La historia de los vectores
En el siglo XVII, Galileo Galilei (es decir, 1564-1642) escribió varios libros sobre dos nuevas ciencias.
Contiene el concepto de la relación entre funciones o variables de principio a fin, y utiliza el lenguaje de palabras y proporciones para expresar la relación entre funciones. Descartes (Descartes,
Método, 1596-1650) En su geometría analítica había notado la dependencia de una variable de otra, pero no fue hasta el año 17 que se dio cuenta de la necesidad de refinar los conceptos generales de las funciones. .
Cuando Newton y Leibniz establecieron el cálculo a finales de siglo, los matemáticos aún no habían comprendido el significado general de las funciones, y la mayoría de las funciones se estudiaban como curvas.
1.2 El concepto de función en el siglo XVIII - función bajo el concepto algebraico
1718
No fue hasta 2006 que Bernoulli Johann (Suiza, 1667- 1748) trabajó en Leibniz El concepto de función está claramente definido basándose en el concepto de función tz: consta de variables y constantes arbitrarias.
Bernoulli llamó a la cantidad formada por la variable x y constante de cualquier forma "función de x", que puede expresarse de cualquier forma en el concepto de función, incluidas expresiones algebraicas y trascendentales.
18
A mediados de siglo, L. Euler (Suiza, 1707-1783) dio un símbolo funcional muy vívido, que todavía se utiliza en la actualidad. La definición de Euler es que la función de una variable es la suma de esta variable.
Expresión analítica compuesta por algunos números o constantes de forma arbitraria. Llamó funciones analíticas a la definición de funciones de John Bernoulli y las dividió en funciones algebraicas (refiriéndose únicamente a operaciones algebraicas entre variables independientes) y funciones trascendentales (funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y potencias irracionales de variables), "funciones arbitrarias" (es decir, funciones que dibujan curvas arbitrarias) también se consideran. No es difícil ver que la definición de función de Euler es más universal y tiene un significado más amplio que la definición de Johann Bernoulli.
1.3 El concepto de función en el siglo XIX: la función correspondiente.
En 1822 Fourier (Método, 1768-1830) descubrió que algunas funciones pueden expresarse mediante curvas, una fórmula o múltiples fórmulas, poniendo así fin al debate sobre si el concepto de función puede expresarse con una fórmula, llevando la comprensión de las funciones a un nuevo nivel. En 1823, Cauchy (método, 1789-1857) dio la definición de función a partir de la definición de variable y señaló que aunque una serie infinita es una forma válida de especificar una función, la función no necesariamente tiene que tener una relación analítica. expresión, pero aún así La idea de que las relaciones funcionales se pueden representar mediante múltiples expresiones analíticas es muy importante.
1837
Dirichlet (Alemania, 1805-1859) creía que cómo establecer la relación entre X e Y es irrelevante. Amplió el concepto de función y señaló: "Para cada valor en un determinado intervalo, un determinado valor de x tiene uno o más valores definidos e y, por lo que y se llama función de x". La función de Ray evita todas las descripciones de dependencias en definiciones de funciones anteriores. Es concisa y precisa y tiene una claridad total, lo cual es aceptado incondicionalmente por todos los matemáticos. En este punto, se puede decir que se ha formado el concepto de función y la definición esencial de función, que es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica.
Después de que la teoría de conjuntos fundada por Cantor (Alemania, 1845-1918) jugara un papel importante en las matemáticas, Veblen (estadounidense, 1880-1960) utilizó "conjunto" y "correspondencia".
1.4 Concepto de función moderna: función según la teoría de conjuntos
Fangfang Road 1914
F. Hausdorff utilizó "orden par" para definir la función. Su ventaja es que evita los conceptos vagos de "variable" y "correspondencia", pero su desventaja es que introduce ambigüedad.
El concepto de “pareja ordenada”. En 1921, Kuratowski definió "par de órdenes" usando el concepto de conjunto, es decir, el par de órdenes (a, b) es el conjunto {{a}, {b}}, creando así Hao.
La definición de Stov es muy estricta.
En 1930, la nueva función moderna se definió como: Si siempre hay un elemento Y determinado por el conjunto N correspondiente a cualquier elemento X del conjunto M, entonces se dice que una función está definida en el conjunto M, denotada como
y=f(x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente.
La definición del concepto de función ha pasado por más de 300 años de templados y cambios, formando la definición moderna de función, pero esto no lo significa todo.
Marca el final histórico del desarrollo del concepto de función. En la década de 1940, debido a las necesidades de la investigación física, se descubrió una función delta de Dirac. No es cero en un punto, pero su integral en toda la recta es igual a.
1. Esto es inimaginable bajo las definiciones originales de funciones e integrales. Sin embargo, debido a la introducción del concepto de función generalizada, se unificaron los conceptos de función, medida y función de Dirac-δ mencionados anteriormente. Por tanto, al igual que
con el desarrollo de otras disciplinas basadas en las matemáticas, el concepto de función seguirá expandiéndose.
Un vector también se llama vector, es decir, una cantidad que tiene magnitud y dirección se llama vector. Los vectores se introdujeron en las matemáticas como la magnitud igual de fuerza, velocidad y aceleración.
El griego Aristóteles (384 a. C. - 322 a. C.) ya sabía que la fuerza se puede expresar como un vector, y la combinación de dos fuerzas se puede obtener a partir de dos vectores utilizando la ley del paralelogramo. En otras palabras, los vectores representados por estas dos fuerzas se utilizan como paralelogramos, y el tamaño y la dirección de sus diagonales representan el tamaño y la dirección de la fuerza resultante (como se muestra en la figura siguiente).
El alemán Steven (1548?-1620?) aplicó la ley del paralelogramo a problemas de estática. Galileo Galilei (1564-1642) afirmó claramente esta ley.
Más tarde, el danés Wiesel (1745-1818), el abuelo suizo (1768-1822) descubrió la representación geométrica de los números complejos, y el alemán Gauss (1777-1855)
El matemático británico Havel (1850-1925) hizo muchas contribuciones al análisis vectorial. Primero dio la definición de vector: vector = a+b+c donde, y son vectores unidireccionales a lo largo de los ejes X, Y y Z respectivamente. Los coeficientes A, B y C son números reales, llamados componentes y. pronto. En cuanto a la teoría de los vectores N-dimensionales, fue propuesta por el matemático alemán Grassmann en 1844.
El origen y desarrollo de la trigonometría
La trigonometría, nombre inglés de trigonometría, recibió su nombre en el año 1600 d.C. En realidad, proviene de las palabras griegas trigono (triángulo) y metrein (medida). Su significado original es triangulación (solución), que es una disciplina basada en el estudio de la relación entre los lados y ángulos de triángulos planos y triángulos esféricos para realizar la aplicación de la medición. En sus inicios, la trigonometría formaba parte de la astronomía. Posteriormente, el alcance de la investigación se fue ampliando gradualmente y se convirtió en una disciplina con las funciones trigonométricas como objeto principal. Ahora bien, el alcance de la investigación de la trigonometría no se limita a los triángulos: es la base del análisis matemático y una herramienta necesaria para estudiar la ciencia práctica.
(1) Desarrollo occidental
La trigonometría se fundó alrededor del año 150 a.C. Ya en el año 300 a. C., los antiguos egipcios tenían algunos conocimientos de trigonometría, que se utilizaba principalmente para medir. Como construir pirámides, limpiar tierras de cultivo después de la inundación del Nilo, comerciar y navegar, y observar fenómenos astronómicos. Alrededor del año 600 a. C., el antiguo erudito griego Tales (p. 13) utilizó el principio de triángulos semejantes para medir la altura de la pirámide, lo que se convirtió en el comienzo de la triangulación occidental. Después del siglo II a. C., el astrónomo griego Hiparco de Nicea, para las necesidades de las observaciones astronómicas, elaboró una "tabla de cuerdas" similar a la actual tabla de funciones trigonométricas, es decir, una tabla de longitudes de cuerdas con diferentes ángulos centrales en un círculo fijo. . Se convirtió en el primer fundador de la trigonometría occidental, logro que le valió el título de "Padre de la trigonometría".
En el siglo II d.C., Ptolomeo (85-165), astrónomo y matemático griego.
Heredó y desarrolló los logros de Hipócrates, y escribió una obra maestra de la astronomía (13), que incluye una tabla de cuerdas con intervalos de medio grado de 0° a 90° y algunas relaciones equivalentes a las propiedades de las funciones trigonométricas. , se considera el primer trabajo en Occidente que discute sistemáticamente la teoría de la trigonometría. Menelios, que tenía aproximadamente la misma edad que él, escribió un libro "Esferología", que se especializaba en el estudio de la trigonometría esférica, incluidos los conceptos básicos de los triángulos esféricos, la generalización de muchos teoremas de triángulos planos en la esfera y muchas propiedades únicas. de triángulos esféricos. Su trabajo llevó la trigonometría griega a su apogeo.
(2) El desarrollo de China.
En la antigua China no existía el concepto de funciones angulares y sólo se utilizaba el teorema de Pitágoras para resolver algunos problemas prácticos de trigonometría. Según el Libro de los cambios, Chen Zi, que tenía la misma edad que Tales, utilizó el teorema de Pitágoras para medir la altura del sol. Su método se denominó más tarde "método de diferencia de gravedad". 1631 Se introduce por primera vez la trigonometría occidental, representada por "Dace", editado por el misionero alemán Deng Zeng y el erudito chino Xu Guangqi (p20). Ese mismo año, Xu Guangqi y otros también escribieron "El significado completo de la medida", que incluía discusiones sobre triángulos planos y triángulos esféricos. En 1653, Xue Fengzuo y el misionero polaco Munig coeditaron el "Algoritmo trigonométrico", utilizando triángulo en lugar de triángulo, y establecieron el nombre triángulo. En 1877, Hua Hengxu y otros llevaron a cabo una discusión independiente sobre la expansión de series trigonométricas.
La trigonometría moderna estudia principalmente el papel especial de los ángulos y sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología, como los cálculos geométricos, y se desarrolló principalmente a mediados del siglo XX.
2. La evolución de las funciones trigonométricas
Las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cotangente se denominan colectivamente funciones trigonométricas.
Aunque el conocimiento de la trigonometría se originó en la antigüedad, fue impartido por primera vez por Euler (p 16) (1707-1783) en "Introducción al análisis de los infinitesimales". Antes de Euler, el estudio de funciones trigonométricas se realizaba principalmente dentro de un círculo de cierto radio. Por ejemplo, Ptolomeo de la antigua Grecia fijó el radio en 60; el indio Aryabhata (alrededor de 476-550) tenía un radio de 3438, para poder calcular con precisión el valor de las funciones trigonométricas, el matemático alemán Joanus (1436-1476) estableció una vez el radio. El radio es 600.000. Más tarde, para hacer una tabla de senos más precisa, el radio se fijó en 107. Entonces, las funciones trigonométricas en ese momento eran en realidad las longitudes de ciertos segmentos de línea dentro del círculo.
El matemático italiano Lettix (1514-1574) cambió la práctica anterior, es decir, en el pasado, AB generalmente se llamaba seno y conectaba firmemente el seno con el círculo (como se muestra en la página siguiente) , Pero Lettix lo llama ∠AOB seno, lo que hace que el valor del seno esté directamente vinculado al ángulo, y el círculo O se vuelve subordinado.