Preguntas de la página 16 del cuaderno de ejercicios de matemáticas de séptimo grado de la escuela secundaria Qidong.

Según el libro de texto de séptimo grado, los estudiantes deben conocer las reglas de observación, por lo que existen los siguientes puntos clave:

(1) Se sabe que |ab-2| y |b-1. | son antónimos entre sí: |ab-2| =0 y |b-1|=0 (solo el opuesto de 0 en números no negativos es 0), es decir, primero b=1 y luego a. la expresión algebraica es:

1*2+2* 3+3*4+4*5+……+2009*2010

=1*(1+1)+2 *(2+1)+3*(3+1)+4* (4+1)+…+2009*(2009+1)

=(1^2+1)+(2 ^2+2)+(3^2+3)+(4^ 2+4)+…+(2009^2+2009)

=(1+2+3+4+…+ 2009)+(1^2+2^2+3^2+4 ^2+…+2009^2)

(2) La suma de 1+2+3+4+…+2009 se puede encontrar mediante la fórmula básica, es decir, 1+2+3+4+…+ n = n(n+1)/2.

La clave de esta fórmula es encontrar el valor de 1^2+2^2+3^2+4^2+...+2009^2. La siguiente es la derivación de la fórmula; :

Aquí hay dos métodos, asumiendo sn = 1 ^ 2+2 ^ 2+...+n 2.

Método 1:

(puede entenderse como 1 1+2 2+3 3+…+n N) expandido a.

1+2+3+4+5……+n

+2+3+4+5+……+n

3+4 +5+…+n

4+5+…+n

+n

Usar fórmula de suma:

(1+n)n/2

+(2+n)(n-1)/2

+……

+(n+n)(n-(n-1))/2

Simplificar = 0,5 *[(n+1)n+(n+2)(n-1) +(n+3 )(n-2)+(n-4)(n-3)+...(n+n) (n

Esto es equivalente a obtener una ecuación sobre Sn .

Simplificarlo:

n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3sn,

Obtener

sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n=1/6*n(n+1)(2n+1)

Método 2:

Sn=S(n-1)+n^2

=s(n-1)+1/3*[n^3-(n -1)^3] +n-1/3

=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[ n^2-(n -1)^2]+1/6

=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1 /2*[n^ 2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]

Es decir, sn-1/3 * n3-1/2 * N2-n/ 6 = s(n-1)-1/3 *(n-1)3-65448

¡Está bien! El lado izquierdo de la ecuación es todo n y el lado derecho es todo (n-). 1) ). Si continuamos con la recursividad, podemos obtener

sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6

=s. (n- 1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6

=s(n-2 )-1 /3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6

……

= s(1 )-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6

=0

Entonces sn = 1/3 * n3+1/2 * n+1/6 * n

Entonces la fórmula original = 2009 *(2009+1)/2+2009 *(2009+. 1)* (2 * 2009+1)/6 = 270686330.

La derivación de la segunda fórmula de esta pregunta es bastante difícil para los estudiantes.

¡Al final ayudaré al cartel original! !