¿Cuál es el dominio de las funciones trigonométricas inversas?
La función trigonométrica inversa es un término matemático. La función trigonométrica inversa no puede entenderse en un sentido estricto como la función inversa de la función trigonométrica. Es una función multivaluada. Es el nombre colectivo de funciones como arcoseno Arcsin x, arcocoseno Arccos x, arctangente Arctan x y arcocotangente Arccot x, cada una de las cuales representa el ángulo cuyo seno, coseno, tangente y cotangente son x. El siguiente es el dominio de definición de funciones trigonométricas inversas que he compilado para usted. ¡Bienvenido a leer!
El dominio de definición de funciones trigonométricas inversas
y=arcsin(x), el. dominio [- 1, 1]
Y=arccos(x), dominio [-1, 1]
y=arctan(x), dominio (-?, ?)
p>Y=arccot(x), dominio (-?, ?)
sin(arcsin x)=x, dominio [-1, 1]
Terminología matemática de la función trigonométrica inversa
Para limitar la función trigonométrica inversa a una función de un solo valor, limite el valor y de la función seno inversa a -?/2?y?/2, y use y como el valor principal de la función seno inversa, registrado como y=arcsen x correspondientemente, el valor principal de la función coseno inversa y=arccos x está limitado a 0?y?; =arctan x está limitado a -?/2
La función trigonométrica inversa en realidad no puede llamarse función porque no cumple con el requisito de que una variable independiente corresponda a un valor de función y su imagen sea simétrica a su función original sobre la función y=x. El concepto fue propuesto por primera vez por Euler, y el nombre de la función de arco se utilizó por primera vez para representar la función trigonométrica inversa en lugar de f-1(x).
⑴La función inversa de la función seno y=senx en [-?/2,?/2] se llama función seno inversa. arcsinx representa un ángulo cuyo valor seno es x, y el rango de este ángulo está en el intervalo [-?/2,?/2]. La línea roja en la imagen
⑵La función inversa de la función coseno y=cosx en [0,?] se llama función coseno inversa. arccosx representa un ángulo cuyo valor coseno es x, y el rango de este ángulo está en el intervalo [0,?]. La línea azul en la imagen
⑶La función inversa de la función tangente y=tanx en (-?/2,?/2) se llama función arcotangente. arctanx representa un ángulo cuyo valor tangente es x, y el rango de este ángulo está en el intervalo (-?/2,?/2).
La línea verde en la imagen
Nota: El método de dibujo de la imagen se basa en las propiedades de la función inversa, es decir: la imagen de la función inversa es simétrica con respecto a y=x
Hay tres funciones trigonométricas inversas principales:
Y=arcsin(x), dominio de definición [-1, 1], rango de valores [-?/2,?/2] La imagen está marcada con líneas de color rojo oscuro;
y=arccos( x), dominio [-1, 1], rango de valores [0, ?], imagen con líneas de color azul oscuro
y=; arctan(x), dominio (-?, ?), rango de valores (-?/2, ?/2), la imagen usa líneas de color verde claro
y=arccot(x), dominio de definición (; -?, ?), rango de valores (0, ?), aún no hay imagen;
sin(arcsinx)=x, dominio de definición [-1, 1], rango de valores [-1, 1]arcsin (-x)=-arcsinx
El método de prueba es el siguiente: supongamos arcsin(x)=y, luego sin(y)=x Sustituya estas dos ecuaciones en la fórmula anterior para obtener
Se pueden obtener varios otros usando métodos similares
cos(arccosx)=x, arccos(-x)=?-arccosx
tan(arctanx)=x, arctan (-x)=-arctanx
Fórmulas matemáticas para funciones trigonométricas inversas
Otras fórmulas para funciones trigonométricas inversas:
cos(arcsinx)=(1-x ^2)^0.5
arcsin(- x)=-arcsinx
arccos(-x)=?-arccosx
arctan(-x)=- arctanx
arccot(-x)=? -arccotx
arcsinx arccosx=?/2=arctanx arccotx
sin(arcsinx)=cos(arccosx)= tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
arcsinx=x x^3/(2*3) (1*3)x^5/(2*4*5) 1*3*5 (x^7)/(2*4*6*7) ? (2k 1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k 1)) ?(|x|lt;1) !! representa factorial doble
arccosx=? -(x x^3/(2*3) (1*3)x^5/(2*4*5) 1*3*5(x^ 7)/(2*4*6*7)?)( |x|lt；1)
arctanx=x-x^3/3 x^5/5-?
Ejemplo
Cuando x?[-?/ 2,?/2] con arcsin(sinx)=x
x?[0,?], arccos(cosx)=x
x?(-?/2,? /2), arctan(tanx)=x
x?(0,?), arccot(cotx)=x
xgt; 0, arctanx=?/2-arctan1/ x, arccotx es similar
Si (arctanx arctany)?(-?/2,?/2), entonces arctanx arctany=arctan( (x y)/(1-xy))