Introducción a la variación
El cálculo de variaciones es una rama de las matemáticas desarrollada a finales de 2017. Es un campo de las matemáticas que se ocupa de funciones, a diferencia del cálculo ordinario, que se ocupa de funciones de números. Lo que en última instancia busca son funciones extremas: aquellas que maximizan o minimizan lo funcional. El cálculo de variaciones se originó a partir de algunos problemas físicos específicos y finalmente fue resuelto por los matemáticos.
Algunos problemas clásicos sobre curvas se expresan de esta forma: un ejemplo es la línea de descenso más pronunciada. Bajo la acción de la gravedad, una partícula puede alcanzar un punto a lo largo de esta línea en el menor tiempo posible. no directamente debajo de él. En todas las curvas de aa b, se debe minimizar la expresión que representa el tiempo de caída.
El teorema central del método variacional es la ecuación de Euler-Lagrange.
La ecuación de Euler-Lagrange (conocida como ecuación E-L) a menudo se llama ecuación de Lagrange en mecánica. Como se mencionó anteriormente, el teorema clave del cálculo de variaciones es la ecuación de Euler-Lagrange. Corresponde al punto crítico de lo funcional.
Cabe señalar que la ecuación E-L es sólo una condición necesaria para que el funcional tenga un valor extremo, no una condición suficiente. En otras palabras, cuando el funcional tiene un valor extremo, la ecuación E-L se cumple. En aplicaciones, dadas las condiciones externas, la ecuación E-L puede satisfacer nuestras necesidades en la mayoría de los casos.
Entonces, aunque tenemos que deducirlo en condiciones fuertes, y esta derivación no es rigurosa en cierto sentido, se puede probar rigurosamente en condiciones débiles, pero en términos del nivel que queremos usar, sí lo es. suficiente.
Datos ampliados:
Cálculo de variaciones y cálculo diferencial
El concepto de cálculo de variación es muy similar al concepto diferencial en el análisis ordinario, pero es no el cambio de x. Es el cambio de función y(x). Si la función y(x) hace que U(y) alcance un valor extremo, la variación δU de U se vuelve 0.
Casi todas las leyes básicas de la física y la mecánica se expresan como el "principio de variación", que estipula que la variación de un funcional debe ser 0. Gracias a este original cálculo de variaciones se resolvieron muchos problemas físicos y técnicos importantes.
Enciclopedia Baidu-Cálculo de variaciones