En el cuadrilátero abcd

(1) Si es un paralelogramo

Según el significado de la pregunta, existen:

AD?=?7, OD?=? OB?=?1/ 2?BD?=?5

∠AOD?=?∠BOC?=?120°

En ΔAOD, según el teorema del coseno:

AD² ?=?AO²?+?DO²?-?2?AO?DO?cos∠AOD

AO²+?25?+?5?AO?=49

AO²?+?5?AO?–?24?=?0

La solución es: AO?=?3 o ?AO?=?-8

Deseche los números negativos, tome AO?=?3

Dibuje una línea vertical AE que pase por el punto A hacia BD y cruce a BD en el punto E

AE?=? AO?cos∠AOB?=?3?( √3)/2?=?(3/2)?√3

Entonces:

SΔABD?=?AE?BD ?/?2?=(3/2) ?√3?10?/?2?=?(15/2)?√3

S(ABCD)?=?2?SΔABD?= ?(15/2)?√3?2 ?=?15√3

(2) Si es un trapecio isósceles

Como se muestra en la figura, no es difícil para encontrar: ∠DAC?=?∠ACB?=?∠DBC?=?30°

AD?=?7 AC?=?BD?=?10

En ΔADC , según el teorema del coseno DC²?=?AD⊃?+?AC⊃? -?2?AD?AC?cos∠DAC?=?49?+?100?–?2?7?10?(√3 )/2?=?149?-?70√3

Dibujar la perpendicular DE de BC por el punto D y cortar a BC en E

En RtΔBDE DE?=?BD?sin ∠DBC?=?10?/?2?=?5

En RtΔCDE, EC⊃?=?DC²?-?ED²?=?149?-?70√3?–?25 ?=?124?-?70√3?=?25?3? -?2?(5√3)?7?+?49?=?(5√3?-?7)?²

Entonces EC?=?5√3?–?7

Entonces BC?=?AD?+?2EC?=?10√3?–?14?+?7?=? 10√3?–?7

Entonces S( ABCD)?=?(1/2)?(BC?+?AD)?ED?=?(1/2)?(10√3 ?–?7?+?7)?5?=?25√3