Definición de función analítica de variable compleja
La función de variable compleja se refiere a una función con números complejos como variables independientes y variables dependientes. La teoría relevante es la teoría de la función de variable compleja. La función analítica es una función analítica entre las funciones complejas. La teoría de funciones complejas estudia principalmente funciones analíticas en el dominio de los números complejos, por lo que generalmente se la llama teoría de funciones analíticas.
El concepto de números complejos se originó a partir de encontrar las raíces de ecuaciones. Al encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas cuadráticas y cúbicas, aparecían las raíces cuadradas de números negativos. Durante mucho tiempo la gente no pudo comprender tales cifras. Sin embargo, con el desarrollo de las matemáticas, la importancia de estos números se ha vuelto cada vez más evidente.
La teoría de las funciones variables complejas surgió en el siglo XVIII. En 1774, en uno de sus artículos, Euler consideró dos ecuaciones derivadas de la integración de funciones de variables complejas. Antes que él, el matemático francés d'Alembert ya los había obtenido en su tratado sobre mecánica de fluidos.
Por lo tanto, más tarde se hizo referencia a estas dos ecuaciones como la "ecuación de D'Alembert-Euler". En el siglo XIX, cuando Cauchy y Riemann estudiaron la mecánica de fluidos, las dos ecuaciones anteriores se estudiaron con más detalle, por lo que también se denominan condiciones de Cauchy-Riemann.
Propiedades de las funciones complejas
Las funciones complejas tienen muchas propiedades interesantes, la más importante de las cuales es que son analíticas. Esto significa que son infinitamente diferenciables en el plano complejo y satisfacen la ecuación de Cauchy-Riemann, es decir, la parte real de una función virtual pura y la parte imaginaria de una función real son continuamente diferenciables.
Además, debido a la existencia de ángulos y modos polares, las funciones variables complejas también tienen periodicidad, paridad y continuación analítica. Algunos conceptos importantes en funciones complejas incluyen: polos, ceros, residuos, etc.