¿Cómo encontrar ecuaciones paramétricas?

Existen las siguientes cuatro fórmulas:

cos?θ+sin?θ=1

ρ=x?+y?

ρcosθ=x

ρsinθ=y

Las ecuaciones paramétricas son muy similares a las funciones: están determinadas por un conjunto específico de números, llamados parámetros o variables independientes, que determinan la variable dependiente resultado. Por ejemplo, en cinemática, el parámetro suele ser "tiempo" y el resultado de la ecuación es velocidad, posición, etc.

Generalmente, en el sistema de coordenadas plano rectangular, si las coordenadas x e y de cualquier punto de la curva son funciones de una determinada variable t:?, y para cada valor permitido de t, por Los puntos ( x, y) determinadas por el sistema de ecuaciones están todas en esta curva, entonces esta ecuación se llama ecuación paramétrica de la curva, y la variable t que conecta las variables xey se llama variable paramétrica, o parámetro para abreviar. En términos relativos, las ecuaciones que dan directamente la relación entre coordenadas de puntos se denominan ecuaciones ordinarias.

Información ampliada:

En la demostración del teorema del valor medio de Cauchy también se utilizan ecuaciones paramétricas.

Teorema del valor medio de Cauchy

Si las funciones f(x) y F(x) satisfacen:

⑴Continua en el intervalo cerrado [a, b];

⑵ Es diferenciable en el intervalo abierto (a, b);

⑶ Para cualquier x∈(a,b), F'(x)≠0.

Entonces hay al menos un punto ζ en (a, b), de modo que la ecuación

[f(b)-f(a)]/[F(b) -F( a)]=f'(ζ)/F'(ζ) se cumple.

Cauchy demostró de forma concisa y rigurosa el teorema fundamental del cálculo, la fórmula de Newton-Leibniz. Usó integrales definidas para demostrar estrictamente la fórmula de Taylor con residuos. También usó el teorema del valor medio de diferenciales e integrales para expresar el área de un trapezoide curvo y derivó las fórmulas para el área de figuras entre curvas planas, las. área de superficies curvas y el volumen de un sólido.

Una curva paramétrica también puede ser función de más de un parámetro. Por ejemplo, una superficie paramétrica es función de dos parámetros (s, t) o (u, v).

Por ejemplo, un cilindro:

r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]= [acos (u),asin(u),v]

Parámetro es la abreviatura de variable de parámetro. Surge del estudio de problemas como el movimiento. Cuando una partícula se mueve, su posición debe estar relacionada con el tiempo, es decir, existe una relación funcional entre las coordenadas de la partícula x, y y el tiempo t. Expresiones funcionales La variable t in es una "variable participante" relativa a las variables xey que representan la posición geométrica de la partícula. Los parámetros en tales problemas prácticos se abstraen en matemáticas y se convierten en parámetros. La tarea de los parámetros en las ecuaciones paramétricas que hemos aprendido es comunicar la relación entre las variables x, y y algunas constantes, para facilitar el estudio de la forma y propiedades de la curva.

Cuando se utilizan ecuaciones paramétricas para describir las leyes del movimiento, suele ser más directo y sencillo que utilizar ecuaciones ordinarias. Es ideal para resolver una serie de problemas como alcance máximo, altitud máxima, tiempo de vuelo o trayectoria. Para algunas curvas importantes pero complejas (como la involuta de un círculo), es difícil o incluso imposible establecer sus ecuaciones ordinarias. Las ecuaciones enumeradas son complejas y difíciles de entender.

Dibujar una curva basada en una ecuación requiere mucho tiempo; a menudo es más fácil usar ecuaciones paramétricas para conectar indirectamente dos variables xey. Las ecuaciones son simples y claras, y dibujar no es difícil.

Referencia: Enciclopedia Baidu-Ecuaciones paramétricas