Definición de función inversa

La definición de función inversa: en términos generales, suponiendo que el rango de valores de la función y=f(x)(x∈A) es C, si se encuentra una función g(y) en todas partes g( y ) son iguales a x. Tal función x= g(y)(y∈C) se llama función inversa de la función y=f(x)(x∈A), que se registra como x=f-1(. y).

1. Introducción a las funciones inversas

El dominio de definición y el rango de valores de la función inversa x=f?-1(y) son respectivamente el rango de valores y la definición de la función y =f(x) dominio. Las funciones inversas más representativas son las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales. Generalmente, si xey corresponden a una determinada relación de correspondencia f (x), y = f (x), entonces la función inversa de y = f (x) es x = f-1 (y). La condición para la existencia de una función inversa (la función predeterminada es una función de un solo valor) es que la función original debe tener una correspondencia uno a uno.

Si una función f es una función inversa explícita, debe ser una función biyectiva, es decir: cada elemento en el cocampo (inyectivo) debe asignarse a f solo una vez; de lo contrario, es inversa. La función debe asignarse elementos a más de un valor. Cada elemento del cocampo (sobreyectivo) debe asignarse a f: de lo contrario, no habrá forma de definir la función inversa de f para algunos elementos.

2. Propiedades de las funciones inversas

La condición necesaria y suficiente para la existencia de una función inversa es que el dominio de definición y el rango de valores de la función sean mapeos uno a uno. ; una función y su función inversa corresponden a La monotonicidad es consistente en intervalos; la monotonicidad de una función continua es consistente dentro del intervalo correspondiente; una función que estrictamente aumenta (disminuye) debe tener una función inversa que estrictamente aumenta (disminuye).

La existencia de funciones inversas y la simetría de funciones inversas:

1. La existencia de funciones inversas

La mayoría de las funciones pares no tienen funciones inversas (cuando la función y =f(x), el dominio es {0} y f(x)=C (donde C es una constante), entonces la función f(x) es una función par y tiene una función inversa, y el dominio de su función inversa es {C} , el rango de valores es {0}). Una función impar no necesariamente tiene una función inversa. Cuando es interceptada por una línea recta perpendicular al eje y, puede pasar por 2 o más puntos, es decir, no existe una función inversa.

Si una función impar tiene una función inversa, entonces su función inversa también es una función impar. Las funciones inversas son mutuas y únicas; dos funciones que son funciones inversas tienen la misma monotonicidad en sus respectivos dominios. Una función monótona debe tener una función inversa. Por ejemplo, una función cuadrática no es una función inversa en R, pero dentro de su dominio de aumento (decreciente) monótono, se puede encontrar la función inversa.

2. Simetría de la función inversa

Función proporcional inversa Cuando los valores de X son opuestos entre sí, los valores de Y correspondientes también lo son entre sí. Por lo tanto, los puntos en la gráfica de la función proporcional inversa son simétricos con respecto al origen de coordenadas, por lo que el eje de simetría de su gráfica es: Si la gráfica está en el primer y tercer cuadrante, el eje de simetría es la bisectriz angular del segundo y cuarto cuadrante Y=-X , si la imagen está en el segundo y cuarto cuadrante, el eje de simetría es la bisectriz angular Y=X del primer y tercer cuadrante.