Describe cuestiones específicas relacionadas con el infinito y el infinito en tres crisis matemáticas de la historia.

La primera crisis se produjo en la antigua Grecia entre el 580 y el 568 a.C., cuando el matemático Pitágoras estableció la Escuela Pitagórica. La escuela es una combinación de religión, ciencia y filosofía. Sus números son fijos, su conocimiento es secreto y todos los inventos se atribuyen a su líder. En ese momento, la comprensión de la gente sobre los números racionales todavía era muy limitada y no sabían nada sobre el concepto de números irracionales. Los pitagóricos decían que originalmente los números significaban números enteros. No ven una fracción como un número, sino simplemente como la proporción de dos números enteros. Creen erróneamente que todos los fenómenos del universo se atribuyen a números enteros o a proporciones de números enteros. Según el teorema de Pitágoras (llamado teorema de Pitágoras en Occidente), Hibersus, miembro de la escuela de pensamiento, descubrió mediante razonamiento lógico que la longitud diagonal de un cuadrado con longitud de lado 1 no es un número entero ni una proporción de números enteros. El descubrimiento de Herbessus fue considerado "ridículo" y desafió el sentido común. No sólo violó gravemente el credo de los pitagóricos, sino que también afectó las opiniones tradicionales de los griegos en ese momento. Los matemáticos griegos estaban profundamente perturbados en aquel momento. Según la leyenda, Herbissus fue enterrado en el mar a causa de este descubrimiento. Esta fue la primera crisis matemática.

Finalmente esta crisis se solucionó introduciendo en la geometría el concepto de cantidades inconmensurables. Si dos segmentos de recta geométrica tienen un tercer segmento de recta que puede medirlos simultáneamente, se dice que son inconmensurables; en caso contrario, se dice que son inconmensurables; No existe un tercer segmento que pueda medir tanto un lado como la diagonal del cuadrado, por lo que son inconmensurables. Obviamente, mientras admitamos la existencia de cantidades inconmensurables de modo que las cantidades geométricas ya no estén limitadas por números enteros, la llamada crisis matemática ya no existirá.

Creo que la mayor importancia de la primera crisis es que condujo al surgimiento de números irracionales. Por ejemplo, lo que estamos hablando ahora no se puede expresar con palabras. Luego se deben introducir nuevos números para describir este problema y aparecen los números irracionales. Es con esta idea que cuando encontramos las raíces de números negativos, la gente introduce el número imaginario I (la aparición de números imaginarios condujo a la aparición de objetos como las funciones variables complejas, que se han utilizado ampliamente en la tecnología de ingeniería moderna), lo que me hizo tener que admirar a los humanos. Pero personalmente creo que la verdadera solución a la primera crisis radica en la definición estricta de números irracionales por parte de los matemáticos alemanes en 1872, porque las matemáticas enfatizan su lógica y derivación estrictas.

La segunda crisis matemática se produjo en el siglo XVII. Después del nacimiento del cálculo en el siglo XVII, debido a la base teórica del cálculo, las matemáticas vivieron una situación caótica, es decir, la segunda crisis matemática. De hecho, revisé la información sobre la historia de las matemáticas. El prototipo del cálculo se formó ya en la antigua Grecia. El método de aproximación de Arquímedes en realidad domina los elementos básicos del análisis infinitesimal. No fue hasta el año 2100 que Newton y Leibniz abrieron un nuevo mundo: el cálculo. Newton, el principal fundador del cálculo, utilizó el infinitesimal como denominador de división en algunos procesos de derivación típicos. Por supuesto, los infinitesimales no pueden ser cero. En el segundo paso, Newton trató el infinitesimal como cero y eliminó los términos que lo contenían, obteniendo así la fórmula deseada. Las aplicaciones en mecánica y geometría demuestran que estas fórmulas son correctas, pero su derivación matemática es lógicamente contradictoria. El tema central es: ¿Es el infinitesimal cero o distinto de cero? Si es cero, ¿cómo hacemos el divisor? ¿Cómo se eliminan aquellos términos que contienen cantidades infinitesimales si no son cero?

Hasta el siglo XIX, Cauchy desarrolló detallada y sistemáticamente la teoría del límite. Cauchy creía que tratar el infinitesimal como una cantidad definida, incluso cero, no era razonable y entraría en conflicto con la definición de límite. Lo infinito pequeño debe ser lo más pequeño posible, por lo que es esencialmente una variable, una cantidad con cero como límite. En este punto, Cauchy aclaró el concepto infinitesimal de sus predecesores. Además, Weistrass creó la teoría del límite, combinada con el establecimiento de la teoría de números reales y la teoría de conjuntos, liberando así a los infinitesimales de las cadenas de la metafísica y básicamente resolviendo la segunda crisis matemática.

Mi propia comprensión es infinitesimal. Que sea cero depende de si está en movimiento o estacionario. Si es estático, ciertamente pensamos que puede considerarse cero. Si se mueve, digamos 1/n, decimos, pero el producto de n 1/n es 1, no infinitesimal. Cuando nos encontramos con una situación así, podemos usar la ley de Lópida para diferenciar repetidamente para examinar el límite, o podemos usar la expansión de Taylor para expandir la relación paso a paso, siempre comparando en un orden limitado.

La tercera crisis matemática ocurrió en 1902. La paradoja de Russell conmocionó a toda la comunidad matemática. Las matemáticas que se decía que eran perfectas y absolutamente correctas parecían contradecirse.

Hace mucho tiempo vi la "Paradoja del barbero", donde un barbero corta el pelo a personas que no se cortan el pelo ellas mismas. Entonces, ¿los barberos deberían cortarse el pelo ellos mismos? También existe la conocida "Paradoja del Mentiroso", cuyo contenido general es: Un cretense dijo: "Todo lo que dicen los cretenses es mentira". Matemáticamente, éste es un ejemplo concreto de la paradoja de Russell.

El conjunto R definido por Russell en esta paradoja es considerado por casi todos los investigadores de la teoría de conjuntos como un conjunto que puede existir legalmente en la teoría de conjuntos ingenua. Si bien este es el caso, ¿cuál es el motivo? Esto se debe a que R es un conjunto. Si R se contiene a sí mismo como un elemento, habrá R^R, entonces, desde una perspectiva establecida, habrá R^R. Un conjunto se contiene a sí mismo y, evidentemente, dicho conjunto no existe. Porque es obvio que R no puede tener elementos diferentes de R, y R y R no pueden ser iguales. Por tanto, cualquier conjunto debe seguir los principios básicos de RR, de lo contrario será ilegal. Desde esta perspectiva, el conjunto de todos los R R definidos en la paradoja de Russell debería ser el conjunto de todos los conjuntos legales, es decir, el conjunto de todos los conjuntos, es decir, cosas similares contienen todas las cosas similares, lo que inevitablemente conducirá al mayor. tal cosa. En última instancia, R es el "conjunto máximo" que contiene todos los conjuntos. Por lo tanto, se puede ver claramente que, en esencia, la paradoja de Russell es una paradoja del conjunto máximo expresada en forma negativa.

Desde entonces, los matemáticos han estado buscando soluciones a esta crisis, una de las cuales es basar la teoría de conjuntos en un conjunto de axiomas para evitar paradojas. El primero en hacer este trabajo fue el matemático alemán Zelmero, quien propuso siete axiomas para establecer una teoría de conjuntos que no produjera paradojas, y a través de otro matemático alemán, Friedrich Kerr. Con la mejora, se creó un sistema de axiomas de teoría de conjuntos sin contradicciones (el so- llamado sistema de axiomas ZF) y se alivió esta crisis matemática.

Ahora, a través del estudio de las matemáticas discretas, sabemos que la teoría de conjuntos se divide principalmente en teoría de conjuntos de Cantor y teoría de conjuntos axiomática. El conjunto se define primero como el conjunto completo I y el conjunto vacío, que se obtienen mediante una serie de operaciones unarias y binarias. El sistema de teoría de conjuntos basado en siete axiomas evitó la paradoja de Russell y permitió el desarrollo de las matemáticas modernas.