos dijo: "No se pueden contar 10 o 20 dígitos en el futuro. Esto es lo más preciso. He calculado muchas veces que un lado y el otro lado de cualquier triángulo rectángulo isósceles no se pueden representar con un número exacto. "Esto fue como un rayo caído del cielo, y todo el barco inmediatamente rugió: "¡Cómo te atreves a violar la teoría del Sr. Pitágoras y destruir el credo de nuestra escuela! "¡Atrévete a creer que los números son el mundo!" Hippasos estaba muy tranquilo en ese momento. Dijo: "Este es un nuevo descubrimiento. Incluso el señor Pitágoras me recompensará cuando esté vivo. Puedes verificarlo en cualquier momento". Pero la gente no escuchó su explicación y gritó enojado: "¡Traición! Señor discípulo sin escrúpulos". "¡Mátalo! ¡Mátalo!" El hombre barbudo se apresuró y le dio un puñetazo en el pecho. Hippasos protestó: "¡Ignoras la ciencia, eres tan irrazonable!" "El credo de los defensores siempre es legítimo". En ese momento, el gran hombre también se apresuró a recogerlo: "¡Aquí, una recompensa suprema para ti! " dijo, arrojando a Hipaso al mar. El mar azul rápidamente sumergió su cuerpo y nunca volvió a salir. En ese momento, había algunas nubes blancas flotando en el cielo y algunas aves acuáticas pasaban por la orilla del mar. Después de una tormenta, la costa mediterránea parece haber vuelto a la tranquilidad.
Un matemático muy talentoso fue arruinado por un erudito autoritario esclavo. Pero sí hace que la gente vea el valor de los pensamientos de Hippasos. Después de este incidente, los pitagóricos descubrieron verdaderamente que no sólo los lados rectángulos de un triángulo rectángulo isósceles no pueden medir la hipotenusa, sino que tampoco el diámetro de un círculo puede medir la circunferencia. Ese número es 3,141592653589726... y nunca será exacto. Poco a poco, comenzaron a arrepentirse de sus acciones irracionales al matar a Hippasus. Poco a poco comprenden que la intuición no es absolutamente confiable y algunas cosas deben probarse científicamente. Entienden que en el pasado, además del número "0" y los números racionales como los naturales, existían infinitos decimales no recurrentes; De hecho, se trata de un número recién descubierto; debería llamarse "número irracional". Este nombre refleja la verdadera cara de las matemáticas, pero también registra verdaderamente la arrogancia de los pitagóricos.
La crisis matemática provocada por los números irracionales se prolongó hasta el siglo XIX.
En 1872, el matemático alemán Dedekind partió del requisito de la continuidad y definió los números irracionales mediante la "división" de los números racionales. Estableció la teoría de los números reales sobre una base científica estricta, poniendo así fin a la era en la que los números irracionales se consideraban "irracionales". números" y duró dos años. La primera gran crisis en la historia de las matemáticas en más de mil años.
[Editar este párrafo] Lecciones y reflexiones
Ciencia no es igual a sacralidad. Ser científico no significa ser una persona moral. Esas lecciones existen a lo largo de los siglos. En el año 500 a. C., el hermano menor de los pitagóricos (Hipasos) en la antigua Grecia descubrió los números irracionales, pero fue ejecutado por su maestro.
Las lecciones de la historia están para educar a la humanidad. Hoy en día, todavía es una tarea difícil para la humanidad salir completamente de la sombra del poder político y de Lysenko. Las palabras de Norbert Wiener, fundador de la cibernética, aportan reflexiones sobre este acontecimiento: "La ciencia es una forma de vida que sólo puede florecer cuando las personas tienen libertad de creencia. Basada en órdenes externas. Las creencias que se ven obligadas a obedecer no son creencias. La sociedad basada en creencias tan falsas perecerá inevitablemente debido a la parálisis, porque en una sociedad así, la ciencia no tiene base para un crecimiento saludable".
De hecho, un problema eterno en la existencia y el desarrollo de la ciencia es La contradicción entre estándares e innovación. Por un lado, el surgimiento del conocimiento científico inevitablemente generará estándares relevantes para juzgar el bien y el mal. Por otro lado, el proceso de comprensión científica es un proceso de ruptura de los estándares originales, por lo que inevitablemente será restringido o suprimido por los estándares originales. Esto requiere que reflexionemos más profundamente sobre dos tragedias científicas: una son las consecuencias de implementar normas equivocadas; la otra es el desastre humanitario causado por la innovación desenfrenada; Nie Wentao dijo en su discurso sobre "Capacitación técnica adecuada para hospitales primarios": Durante el período comprendido entre la implementación del estándar dietético "limitado en carbohidratos" para la diabetes (estándar John Rollo) hasta la reimplementación del estándar "alto en carbohidratos" ( como el estándar del Peking Union Medical College Hospital), innumerables pacientes Pérdida adicional de la salud debido al tratamiento dietético incorrecto de la diabetes. ¿Cómo debería afrontar la comunidad médica esta situación? Este discurso causó una fuerte conmoción precisamente porque planteó una profunda cuestión ética científica.
Dos pasajes de la obra original de Stefan Zweig "Los derechos de los herejes": "(Castario y Calvino) En esta guerra, hay una "cuestión de vida o muerte" mucho más amplia y eterna. "Cada pensamiento El hombre en cada país, en cada época, tiene que determinar muchas veces los límites de la libertad y el poder, porque sin poder, la libertad degenerará en indulgencia y sobrevendrá el caos. Por otra parte, a menos que se dé la libertad, el poder se convierte en tiranía. " Estos dos pasajes esconden los siguientes significados: (1) Todos aquellos que sostienen puntos de vista heréticos deben demostrar sus derechos, o en otras palabras, todos aquellos que se oponen a la herejía. Aquellos que sostienen puntos de vista diferentes deben proporcionar pruebas; (2) Todos aquellos que sostienen Las opiniones heterodoxas deben demostrar su exactitud sin quejarse de la incomprensión de la sociedad anterior. (3) La importancia del llamado desarrollo científico es cambiar la comprensión original de los seres humanos. Por lo tanto, la elección equivocada es la correcta; de lo contrario, no habría racionalidad para la exploración científica.