La naturaleza de la homología

Si la cadena es compleja de modo que todos los términos, excepto los números finitos, son cero y todos los términos distintos de cero son grupos conmutativos generados finitamente (o espacios vectoriales de dimensión finita), entonces se pueden definir las características de Euler.

(El grupo conmutativo adopta orden y el espacio vectorial adopta dimensión de Hamel). De hecho, también es posible calcular a nivel de homología:

Además, especialmente en topología algebraica, esto proporciona dos invariantes importantes para calcular objetos que generan complejos de cadenas.

La secuencia exacta corta de cada complejo de cadena

Resulta en la secuencia exacta larga del grupo homólogo

Todos los mapeos en esta secuencia exacta larga se derivan de el mapeo entre complejos de cadenas, excepto el mapeo. Este último se llama homomorfismo conexo y viene dado por el lema de la serpiente.