Examen de Posgrado de Matemáticas 3 a lo largo de los años
Con el programa del examen, tenemos la base para la revisión. A través del análisis de las reglas de las proposiciones en los exámenes de ingreso de posgrado a lo largo de los años, se concluye que las preguntas de prueba relacionadas con el teorema de la media son el enfoque y la dificultad de los exámenes de ingreso de posgrado en matemáticas. Cada año, una pregunta de prueba relacionada con. se debe tomar el teorema de la media, que vale 10 puntos. Entonces todos deben prestarle atención. Para resolver este tipo de problema, primero debemos determinar la conclusión de la demostración y luego conectar los teoremas, conclusiones y métodos relevantes con las condiciones requeridas. Compruebe si las condiciones se dan en la configuración de preguntas. Si no se da directamente, considere cómo deducir estas condiciones requeridas de las condiciones del problema y finalmente pruébelas. Entre ellos, cuando es necesario demostrar que los valores de función o las derivadas de alto orden de algunos puntos satisfacen una determinada relación de ecuación u otras características de una determinada clase de examen de ingreso de posgrado, los puntos obtenidos mediante el teorema del valor medio suelen ser puntos dentro del intervalo. Aquí resumo varios métodos de prueba para la ecuación de la mediana y fortalezco mi comprensión y dominio de estos métodos a través de ejemplos.
1. Existen varios métodos para demostrar ecuaciones de funciones continuas en intervalos cerrados:
(1) Método directo. La prueba directa utilizando el teorema del valor máximo, el teorema intermedio o el teorema cero es adecuado para demostrar la existencia, como este.
(2) Método indirecto. Construya una función auxiliar, luego verifique las condiciones que satisfacen el teorema del valor medio y finalmente saque la conclusión de la proposición basada en el teorema del valor medio correspondiente.
En segundo lugar, demuestra que hay un punto en el que la ecuación sobre , , o , , es verdadera. Métodos de prueba comunes:
(1) Para la prueba de este tipo de ecuación, un extremo de la ecuación se puede hacer cero cambiando términos, lo que se puede transformar en un problema de demostrar que hay un punto .
(2) Demostrar directamente utilizando el teorema del valor medio de Lagrange.
El siguiente es un ejemplo.
Ejemplo 1: Supongamos que es continuo y derivable dentro de (0, 1) y.
Prueba la existencia de (I), de modo que.
(II)Para cualquier número real, existe y surge.
La clave para analizar este problema es construir una función auxiliar. Para expresiones relacionales, a menudo se usa el teorema del valor medio de Rolle, desplazando el término de la derecha hacia la izquierda y luego convirtiendo el término de la izquierda (o multiplicando por una función distinta de cero) en la derivada de una función tanto como sea posible. Esta es la función auxiliar requerida. Entonces, deja que la función esté en este momento
.
Por tanto, se puede ordenar
Prueba: (1) Secuencia.
, ,
A partir del teorema cero, sabemos que hace, es decir.
(2) El orden, entonces, se conoce mediante el teorema de Rolle.
, hacer, es decir, por esto.
.
Por tanto.
Ejemplo 2 Suponga que la función es teóricamente continua, hay una derivada de segundo orden en la memoria y
,
㈠Demuestre que hay una razón
(II) Probar la existencia para
probar: (I) y continuar en el mundo.
Derivado del teorema del valor medio de las integrales, al menos una cosa tiene sentido.
, la existencia crea.
(2), es decir.
También es continuo en el mundo. Según el teorema del valor intermedio, al menos una cosa es cierta.
Continuo en el mundo, diferenciable en el mundo, y.
Según el teorema del valor medio de Rolle, sí lo hay.
Es continuo en el mundo y puede ser guiado en el mundo.
Según el teorema del valor medio de Rolle, sí lo hay.
También es diferenciable de segundo orden, y.
Según el teorema del valor medio de Rolle, al menos una cosa es cierta.