¿Cuántas crisis matemáticas ha habido en la historia?

Pitágoras fue un famoso matemático y filósofo de la antigua Grecia en el siglo V a.C. Una vez fundó una escuela mística que integraba política, academia y religión: los pitagóricos. La famosa proposición "Todo es número" propuesta por Pitágoras es la piedra angular filosófica de esta escuela. "Todos los números pueden expresarse como números enteros o como proporciones de números enteros" es la creencia matemática de esta escuela de pensamiento. Sin embargo, lo dramático es que el teorema de Pitágoras establecido por Pitágoras se ha convertido en el "sepulturero" de las creencias matemáticas de Pitágoras. Después de que se propuso el teorema de Pitágoras, Hipaso, miembro de su escuela de pensamiento, consideró una pregunta: ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un cuadrado con lado 1? Descubrió que esta longitud no podía representarse mediante un número entero o una fracción, sino que solo podía representarse mediante un nuevo número. El descubrimiento de Hippasos condujo al nacimiento del primer número irracional √2 en la historia de las matemáticas. La aparición del pequeño √2 provocó una gran tormenta en el mundo de las matemáticas en ese momento. Sacudió directamente la creencia matemática de los pitagóricos y les hizo entrar en pánico. De hecho, este gran descubrimiento no fue sólo un golpe fatal para los pitagóricos. Esto tuvo un enorme impacto en el pensamiento de todos los antiguos griegos de aquella época. La paradoja de esta conclusión es que entra en conflicto con el sentido común: cualquier cantidad puede expresarse como un número racional dentro de cualquier rango de precisión. Esta no era sólo una creencia ampliamente aceptada en Grecia en ese momento, sino que incluso hoy en día, cuando la tecnología de medición está altamente desarrollada, ¡esta afirmación es correcta sin excepción! Sin embargo, la conclusión que estaba convencida por nuestra experiencia y completamente consistente con el sentido común fue anulada por la existencia de un pequeño √2! ¡Qué contrario al sentido común y qué ridículo debería ser esto! Simplemente subvierte la comprensión previa. Peor aún, no se puede hacer nada ante este absurdo. Esto condujo directamente a la crisis cognitiva de la gente en ese momento, desencadenando así una gran tormenta en la historia de las matemáticas occidentales, conocida como la "primera crisis matemática".

La segunda crisis de las matemáticas surge del uso de herramientas de cálculo. Con la mejora de la comprensión de la teoría y la práctica científicas, Newton y Leibniz descubrieron de forma independiente casi simultáneamente en el siglo XVII el cálculo, una aguda herramienta matemática. Tan pronto como salió esta herramienta, mostró su extraordinario poder. Muchos problemas difíciles se vuelven más fáciles después de utilizar esta herramienta. Pero ni las teorías del cálculo de Newton ni las de Leibniz eran rigurosas. Todas sus teorías se basan en el análisis de infinitesimales, pero su comprensión y aplicación del concepto básico de infinitesimales son confusas. Por lo tanto, algunas personas se han opuesto y atacado al cálculo desde su nacimiento. Entre ellos, el ataque más violento fue el del arzobispo británico Bekele.

La paradoja de Russell y la tercera crisis matemática

En la segunda mitad del siglo XIX, Cantor fundó la famosa teoría de conjuntos, que fue criticada por mucha gente cuando se produjo por primera vez. crítica. Pero este resultado innovador pronto fue aceptado por la mayoría de los matemáticos y obtuvo grandes elogios y generalidades. Los matemáticos descubrieron que a partir de los números naturales y la teoría de conjuntos de Cantor se puede construir todo el edificio matemático. Por tanto, la teoría de conjuntos se convirtió en la piedra angular de las matemáticas modernas. Los matemáticos quedaron embriagados por el descubrimiento de que "todos los logros matemáticos pueden basarse en la teoría de conjuntos". En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos, el famoso matemático francés Poincaré declaró alegremente: "...con la ayuda de los conceptos de la teoría de conjuntos, podemos construir todo el edificio matemático...Hoy podemos decir que tenemos alcanzó el rigor absoluto......"

Cantantes y Cantores

Sin embargo, los buenos tiempos no duraron mucho. En 1903, salió a la luz una noticia que conmocionó al mundo matemático: ¡la teoría de conjuntos era errónea! Ésta es la famosa Paradoja de Russell propuesta por el matemático británico Russell.

Russell construyó un conjunto S: S está compuesto por todos los elementos que no pertenecen a sí mismo. Entonces Russell preguntó: ¿S pertenece a S? Según la ley del tercero excluido, un elemento pertenece a un conjunto o no pertenece a un conjunto. Entonces, para un conjunto dado, tiene sentido preguntarse si se pertenece a sí mismo. Pero la respuesta a esta pregunta aparentemente razonable es un dilema. Si s pertenece a s, por definición s no pertenece a s; por otro lado, si S no pertenece a S, entonces, por definición, S también pertenece a S. Es una contradicción de todos modos.

Russell

De hecho, esta paradoja ha sido descubierta en la teoría de conjuntos anterior de Russell.

Por ejemplo, en 1897, Burali y Folthy propusieron la paradoja ordinal máxima. En 1899, el propio Cantor descubrió la paradoja de la cardinalidad máxima. Sin embargo, debido a que estas dos paradojas involucraban muchas teorías complejas en el conjunto, solo causaron una pequeña repercusión en el campo de las matemáticas y no lograron atraer mucha atención. La paradoja de Russell es diferente. Muy simple y fácil de entender, y cubre solo los aspectos más básicos de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, tan pronto como se propuso la paradoja de Russell, causó una gran conmoción en los círculos matemáticos y lógicos de la época. Por ejemplo, G. Frege dijo con tristeza después de recibir la carta de Russell presentando esta paradoja: "Lo más desagradable que le sucede a un científico es que sus cimientos se derrumben al final de su trabajo. Esta carta me puso en esta situación". Por lo tanto, Dedekind pospuso la segunda edición de su artículo "¿Cuál es la naturaleza y función de los números?". Se puede decir que esta paradoja es como arrojar una piedra a las tranquilas aguas de las matemáticas. Las enormes repercusiones que provocó llevaron a la tercera crisis matemática.

Después de la crisis, los matemáticos idearon sus propias soluciones. Esperamos transformar la teoría de conjuntos de Cantor y eliminar las paradojas restringiendo la definición de conjuntos, lo que requiere el establecimiento de nuevos principios. "Los principios deben ser lo suficientemente estrechos para asegurar la eliminación de todas las contradicciones; por otro lado, deben ser lo suficientemente amplios para que se pueda preservar todo el contenido valioso de la teoría de conjuntos de Cantor. En 1908, Zermelo propuso el primer principio axiomático". sistema de teoría de conjuntos, que luego fue mejorado por otros matemáticos y recibió el nombre de sistema ZF. Este sistema axiomático de teoría de conjuntos compensa en gran medida las deficiencias de la ingenua teoría de conjuntos de Cantor. Además del sistema ZF, la teoría de conjuntos también tiene muchos sistemas axiomáticos, como el sistema NBG propuesto por Neumann y otros. El establecimiento del sistema de teoría de conjuntos axiomático eliminó con éxito las paradojas en la teoría de conjuntos, resolviendo así con éxito la tercera crisis matemática. Pero, por otro lado, la paradoja de Russell tiene un impacto más profundo en las matemáticas. Pone los problemas básicos de las matemáticas frente a los matemáticos con las necesidades más urgentes por primera vez y guía a los matemáticos para que estudien los problemas básicos de las matemáticas. Otros avances en esta área afectaron profundamente a las matemáticas en su conjunto. Por ejemplo, el debate en torno a los fundamentos de las matemáticas ha formado tres escuelas de matemáticas famosas en la historia de las matemáticas modernas, y el trabajo de cada escuela ha promovido el gran desarrollo de las matemáticas.