¿Quién puede volver a publicar el artículo del profesor E.N. Lorenz sobre el efecto mariposa?

En general, si un modelo cercano a la realidad sin aleatoriedad inherente todavía tiene un comportamiento aparentemente aleatorio, el sistema físico real puede denominarse caótico. Un sistema que cambia de manera determinista o tiene una aleatoriedad débil a lo largo del tiempo se llama sistema dinámico, y su estado puede estar determinado por los valores de una o varias variables. En algunos sistemas dinámicos, dos estados casi idénticos se vuelven completamente inconsistentes después de un tiempo suficientemente largo, al igual que dos estados seleccionados al azar de una secuencia larga. Este tipo de sistema se llama sensiblemente dependiente de las condiciones iniciales. La dependencia sensible de las condiciones iniciales también puede utilizarse como definición de caos.

A diferencia de la ciencia lineal que habitualmente estudiamos, el caos estudia una ciencia no lineal, y la investigación científica no lineal siempre parece cambiar la comprensión de las personas sobre las cosas "normales" y los fenómenos "normales" hacia la exploración de fenómenos "anormales" de cosas "anormales". Por ejemplo, las ondas solitarias no son una propagación regular de oscilaciones periódicas; la tecnología "multimedia" adopta nuevos métodos "no convencionales" para producir una gran cantidad de fenómenos "no convencionales" que se encuentran en el proceso de almacenamiento, compresión, difusión, conversión y control de la información; rompe la "convención" de que las ecuaciones deterministas determinan estrictamente el movimiento futuro del sistema a partir de las condiciones iniciales, y aparecen varios fenómenos de los llamados "atractores extraños".

El caos proviene de sistemas dinámicos no lineales, y los sistemas dinámicos describen cualquier proceso que se desarrolla y cambia con el tiempo, y dichos sistemas ocurren en todos los aspectos de la vida. Por ejemplo, los ecologistas están interesados ​​en el comportamiento a largo plazo de una determinada especie, dadas algunas variables observadas o experimentales (como el número de depredadores, el clima severo, la disponibilidad de alimentos, etc.), establecen modelos matemáticos para describir el aumento y la disminución. de grupos. Si se utiliza Pn para representar el porcentaje del número límite de la especie después de n generaciones, entonces el famoso "mapa de Rogersti": Pn 1=kP(1-Pn) (k es una constante que depende de las condiciones ecológicas) se puede utilizar para un Po dado, bajo k condiciones, predice el comportamiento a largo plazo del número de población. Si la constante k se procesa en un parámetro variable k, cuando el valor k aumente a un cierto valor, el sistema dinámico compuesto por el "Mapa de Rogersti" entrará en un estado caótico. El modelo meteorológico más común es un ejemplo de un sistema dinámico gigante: la temperatura, la presión, la dirección del viento, la velocidad y las precipitaciones son variables de este sistema que cambian con el tiempo. El profesor E.N. Lorenz publicó el artículo "Flujos deterministas no periódicos" en la revista "Atmospheric Science" en 1963, explicando la relación entre la incapacidad del clima para reproducirse con precisión y la incapacidad de los pronosticadores meteorológicos a largo plazo. Debe haber una conexión. que es la relación entre no periodicidad e imprevisibilidad. Cuando Lorenz estaba usando las ecuaciones diferenciales que estableció para simular el cambio climático en una computadora, descubrió accidentalmente que diferencias muy sutiles en las condiciones iniciales de entrada podrían causar enormes cambios en los resultados de la simulación. Lorenz hizo una analogía, es decir, la pequeña corriente de aire provocada por el aleteo accidental de una mariposa en algún lugar de Brasil, un lugar del hemisferio sur, que mencionamos al principio del artículo, puede convertirse en un huracán que azote Texas en el hemisferio norte unas semanas más tarde, tornados, este es el "efecto mariposa" del clima.

Los sistemas dinámicos implican procesos físicos y químicos de los tipos anteriores y de otros tipos. Su propósito de investigación es predecir los resultados finales de desarrollo del "proceso". Es decir: si se conoce completamente la historia pasada de un proceso en una serie temporal, ¿se puede predecir su futuro? En particular, ¿pueden predecirse las propiedades graduales o a largo plazo del sistema? Se trata sin duda de una cuestión de gran importancia. Sin embargo, incluso el sistema dinámico idealizado más simple con una sola variable tendrá propiedades esencialmente aleatorias que son difíciles de predecir. La secuencia producida por iteraciones sucesivas de un punto o un número en un sistema dinámico se llama órbita. Si un pequeño cambio en las condiciones iniciales hace que la órbita correspondiente cambie sólo ligeramente dentro de un cierto número de iteraciones, el sistema dinámico es estable. En este momento, cualquier órbita con otro valor inicial cercano al valor inicial dado puede ser diferente del. original. Las órbitas varían ampliamente y son impredecibles. Por tanto, es extremadamente importante comprender el conjunto de puntos orbitalmente inestables en un sistema dinámico determinado.

El conjunto de todos los puntos cuyas órbitas son inestables es el conjunto caótico de este sistema dinámico, y pequeños cambios en los parámetros del sistema dinámico pueden provocar cambios drásticos en la estructura del conjunto caótico. Este tipo de investigación es extremadamente complicada, pero con la introducción de las computadoras, se puede ver visualmente la estructura de este conjunto caótico, ver si es un conjunto simple o complejo y cómo cambia a medida que cambia el sistema dinámico. . Esta es también la razón por la que la ciencia del caos avanzará con el avance de la tecnología informática. Aquí es donde los llamados fractales entran en el estudio de los sistemas dinámicos caóticos.

Hablemos brevemente de la relación entre el caos y los fractales. La ciencia del caos estudia el orden dentro del desorden. Incluso si muchos fenómenos siguen reglas deterministas estrictas, siguen siendo en gran medida impredecibles, como la turbulencia en el aire. el latido del corazón humano, etc. Los eventos caóticos muestran patrones de cambio similares en diferentes escalas de tiempo, lo cual es muy similar a la similitud que muestran los fractales en escalas espaciales. Caos analiza principalmente el proceso de inestabilidad y divergencia de los sistemas dinámicos no lineales, pero el sistema siempre converge a un determinado atractor en el espacio de fase, que es muy similar al proceso de generación fractal. El caos y las ciencias fractales dependen en gran medida del avance de las computadoras, que desafían el concepto tradicional de matemáticas puras. La tecnología informática no sólo hace posible algunos de los últimos descubrimientos en estos dos campos, sino que también estimula enormemente sus formas. despertó el interés y la comprensión de los científicos y del público, y desempeñó un papel promocional. La consistencia de los fractales y el caos no es casualidad. En las imágenes por computadora de conjuntos caóticos, a menudo son los conjuntos de puntos con órbitas inestables los que forman fractales. Entonces estos fractales están dados por una regla exacta (correspondiente a un sistema dinámico): son un conjunto caótico de sistemas dinámicos, varios atractores extraños. Por tanto, la belleza del arte fractal es la belleza de las colecciones caóticas, y el estudio del arte fractal es parte del estudio de la dinámica caótica.

El caos no es un evento accidental o individual, sino que prevalece en varios macro y micro sistemas del universo. Todo es caótico. El caos no es una ciencia independiente. Se promueve y se apoya entre sí con otras ciencias, y de él se derivan muchas materias interdisciplinarias, como la meteorología del caos, la economía del caos, las matemáticas del caos, etc. La ciencia del caos no sólo tiene un gran valor de investigación, sino que también tiene un valor de aplicación práctica y puede crear riqueza directa o indirectamente.

En la antigüedad, la gente tenía un miedo misterioso a los caprichos de la naturaleza. Miles de años de civilización y progreso han hecho que los humanos se den cuenta gradualmente de que la naturaleza tiene leyes que seguir. Los seguidores de la mecánica clásica creen que siempre que se conozcan aproximadamente las condiciones iniciales de un sistema y se comprendan los teoremas de la naturaleza, se puede calcular el comportamiento aproximado del sistema. La creencia de que existe una convergencia en el comportamiento de las cosas en el mundo ha llevado a logros brillantes en las predicciones de la mecánica clásica en astronomía, como el descubrimiento de Neptuno. Cuando la gente estudió Urano, descubrieron que había algunas irregularidades muy pequeñas en su órbita, lo que llevó a la gente a sospechar que había un planeta desconocido más allá de Urano. El británico Adams calculó cuándo y dónde aparecería la nueva estrella basándose en el teorema de Kepler. El científico alemán Goller realizó una exploración y descubrió la estrella a 1° de la posición esperada. El descubrimiento de Neptuno se convirtió así en el ejemplo más exitoso del determinismo clásico. Sin duda, el éxito de la mecánica clásica dio a la gente una gran confianza, de modo que la visión mecánica del universo como un enorme reloj ocupó una posición dominante. Un famoso dicho del gran matemático francés Laplace desarrolló esta idea de determinismo hasta su cúspide: "Supongamos que un hombre sabio conociera en cada momento la posición mutua de todas las fuerzas que animan la naturaleza y de todos los objetos que la componen. Si este sabio es tan profundo que puede analizar una cantidad tan grande de datos y condensar en una fórmula los movimientos de los objetos más grandes y de los átomos más pequeños del universo, para él nada es incierto, y en el futuro lo será. Aparece ante mis ojos tan claramente como en el pasado”. La solución más exitosa de la mecánica newtoniana en astronomía es el problema de dos cuerpos, como el problema de la Tierra y el Sol. Los dos cuerpos celestes realizan movimientos periódicos estrictos alrededor de su centro más homogéneo bajo la acción de la gravitación universal. Gracias a esto, los humanos en la Tierra tenemos un hogar tranquilo y confortable.

Pero hay más de dos miembros del sistema solar. ¿La existencia de un tercero sacudirá tal estabilidad y armonía? Laplace utilizó una vez el llamado "método de perturbación" para corregir la trayectoria del movimiento de tres cuerpos y demostrar la estabilidad del movimiento de tres cuerpos. Se dice que una vez Napoleón le preguntó qué papel desempeñaba Dios en esta prueba, y él respondió: "Su Majestad, no necesito tal suposición". Laplace negó a Dios, pero su conclusión fue errónea. Porque hay caos en el movimiento de los tres cuerpos.

¿Qué es el caos? El caos es un movimiento aparentemente aleatorio que ocurre en un sistema dinámico determinista. Su esencia es la sensibilidad del comportamiento a largo plazo del sistema a las condiciones iniciales. Como solemos decir, "una ligera diferencia puede suponer una pérdida de mil millas". Wiener, el creador de la cibernética occidental, dio una vívida descripción de esta situación: Cuando faltan los clavos, se quitan los zapatos; cuando se quitan los zapatos, los caballos de guerra son pisoteados; cuando los caballos de guerra son pisoteados, los caballeros desaparecen; ; cuando los caballeros se van, la guerra se rompe; cuando la guerra se rompe, el país queda destruido;

Un asunto tan trivial como la falta de clavos, magnificado paso a paso, en realidad condujo a la desaparición del país. La sensibilidad del sistema al valor inicial es como dijo el meteorólogo estadounidense Lorenz sobre el efecto mariposa: "Una mariposa que aletea en Brasil puede provocar un tornado en Texas. Esto es un caos".

Mirando a nuestro alrededor, nuestro espacio vital está lleno de caos. El caos involucra campos como la física, la química, la biología, la medicina, la economía social e incluso llega al campo del arte. Los evangelistas del caos afirman que el caos debería ser una de las tres ciencias principales del siglo XX. La teoría de la relatividad elimina la ilusión newtoniana del espacio y tiempo absolutos, la teoría cuántica elimina el sueño newtoniano en el proceso de medición controlable y el caos elimina la fantasía de previsibilidad de Laplace. La teoría del caos creará otra nueva revolución en el pensamiento científico. La teoría del caos reemplazará el universo ordenado de Newton y Einstein con un universo menos predecible. Los estudiosos del caos creen que el universo reloj tradicional no tiene nada que ver con el mundo real.

Echemos un vistazo al clásico fenómeno del caos.

2 Fenómeno del caos

2.1 Flujo turbulento

El flujo turbulento es un fenómeno común que los humanos ven comúnmente. La turbulencia es omnipresente en fenómenos naturales como las atmósferas planetarias y terrestres, los océanos y ríos, las estelas de cohetes e incluso el flujo sanguíneo.

En 1883, O. Reynolds, un famoso dinámico de fluidos experimental británico, realizó un experimento para demostrar la generación de turbulencias. Inyecte el líquido en un recipiente y habrá un tubo delgado que contiene líquido coloreado en el recipiente, como se muestra en la Figura 1. El líquido coloreado en el tubo puede salir por la pequeña abertura A. Hay una válvula instalada en el extremo inferior B. del recipiente grande, que se puede utilizar para controlar el caudal del agua. Cuando el flujo de agua en el recipiente grande es lento, el líquido coloreado que sale del tubo delgado aparece en una línea y los dos fluidos no se mezclan entre sí (Figura a). A este flujo lo llamamos flujo laminar. Al agrandar la válvula aumenta la velocidad del flujo de agua. Cuando la velocidad del flujo alcanza un cierto nivel, los dos líquidos comienzan a mezclarse entre sí y el flujo del líquido comienza a mostrar una estructura similar a un vórtice, y el gran vórtice lo rodea. el pequeño vórtice y el estado de movimiento se vuelve extremadamente "turbulento" (Figura b), no se puede hacer ninguna predicción sobre el estado de movimiento, y a este flujo lo llamamos flujo turbulento.

Figura 2 Turbulencia de la columna de humo de combustión

Figura 1 La generación de turbulencia (a) Flujo laminar sin mezcla (b) Turbulencia

La turbulencia es una típica La El mecanismo del caos y la turbulencia es un problema de larga data en física. Todos sabemos que existe un conjunto de ecuaciones básicas en mecánica de fluidos que describen el movimiento de los fluidos. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales decisivas basadas en los conceptos de suavidad y continuidad. No pueden describir una turbulencia tan compleja e irregular, incluso dejando de lado la estructura espacial. de la turbulencia, lo decisivo ¿Cómo pueden las ecuaciones de la mecánica de fluidos permitir un comportamiento temporal caótico de un movimiento aparentemente aleatorio?

Todos nosotros podemos ver el fenómeno de las turbulencias en nuestra vida diaria. La figura 2 muestra un cigarrillo encendido, con volutas de humo elevándose hacia el cielo. La columna de humo está erguida al principio, pero cuando alcanza cierta altura, de repente se vuelve caótica. Esta es una maravillosa demostración de cómo el flujo laminar se vuelve turbulento a medida que la térmica se acelera hacia arriba.

Figura 3 Turbulencia atmosférica en Júpiter

Una descripción adecuada del milagro del universo es la turbulencia atmosférica en Júpiter.

Es como una tormenta gigante que no se mueve ni amaina. La Figura 3 muestra la turbulencia atmosférica de Júpiter tomada por el Telescopio Espacial Hubble. Es un símbolo antiguo del sistema solar. Estas imágenes revelaron que la superficie de Júpiter es hirviente y turbulenta, con bandas horizontales que se extienden de este a oeste.

2.2 Rueda hidráulica de Lorenz

La figura 4 muestra el famoso sistema caótico descubierto por E. Lorenz que corresponde exactamente a un dispositivo mecánico: la rueda hidráulica de Lorenz, cuya estructura tan simple puede mostrarse sorprendentemente. comportamiento complejo.

Figura 4 Rueda hidráulica de Lorenz

Hay un flujo constante de agua que baja desde la parte superior de la rueda hidráulica hacia el cubo que cuelga del borde de la rueda. Hay un pequeño agujero en el fondo de cada cubo para permitir una fuga constante de agua. Si el agua de arriba corre muy lentamente, el barril superior no se llenará lo suficiente para superar la fricción del eje de la rueda y la rueda hidráulica no girará. Si el flujo de agua se acelera. El peso del cubo superior impulsa la rueda hidráulica, que puede girar continuamente a una velocidad constante, como se muestra en la Figura 4(a) y la Figura 4(b). Una vez que el flujo de agua se acelera, la rotación se vuelve caótica, como se muestra en la Figura 4 (c). Para los físicos tradicionales, la impresión intuitiva de una máquina simple como la rueda hidráulica de Lorenz les dice que después de funcionar durante mucho tiempo, siempre que la velocidad del flujo de agua de esta rueda hidráulica sea constante, definitivamente alcanzará un estado estable. Sin embargo, el hecho es que una rueda hidráulica nunca se estabiliza a una velocidad angular fija y su suerte nunca se repite en ningún patrón predecible. Debido a que los cubos pasan bajo la corriente, el grado en que se llenan depende de la velocidad angular de rotación. Una vez que la rueda hidráulica gira demasiado rápido y los cubos no tienen tiempo de llenarse o filtrar suficiente agua, y el cubo de atrás es más pesado que el de delante, la rotación se ralentizará o incluso se invertirá.

Figura 5 Fenómeno caótico del grifo que gotea

2.3 Grifo que gotea

La mayoría de la gente sabe que cuando el grifo se abre un poco, caerán gotas de agua muy regularmente. El grifo gotea. El intervalo de tiempo entre gotas consecutivas puede ser muy constante. Muchos insomnes están molestos y no pueden conciliar el sueño porque siempre están pensando en cuándo goteará la siguiente gota de agua. Pero cuando el caudal de agua es ligeramente mayor, el comportamiento del grifo resulta desconocido para la gente corriente. Se observó que dentro de un cierto rango de velocidad, aunque las gotas de agua caen separadamente una por una, su patrón de tictac nunca se repite, como un baterista con creatividad infinita. Esta transición de un patrón de goteo regular a un patrón de goteo aparentemente aleatorio es similar a la transición de un flujo laminar a un flujo turbulento. Como se muestra en la Figura 5, es fácil encontrar este fenómeno caótico irregular colocando un micrófono debajo del grifo y registrando los pulsos de sonido de las gotas de agua que golpean el micrófono.

(a) A dispara entre B y C (b) Primero B, luego C (c) Primero C, luego B

Figura 6 Experimento de billar de Bunimovich

2.4 Experimento de billar Bunimovich

Como se muestra en la Figura 6(a), A, B y C son tres bolas de billar idénticas sobre una mesa horizontal lisa. Las bolas están yuxtapuestas entre sí y de forma estacionaria. objetivo, la bola A los golpea a lo largo de la bisectriz vertical de su línea central. Suponiendo que la colisión es completamente elástica, ¿cómo se moverán las tres bolas después de la colisión? Si la bola A no apunta con suficiente precisión y choca con las bolas B y C de forma ligeramente secuencial, obtendremos los resultados que se muestran en la Figura 6 (b, c). muestran resultados completamente diferentes. Si la colisión de A, B y C ocurre absolutamente simultáneamente, ¿cuáles son las consecuencias? Nos quedaremos sin palabras. ¡En un problema bidimensional de tres cuerpos tan simple, la ley de Newton, completamente decisiva, no puede dar una respuesta definitiva!

2.5 Reacción química oscilante de Belousov-Zhabothsky

Cuando se mezclan dos sustancias químicas, la concentración de reactivos en el líquido de entrada permanece constante, mientras que la concentración en el líquido de salida vibra caóticamente.

2.6 Medicina Fisiológica

El profesor Walter de la Universidad de Berkeley descubrió que los electrocardiogramas de sujetos sanos tienen imágenes caóticas, mientras que los electrocardiogramas de sujetos moribundos tienen imágenes de vibraciones muy regulares.

2.7 Caos generado por la iteración de la calculadora

Las calculadoras generales tienen una tecla x2. Tome un número entre 0 y 1, como 0,54321, y presione la tecla x2.

Presiónelo nuevamente y presiónelo repetidamente. Este proceso se llama iteración. Observe la lectura del resultado. Pronto encontrará que cuando presione la tecla x2 por novena vez, el resultado es 0. Después de eso, 02 = 0, y habrá. No será nada más. Los resultados aparecieron.

Si usa x2-1 para iterar, encontrará rápidamente que el resultado sigue moviéndose entre 0 y -1, porque la razón es muy simple:

02-1=- 1, (-1)2-1=0

Si el número de iteraciones se usa como abscisa y el resultado de cada iteración como ordenada, el diagrama de secuencia de iteraciones que se muestra en la Figura 7 puede ser obtenido.

La iteración de la Figura 7x2-1 produce oscilaciones regulares, la dirección vertical es el valor x y la dirección horizontal es el número de iteraciones

Finalmente, probemos la iteración 2x2-1 , Obtendremos un resultado iterativo como se muestra en la Figura 8. Este resultado no parece tan simple como antes. De hecho, parece aleatorio o caótico. Una ecuación simple y decisiva produce resultados caóticos y completamente impredecibles.

La iteración de la Figura 82x2-1 produce caos

El caos es una forma de movimiento exclusiva de los sistemas dinámicos no lineales Ya en 1903, a principios del siglo XX, el matemático francés Poincart J.H. Poincaré señaló las posibles características del caos basándose en el pensamiento general de los sistemas dinámicos y la topología. En 1954, Kolmogorov, el ex embajador soviético de la teoría de la probabilidad, señaló que no sólo los sistemas disipativos tienen caos, sino que también los sistemas conservadores. En 1963, el meteorólogo estadounidense E. Lorenz publicó el artículo "Deterministic Nonperiodic Flows" en la revista "Atmospheric Science", señalando que la previsión meteorológica a largo plazo no es factible. Creía que una serie de eventos pueden tener un punto crítico en. En qué pequeños cambios pueden amplificarse hasta convertirse en grandes cambios se conoce como efecto mariposa. Una mariposa batiendo sus alas en Brasil podría provocar un tornado en Texas. El verdadero desarrollo de la ciencia del caos se produjo después de la década de 1970, cuando se celebró en Italia la primera conferencia internacional sobre el caos en 1977, que marcó el nacimiento de la ciencia del caos. En 1978, el científico estadounidense Feigenbaum publicó un artículo sobre la universalidad en la revista "Statistical Physics". Este artículo conmocionó al mundo. A partir de entonces, la investigación sobre el caos fue como una chispa que provocó un incendio en la pradera.

3 Métodos de investigación del caos

a: Órbita espiral tendiendo al atractor;

b: Órbita similar a un período (ciclo límite); tendiendo a atractores más complejos

Figura 9

3.1 Geometría del espacio de fases y atractores

Las investigaciones muestran que la mayoría de las ecuaciones diferenciales que describen el estado de un sistema son no lineales. ecuación. Cuando el efecto no lineal es fuerte, los métodos de aproximación anteriores ya no son aplicables. Con este fin, el matemático francés Poincaré propuso una teoría cualitativa para resolver ecuaciones diferenciales no lineales utilizando topología del espacio de fases. Sin encontrar la solución a la ecuación, las propiedades de la solución se pueden estudiar examinando directamente la estructura de la propia ecuación diferencial. El núcleo de la teoría es el diagrama de fases del espacio de fases. El espacio de fase consta de coordenadas de posición y velocidad de partículas. Un estado del sistema se puede representar mediante un punto en el espacio de fases, llamado punto de fase. El lugar geométrico de los puntos de fase del sistema se llama diagrama de fases. En el espacio de fases, la característica más importante de un sistema dinámico es su comportamiento a largo plazo. Generalmente, los sistemas dinámicos evolucionan con el tiempo y eventualmente tenderán a una forma final, que se denomina atractor en el espacio de fases. El atractor puede ser un punto de equilibrio estable (punto fijo) o una trayectoria periódica (ciclo límite), ver Figura 9 (a, b), o pueden ser muchas curvas de rotación que cambian continuamente sin un orden regular. atractor extraño. Como se muestra en la Figura 9(c).

Ejemplo: Diagrama de fase de un péndulo simple, considere las siguientes tres situaciones: (1) oscilación de ángulo pequeño sin amortiguación; (2) oscilación en cualquier ángulo sin amortiguación; amortiguación;

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Figura 10 Movimiento de ángulo pequeño de un péndulo simple

Solución: (1) Para el péndulo ideal como se muestra en la Figura 10, ignorando toda la amortiguación, de acuerdo con la segunda ley de Newton, su ecuación de movimiento se puede obtener como:

(1)

Donde θ es el ángulo del péndulo, g es la aceleración debida a la gravedad y l es la longitud del péndulo.

Si, entonces la fórmula (1) se convierte en:

(2)

Cuando el ángulo θ es muy pequeño, sinθ≈θ, entonces la fórmula (2) se puede escribir como:

Figura 11 Diagrama de fases del péndulo de ángulo pequeño

(3)

Integre la ecuación (3) una vez, podemos obtener

(4)

Tomando θ y θ como abscisa y ordenada respectivamente, el diagrama de fases de la ecuación (4) es una elipse, y c1 es una constante integral relacionada con las condiciones iniciales o energía total Para diferentes c1, podemos obtener elipses concéntricas de cluster, como se muestra en la Figura 11. Este diagrama de fases muestra que el estado del sistema cambia periódicamente. Esto corresponde al atractor de ciclo límite.

(2) Si la cicloide es una varilla rígida y liviana, el péndulo puede estar en un estado invertido y puede oscilar en cualquier ángulo. La ecuación de movimiento del péndulo simple sigue siendo la ecuación (1). Al integrar la ecuación (1) una vez, podemos obtener:

(5)

(6)

c2 es una constante de integración relacionada con las condiciones iniciales o la energía total. Cuanto mayor es c2, mayor es la energía. Considerando tanto el ángulo de oscilación pequeño como el ángulo de oscilación grande, se puede obtener el diagrama de trayectoria del espacio de fase que se muestra en la Figura 12.

Figura 12 Diagrama de fases del movimiento general del péndulo Figura 13 Diagrama de fases del péndulo amortiguado de ángulo pequeño

Como se puede observar en la figura, en el caso de ángulo pequeño y baja energía, la trayectoria de fase es elíptica. A medida que la energía aumenta gradualmente, la trayectoria elíptica adquiere forma de azufaifa con esquinas afiladas en los extremos izquierdo y derecho. Cuando la amplitud (ángulo de oscilación) ±π, aparecen puntos de silla G y G' en la trayectoria, que en realidad corresponden al estado. de un péndulo invertido. Es un punto hiperbólico inestable. Cuando la energía es mayor, la trayectoria de fase ya no está cerrada y el péndulo girará en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj y ya no oscilará hacia adelante y hacia atrás.

(3) Oscilación de ángulo pequeño con amortiguación

Después de considerar la amortiguación, la ecuación de movimiento del péndulo simple cuando el ángulo de oscilación es pequeño es:

( 7)

Donde β=r/2m es el coeficiente de amortiguación adimensional y r es el coeficiente de amortiguación. Se puede ver en el caso (1) que cuanto menor es la energía del péndulo simple, más pequeños son los semiejes mayor y menor de la trayectoria de fase elíptica. Cuando c1 = 0, la elipse degenera hasta un punto, es decir. , el origen. Este punto corresponde al estado estable del péndulo simple y corresponde a diferentes atractores de puntos móviles.

3.2 Atractor extraño y efecto mariposa

Escuchamos o miramos los pronósticos meteorológicos todos los días, y el sueño de la humanidad es hacer que los pronósticos meteorológicos a largo plazo sean lo más precisos posible. La invención y el desarrollo de las computadoras han proporcionado a los humanos poderosas herramientas para el pronóstico del tiempo. En realidad, la atmósfera está compuesta de innumerables moléculas que se mueven de un lado a otro y son discontinuas. Sin embargo, en la mecánica clásica, la atmósfera suele ser reemplazada por un fluido ideal continuo y suave. Hace cientos de años, Euler y Bernoulli escribieron las ecuaciones de movimiento que describen este fluido.

Figura 14 Curva de evolución climática

Para resolver las ecuaciones de movimiento debemos iterar en tiempos discretos. La llamada iteración consiste en utilizar el resultado del cálculo como el valor actual y sustituirlo en la ecuación para encontrar el siguiente valor de la ecuación. Tal como lo hicimos en el caos de iteraciones de la calculadora anterior, solo que ahora reemplazamos el número de iteraciones con el tiempo. Las iteraciones de pronósticos meteorológicos deben realizarse a velocidades increíblemente altas, realizando más de 1 millón de operaciones por segundo. Todos creemos que cuanto más precisas sean sus ecuaciones, más precisos serán sus pronósticos. De hecho, hay demasiados factores que afectan el movimiento atmosférico y es imposible tenerlos en cuenta todos. Por lo tanto, sólo podemos captar la contradicción principal e ignorar los factores secundarios.

Lorentz era un meteorólogo que había sido meteorólogo desde pequeño y registraba repetidamente las lecturas del termómetro en el pequeño observatorio fuera de la casa de su familia. También amaba las matemáticas y la pureza de las matemáticas. Fueron estas dos aficiones las que le llevaron a realizar un trabajo pionero en el campo de la investigación del caos.

Lorentz estaba utilizando su ordenador "Royal Macbi" para simular el sistema atmosférico con el fin de encontrar métodos para la predicción meteorológica a largo plazo. Por casualidad, Lorenz no hizo un cálculo desde el principio. Tomó un atajo y comenzó desde el medio, ingresando los resultados previamente impresos como condiciones iniciales.

Se suponía que esta nueva ronda de cálculos repetiría los resultados de los cálculos anteriores, porque el programa no había cambiado. Sin embargo, cuando vio los resultados impresos, quedó atónito. La curva de evolución climática que calculó estaba lejos de la ronda de cálculos anterior. No es un tipo de clima en absoluto, sino dos tipos de clima completamente diferentes, como se muestra en la Figura 14.

El problema radica en los datos que ingresó. Hay 6 dígitos en la memoria de la computadora, como por ejemplo: 0.506127, pero para ahorrar espacio al imprimir, solo se imprimen tres dígitos, es decir, 0.506. Instintivamente creyó que este error de milésimas no tendría un gran impacto en los resultados. Esta pequeña diferencia era como una brisa que soplaba y no tendría ningún impacto en el clima a gran escala. El hecho es exactamente lo contrario. La evolución del clima es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Se puede decir que "una ligera diferencia puede provocar una pérdida de miles de kilómetros", del mismo modo que el batir de una mariposa en Brasil provocaría una pérdida. Tormenta en Texas. Por eso, Lorenzo lo llamamos efecto mariposa. El efecto mariposa es en realidad un término popular para referirse a la sensible dependencia del comportamiento dinámico del sistema respecto de los valores iniciales.

Si Lorenz se quedó en el efecto mariposa, explicando la imprevisibilidad del cambio climático, o la imposibilidad de pronosticar el tiempo a largo plazo, entonces lo que trajo no fueron más que malas noticias, pero Lorenz vio la Geometría.

Lorentz introdujo sus ecuaciones en la computadora Royal Macbi, que las iteraba aproximadamente una vez por segundo. La Figura 15 muestra los resultados de las primeras 3000 iteraciones del valor de su variable y. Durante las primeras 1500 veces, el valor de y oscila periódicamente y la amplitud de la oscilación aumenta de forma constante. Luego, osciló violenta e irregularmente. Lorentz dibujó la curva del espacio de fase con x, y y z como ejes de coordenadas como se muestra en la Figura 15. Como puede verse en la figura, el diagrama de fases es tridimensional y consta de dos piezas, cada una de las cuales rodea un punto fijo. Si la trayectoria del estado se detiene en un punto fijo después de un período de tiempo, significa que el sistema ha entrado en un estado estable y esta trayectoria de fase será un atractor mediocre. Sin embargo, en realidad, la trayectoria de fase salta "al azar" entre las dos piezas, lo que indica que el estado del sistema evoluciona con cierta regularidad. Este diagrama de fases no corresponde a ningún estado estacionario, por lo que se denomina atracción extraña, también conocida. como atractor de Lorentz.

Figura 15 Atractor extraño de Lorentz

Lo extraño del atractor extraño es que aunque las trayectorias de fase saltan hacia adelante y hacia atrás entre las dos piezas, nunca se cruzan entre sí, es decir, No constituyen ningún movimiento periódico, los cambios de estado del sistema son aleatorios e impredecibles, por lo que al atractor extraño también se le llama atractor caótico. Además, la evolución del estado del sistema es muy sensible a las condiciones iniciales. Dos puntos del diagrama de fases que inicialmente están arbitrariamente cerca uno del otro, después de un tiempo suficientemente largo se separan macroscópicamente en el atractor, correspondiendo a estados completamente diferentes.

4 Modelo matemático del caos

4.1 El camino hacia el caos - modelo unidimensional de población de insectos - mapa logístico

T.R Malthas (T.R. Malthas) en En su libro "Sobre el principio de la población", tras analizar los patrones de crecimiento demográfico en algunas zonas de América y Europa en el siglo XIX, concluyó: "En condiciones no controladas, la población se duplica cada 25 años, es decir, sobre una base geométrica. crecimiento". No es difícil escribir la "Teoría Malthusiana de la Población" en forma matemática. Para este propósito, 25 años pueden considerarse como una generación, y la población de la enésima generación se registra como xn. Malthus significa:

xn 1 = 2xn (4.1)

Esto. es simple La relación proporcional directa también se puede escribir de manera más general, es decir:

xn 1 = gxn (4.2)

donde g es el coeficiente proporcional. No es difícil comprobar que la solución de la ecuación en diferencias es:

xn = gnx0 (4.3)

x0 es la población de la generación en la que comienza el cálculo. Mientras ggt;1, xn pronto tenderá al infinito y se producirá una "explosión demográfica". Un modelo lineal de este tipo no puede reflejar en absoluto las leyes cambiantes de la población, pero con ligeras modificaciones, puede denominarse ecuación de población de insectos que describe el número de insectos sin superposición de generaciones.

Esta corrección tiene en cuenta los factores negativos que limitan el crecimiento de la población de insectos.

Cuando hay demasiadas poblaciones de insectos, se producen picaduras y peleas debido a la competencia por alimentos y espacio vital limitados. Las enfermedades se propagan debido a la infección por contacto. El número de estos eventos es proporcional a xn2, por lo que la ecuación 4.2 se puede modificar como:

xn 1 = gxn -gxn2 (4.4)

Esta ecuación aparentemente simple puede mostrar comportamientos dinámicos ricos y coloridos. De hecho, no es un modelo que describa cambios en la población de insectos. Considera factores tanto alentadores como inhibidores, lo que refleja el efecto "demasiado no es suficiente", por lo que tiene un significado y uso más general.

La ecuación (4.4) se puede escribir como una ecuación abstracta y estándar de la boca de un insecto:

xn 1 = g xn(1- xn)(4.5)

Por ejemplo, la Figura 16 utiliza el método iterativo para examinar las características de la solución. Dibuje las gráficas de y=f (x) e y=x. Dado cualquier valor inicial x0, obtenemos f (x0). f(x1)..., Y así continúa el ciclo.

Figura 16 Curva de iteración de y = f (x)

Cuando 0lt;glt;1, partiendo de cualquier valor inicial x0, sustituyendo en la ecuación (4.5), podemos obtener x1 , y luego sustitúyalo en la ecuación (4.5) para hacerlo pequeño), provocando que la población finalmente muera. De hecho, g representa el grado de no linealidad de la función. Cuanto mayor es g, mayor es gxn2, mayor es el grado de no linealización y más convexa es la forma del arco de la parábola. Esta iteración también se llama iteración unimodal.

Cuando 1lt;glt;3, el resultado de la iteración se muestra en la Figura 17(b). Por ejemplo, tome g =2, x0=0,9, x1=0,18,..., xn=0,5 y se detiene allí. Es decir, hay un atractor puntual en xn=0,5, un estado estable. Si realiza un seguimiento de esta población, encontrará que el número de población permanece estable a lo largo del tiempo.

(a) 0lt; glt; 1 (b) 1lt; glt; 3 (c) g =3.1 (d) g =3.58

Figura 17 Iteración de poblaciones de insectos con diferentes g parámetros Resultados

Cuando g = 3.1, después de ciertos pasos, el resultado de la iteración oscilará de manera estable entre los dos valores x1n y x2n, como se muestra en la Figura 17 (c). Esta hermosa oscilación se llama ciclo de período 2. Es decir, si realiza un seguimiento de la población, encontrará que el número de población se repite cada dos años. Al igual que algunos árboles frutales tienen años grandes y pequeños, x1n y x2n también son de punto fijo. atractores.

Cuando g=3.53, el resultado de la iteración oscilará entre 4 valores, es decir, el período de oscilación se duplica, lo que se denomina ciclo de período 4. Continúe aumentando el valor g y también podrá obtener un ciclo de 8 ciclos, un ciclo de 16 ciclos, etc. El período de cada solución se duplica. Cuando g alcanza un cierto valor crítico, como cerca de g = 3,58, el resultado de la iteración ya no se repite, sino que oscila violentamente y nunca se estabiliza. Lo llamamos estado caótico, como se muestra en la Figura 17 (d).

Si g es la abscisa y el resultado de la iteración es la ordenada, se puede obtener el diagrama de bifurcación que se muestra en la Figura 18. A partir del valor crítico g = g￥, el mapa logístico entra en la zona caótica. En este caso, el número de poblaciones es completamente impredecible. Este tipo de atractor

Figura 18 Diagrama de bifurcación del modelo de boca de insecto Figura 19 Estructura fina autosimilar del diagrama de bifurcación

El atractor es un atractor extraño que es diferente de los puntos fijos y soluciones periódicas. Si tuvieras que seguir una población, pensarías que los cambios en el tamaño de la población son completamente aleatorios. Sin embargo, si observa de cerca la Figura 18, encontrará que en la zona caótica compleja, encontrará algunas ventanas con soluciones periódicas, como 3, 6, 12,... o 7, 14, 28..., el fenómeno de bifurcación en la ventana es similar a la estructura general, es decir, este gráfico de bifurcación iterativo tiene una estructura fina autosemejante infinitamente anidada, como se muestra en la Figura 19. Una serie de bifurcaciones que duplican el período significan la llegada de un estado caótico. Este es un modo típico de entrar en el caos mediante la bifurcación que duplica el período.

La característica importante de un sistema caótico es que cuando se cambia un determinado parámetro, se producen bifurcaciones una tras otra. La forma final se transforma del punto fijo al período 2 (r), período 4 (r), período 8, etc., logrando una serie de bifurcaciones que duplican el período y finalmente avanza hacia el caos.

4.2 Propiedades geométricas del efecto caos - Transformación estiramiento-plegamiento de Benole