¿Por qué la proposición original y la proposición negativa son a la vez verdaderas y falsas?

Esto se debe a la ley del tercero excluido en lógica. Es decir, una proposición es verdadera o falsa.

Por ejemplo, si "P es Q" es verdadero, entonces su proposición negativa es "Si no es Q, no es P". En condiciones distintas de Q, P se cumple o no se cumple. Si P se cumple, entonces Q se cumple, lo que contradice la ley del tercero excluido, por lo que no es P, por lo que "si no es Q, no es P" se cumple.