¿Qué es el teorema de Pitágoras?

En China, la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa se llama teorema de Pitágoras o teorema de Pitágoras, también llamado el teorema de Pitágoras o teorema de Pitágoras.

Teorema:

Si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son A, B, y la hipotenusa es C, entonces A^2 B^2 = C^2; , el ángulo recto La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Si los tres lados A, B y C de un triángulo satisfacen A^2 B^2 = C^2, por ejemplo, un lado rectángulo es 3, un lado rectángulo es 4 , y la hipotenusa es 3×3 4× 4=X×X,X=5. Entonces este triángulo es un triángulo rectángulo. (llamado teorema inverso del teorema de Pitágoras)

El origen del teorema de Pitágoras:

El árbol de Pitágoras El árbol de Pitágoras es un teorema geométrico básico, tradicional Se cree que fue demostrado por Pitágoras de la antigua Grecia. Se dice que después de que Pitágoras demostró este teorema, decapitó cien vacas para celebrarlo, por lo que también se le llama el "Teorema de las cien vacas". En China, la fórmula y la demostración del teorema de Pitágoras están registradas en "Zhou Kuai Shu Jing". Se dice que fue descubierto por Shang Gao en la dinastía Shang, por lo que también se le llama teorema de Shang Gao. Durante el período de los Tres Reinos, Zhao Shuang hizo comentarios detallados sobre el Teorema de Pitágoras en "Zhou Bi Suan Jing" y dio otra prueba [5]. Francia y Bélgica lo llaman Teorema del Puente del Burro, y Egipto lo llama Triángulo Egipcio. En la antigua China, el lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo se llamaba gancho, el lado rectángulo más largo se llamaba cuerda y la hipotenusa se llamaba cuerda.

Libros sobre el teorema de Pitágoras

Principios matemáticos People's Education Press

Explorando el teorema de Pitágoras Tongji University Press

Universidad de Pekín Editorial: You Yinpei enseña matemáticas.

Pythagoras Model New Century Press

Libro nueve capítulos sobre aritmética

"You Yinpei revela el teorema de Pitágoras" Jiangxi Education Press

Árbol de Pitágoras

El árbol de Pitágoras es una figura dibujada por Pitágoras basándose en el teorema de Pitágoras y se puede repetir infinitamente. Debido a que se parece a un árbol después de repetirlo varias veces, se le llama árbol de Pitágoras.

La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.

La suma de las áreas de dos cuadrados pequeños adyacentes es igual al área de un cuadrado grande adyacente.

Usa la desigualdad A2 B2≥2AB

El área del triángulo entre los tres cuadrados es menor o igual a un cuarto del área de un cuadrado grande , y mayor o igual al área de la mitad de un cuadrado pequeño. [Edite este párrafo] La aplicación más antigua del teorema de Pitágoras se puede ver en muchas tablillas de arcilla. Los babilonios fueron los primeros en el mundo en descubrir el teorema de Pitágoras. Este es sólo un ejemplo. Por ejemplo, en 1700 a. C., la novena pregunta de una tablilla de arcilla (numerada BM85196) significa aproximadamente "Hay una viga de madera (AB) de 5 metros de largo apoyada verticalmente contra la pared, y el extremo superior (A) se desliza hacia abajo una metro a D. ¿A qué distancia está el extremo inferior (C) de la raíz de la pared (B)? "Resolvieron este problema usando el teorema de Pitágoras, como se muestra en la figura.

Supongamos AB = CD = L = 5m, BC=a, AD = H = 1m, BD = L-H = 5-1m = 4m.

∴a =√[l-(l-h)]= √[5-(5-1)]= 3m, ∴triángulo BDC es un triángulo retorcido con 3, 4 y 5 lados. [Editar este párrafo] La fórmula y demostración del Teorema de Pitágoras en Suan Jing de Zhou Kuai, uno de los diez libros de Suan Jing de Zhou Kuai. Escrito en el siglo II a. C., originalmente se llamaba Zhou Jie. Es el trabajo astronómico más antiguo de China. Desarrolla principalmente la teoría de cubrir el cielo y el método del calendario de cuatro estaciones de esa época. A principios de la dinastía Tang, se prescribió como uno de los materiales didácticos del Imperial College, por lo que pasó a llamarse "Zhou Kuai".

En primer lugar, la fórmula del Teorema de Pitágoras está claramente registrada en "Zhou Pingxing Suan Jing": "Si quieres encontrar el solsticio, toma la puesta de sol como una oración, la altura del sol como una parte , y multiplica cada oración para compartir, divide por la fórmula para obtener el solsticio del mal" (Volumen 2 de "Zhou Pingxing Suan Jing")

La prueba del Teorema de Pitágoras está en el primer volumen del Semanal Libro de cálculo [1] -

En el pasado, Zhou Gong le preguntó a Shang Gao: "Escuché que los médicos son buenos contando. ¿Puede el anciano configurar un calendario para la semana? Se puede elevar el cielo sin pasos, pero la tierra no se puede medir? ¿Cómo se puede calcular?"

Shang Gao dijo: "El método de conteo proviene del cuadrado, el círculo proviene del cuadrado, el cuadrado proviene del momento , y el momento proviene de 9981. Así que dóblalo instantáneamente, pensando que la oración tiene tres de ancho, cuatro hebras y cinco de diámetro. Si el cuadrado es cuadrado, la mitad exterior es un momento y el anillo es * *. *, que es 345. Los dos momentos * * * son veinte y cinco, respectivamente, y se llaman momentos producto. Por lo tanto, la razón por la que gobierno el mundo se debe a este número." p>

El Duque de Zhou. Se sintió increíble con la antigua historia de Fuxi (Bao) construyendo el calendario semanal (el cielo no puede elevarse paso a paso y la tierra no se puede medir), así que le preguntó a Shang Gao de dónde venía su conocimiento matemático. Entonces Shang Gao utilizó la prueba del teorema de Pitágoras como ejemplo para explicar el origen del conocimiento matemático.

El libro "Cálculo paralelo de Zhou" demuestra que "el método de contar proviene del círculo, el círculo proviene del cuadrado, el cuadrado proviene del momento y el momento proviene de 9981". contexto de desarrollo: el método de contar proviene del cuadrado del círculo (π3) (cuadrado), el círculo proviene del cuadrado (área del círculo = círculo circunscrito * π/4), el cuadrado proviene del momento (el cuadrado proviene de el momento del lado equilátero), y el momento proviene de 9981 (el cálculo de largo por ancho área se basa en la tabla de multiplicar).

"Entonces el momento es 1, es decir, el ancho de la oración es tres, los hilos son cuatro y el diámetro es cinco.": Comience a dibujar: use el gancho tres (π tres) y el hilo cuatro (cuadrado) para seleccionar un momento, y los dos lados del momento La línea de conexión debe ser 5 (ángulo de radio cinco).

"(2) Si el cuadrado es un cuadrado, la mitad exterior es un momento y el anillo es * * *, entonces es 345." Este es el proceso de prueba clave: dibujar un cuadrado con los dos lados del momento (gancho, cuadrado), dibuja otro momento según la cuerda del momento (la regla en realidad se usa como un triángulo rectángulo), corta el triángulo obtenido por la "mitad exterior del momento" y copia gírelo para formar un cuadrado grande. Como puedes ver, hay tres cuadrados, tres ganchos, cuatro cuadrados y cinco cuerdas.

"Los dos momentos * * * son 320 y 5, que se llaman momentos producto". Este es un cálculo de verificación: la suma de las áreas del cuadrado y el cuadrado es igual al área de ​​la cuerda 25 - gráficamente, un cuadrado grande menos el área de los cuatro triángulos es la cuerda, y luego un cuadrado grande menos las áreas de los rectángulos superior derecho e inferior izquierdo es la suma de las áreas del cuadrado. Debido a que el triángulo tiene la mitad del área del rectángulo, se puede deducir que el área de los cuatro triángulos es igual al área de los rectángulos superior derecho e inferior izquierdo, por lo que cuerda de gancho = cuerda.

Nota:

①El momento, también conocido como cuadrado, es una herramienta para trabajar la madera en forma de L, que es un ángulo recto compuesto por dos piezas de madera largas y cortas. En la antigüedad, "momento" se refería a la regla en forma de L y "momento" era el rectángulo derivado de "momento".

(2) La frase "Lo que está bien es correcto y lo que está fuera es medio correcto" es controvertida. La versión de la dinastía Qing de "Sikuquanshu" lo define como "Fang Wai Ban Ke", mientras que las versiones anteriores utilizaban principalmente "Fang Wai Ban Ke". Eruditos como Chen Liangzuo[2], Li Guowei[3], Li Jimin[4], Qu Anjing[5] lo han estudiado, y es más lógico decir que "el exterior es medio momento".

③La longitud se refiere al área. En la antigüedad, las comparaciones dimensionales entre diferentes dimensiones no inventaron un nuevo término, sino que se las denominaba colectivamente "dragones". Zhao Shuang señaló: "Dos momentos, cada frase comparte la realidad". * * * Personas mayores, número real.

Debido a la larga historia, el diagrama de cuerdas de Zhou Gong se perdió, y la versión transmitida solo imprimió el diagrama de cuerdas de Zhao Shuang (la fabricación de papel se había inventado en la dinastía Han). Por lo tanto, algunos eruditos pensaron erróneamente que Shang Gao no tenía pruebas (solo dijeron algunas palabras incomprensibles), y luego Zhao Shuangcai dio las pruebas.

En realidad no. Extraído de la anotación de Zhao Shuang de "Zhou Kuai·Shu Jing [1]" - "Las oraciones y los stocks se multiplican por separado, se combinan en una sola cadena y las raíces se dividen en una sola cadena. Caso: el diagrama de cadenas puede Multiplicar el stock de oraciones por Zhu Shier y luego multiplíquelo por Zhu Shisi.

La diferencia entre las partes de la oración se multiplica por sí misma para convertirse en el sólido amarillo del medio, y la diferencia también es la cadena sólida. "

Lo que enfatiza el diagrama de cuerdas de Zhao Shuang es que el diagrama de cuerdas está bien y las cuerdas son muy sólidas. Las dos palabras "tú" y "yi" indican que Zhao Shuang cree que se puede demostrar el teorema de Pitágoras. de otra manera, entonces se da una nueva prueba.

La siguiente es la prueba de Zhao Shuang:

El triángulo en la imagen azul y roja es un triángulo rectángulo y el cuadrado con. El gancho A como lado es rojo. El cuadrado con la cuerda B como lado es un cuadrado azul. Para compensar la deficiencia, Zhu Fang y Fang Qing se combinan en una matriz cuadrada cordal. Según su relación de área. 2 b 2 = c 2. En términos de metafísica, cada uno tiene una parte, y esa parte no se moverá.

El cuadrado con el gancho como lado es Zhu Fang, y el cuadrado con la cuerda como lado. el lado es Fang Qing I (a2) se mueve a I ', el II de Fang Qing se mueve a II ' y el III se mueve a III '. En la figura, un cuadrado (C...2) con la cuerda como. se forma la longitud del lado. Esto se puede demostrar A B ^ 2 = C ^ 2; [Editar este párrafo] La historia de Garfield demostrando el teorema de Pitágoras Una tarde de fin de semana de 1876, en los suburbios del estado de Washington, DC. Un hombre de edad caminaba y admiraba el hermoso paisaje al anochecer. Era Garfield, un congresista de Ohio, que en ese momento era miembro del partido, mientras caminaba, de repente encontró a dos niños en un pequeño banco de piedra cercano, concentrándose en algo. , discutiendo en voz alta y discutiendo en voz baja impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y se acercó a los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vio a un niño pequeño inclinándose y dibujando un triángulo rectángulo en el. suelo, entonces Garfield preguntó al niño qué estaban haciendo. Sin levantar la cabeza, dijo: "Disculpe señor, si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son 3 y 4, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?". "Garfield respondió: "Son las cinco. El niño volvió a preguntar: "Si los dos ángulos rectos miden 5° y 7° respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo?" Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual a 5 al cuadrado más 7 al cuadrado". El niño dijo: "Señor, ¿puede decirme la verdad?" "Garfield se quedó sin palabras, incapaz de explicar y muy infeliz. Garfield dejó de caminar e inmediatamente se fue a casa para discutir el problema que le había planteado el niño. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió el motivo y dio una explicación concisa. método de prueba.

Como se muestra a continuación:

Solución: En la cuadrícula, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños con dos lados rectángulos es igual al área de los cuadrados con las dos hipotenusas.

Contenido del Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C,

El cuadrado de a al cuadrado b al cuadrado = el cuadrado de c;

Explicación: Los antiguos eruditos chinos llamaban "gancho" al lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo, y al lado rectángulo más largo "cuerda", y la hipotenusa "cuerda", por eso llamaron a este teorema "Teorema de Pitágoras". El Teorema de Pitágoras revela la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, si los dos lados rectos -los lados angulares de un triángulo rectángulo son 3 y 4, entonces el cuadrado de la hipotenusa c = a El cuadrado de b = 9 16 = 25, es decir, c = 5.

Entonces la hipotenusa es 5.

[Editar este párrafo] Hay muchas formas de probar el teorema de Pitágoras. Probablemente sea la que tiene más pruebas de cualquier teorema matemático. Elisa Scott Loomis siempre menciona 367 formas de demostrarlo (como las identidades trigonométricas). como la serie de Taylor de funciones seno y coseno) se utilizan para probar el teorema de Pitágoras, pero dado que todas las identidades trigonométricas básicas se basan en el teorema de Pitágoras, no se pueden utilizar como prueba del teorema de Pitágoras (ver argumento circular)

Método de prueba 1 (Prueba de Mei Wending)

Haz cuatro triángulos rectángulos congruentes, asumiendo que sus dos lados rectángulos son A y B, y la hipotenusa es c. Forma un polígono como se muestra en la figura. figura de modo que D, E y F estén en línea recta.

Como la línea de extensión de AC que pasa por C, corta a DF en el punto p.

∫D, e, f están en una línea recta, rtδGEF≌rtδEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED ,

∫∠EGF ∠GEF = 90,

∴ ∠BED ∠GEF = 90,

∴ ∠BEG =180 ―90 = 90

AB = BE = EG = GA = c,

Abeg es un cuadrado con longitud de lado c.

∴ ∠ABC ∠CBE = 90

∫rtδABC≌rtδEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD ∠CBE = 90

Es decir, ∠CBD = 90.

∠∠BDE = 90, ∠BCP = 90,

BC = BD = a.

BDPC es un cuadrado con una longitud de lado 100.

Del mismo modo, HPFG es un cuadrado con una longitud de lado b.

Supongamos que el área del polígono GHCBE es s, entonces

,

∴.

Método de demostración dos (demostrar a Mingda)

Construya dos triángulos rectángulos congruentes, sean sus dos lados rectángulos sean a y b (b > A), y la longitud de la hipotenusa es C. Luego haga un cuadrado con longitud de lado C y conviértalos en polígonos como se muestra en la figura, de modo que E, A, C sea en línea recta.

El punto que pasa por q es QP∨BC, el punto que pasa por AC es el punto p

El punto que pasa por b es BM⊥PQ, y el pie vertical es m; un poco más.

f es FN⊥PQ, el pie vertical es n

∫∠BCA = 90, QP∨BC

∴ ∠MPC = 90,

* bm⊥pq,

∴ ∠BMP = 90,

∴ BCPM es un rectángulo, es decir, ∠MBC = 90°.

∠∠QBM ∠MBA =∠QBA =,

∠ABC ∠MBA = ∠MBC = 90

∴ ∠QBM = ∠ABC,

∵∠ BMP = 90, ∠ BCA = 90, BQ = BA = c,

∴rtδbmq≌rtδBCA.

De manera similar, también se puede demostrar rt δ qnf ≌ rt δ AEF.

Método de demostración 3 (Demostración de Zhao Haojie)

Haz dos triángulos rectángulos congruentes. Sean sus dos lados rectángulos a y b (b >; a), y la hipotenusa es. c. Luego haz un cuadrado con una longitud de lado c y júntalos para formar un polígono como se muestra en la figura.

Crea los cuadrados FCJI y AEIG con CF y AE como longitudes de lados respectivamente,

∫EF = DF-DE = b-a, EI=b,

∴FI =a,

∴ g, I y j están en la misma recta,

CJ = CF = a, CB=CD=c,

∠ CJB = ∠CFD = 90,

∴rtδcjb rtδCFD,

De manera similar, rt δ abg ≌ rt δ ade,

∴rtδcjb≌rtδCFD≌rtδabg≌rtδade

∴∠ABG = ∠BCJ,

∠∠BCJ ∠CBJ = 90,

∴∠ABG ∠CBJ= 90,

∫ ∠ABC = 90°,

∴ g, b, I y j están en la misma recta,

Prueba 4 (Prueba euclidiana)

Do Tres cuadrados con longitudes de lados A, B y C están dispuestos como se muestra en la figura de modo que H, C y B estén conectados en línea recta.

BF, CD. Exceder c se considera CL⊥DE,

AB cruza en el punto my DE cruza en el punto l.

AF = AC, AB = AD,

∠FAB = ∠GAD,

∴δfab≌δgad,

∫δFAB El el área es igual a,

El área de GAD es igual al ángulo recto ADLM.

La mitad del área,

El área del rectángulo ADLM = ∴.

De manera similar, el área del rectángulo MLEB =.

El área del cuadrado ADEB

=El área del rectángulo ADLM El área del rectángulo MLEB

∴Es decir, el cuadrado de a cuadrado b cuadrado = el cuadrado de c

Demostración 5 La prueba de Euclides

Demostración en "Elementos"

En los "Elementos" de Euclides se demuestra el teorema de Pitágoras como sigue. Sea △ABC un triángulo rectángulo, donde A es un ángulo recto. Dibuja una línea recta desde el punto A hacia el lado opuesto de modo que sea perpendicular al cuadrado opuesto. Esta recta biseca el cuadrado opuesto y su área es igual a la de los otros dos cuadrados.

En la demostración formal, necesitamos los siguientes cuatro teoremas auxiliares:

Si dos triángulos tienen dos conjuntos de lados correspondientes y los ángulos entre los dos conjuntos de lados son iguales, entonces Estos dos triángulos son congruentes. (Teorema de SAS) El área de un triángulo es la mitad del área de cualquier paralelogramo con la misma base y altura. El área de cualquier cuadrado es igual al producto de sus dos lados. El área de cualquier cuadrado es igual al producto de sus dos lados (según el teorema auxiliar 3). El concepto de la prueba es: transformar los dos cuadrados superiores en dos paralelogramos con áreas iguales, y luego rotarlos y transformarlos en los dos rectángulos inferiores con áreas iguales.

Esto se demuestra de la siguiente manera:

Sea △ABC un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es CAB. Sus lados son BC, AB y CA, que se dibujan en cuatro cuadrados: CBDE, BAF y ACIH. Dibuja líneas paralelas BD y CE que intersequen el punto a, esta línea cruzará BC y DE en ángulos rectos en los puntos K y L respectivamente. Conecte CF y AD respectivamente para formar dos triángulos BCF y BDA. ∠CAB y ∠BAG son ángulos rectos, por lo que C, A y G son todos linealmente correspondientes. B, A y H también se pueden demostrar de la misma manera. ∠CBD y ∠FBA son ángulos rectos, por lo que ∠ABD es igual a ∠FBC. Dado que AB y BD son iguales a FB y BC respectivamente, △ABD debe ser igual a △FBC. Como A corresponde linealmente a K y L, el cuadrado de BDLK debe ser el doble de ΔABD. Como C, A y G son colineales, el cuadrado de BAGF debe ser el doble del área de ΔFBC.

Por lo tanto, el cuadrilátero BDLK debe tener la misma área BAGF = AB^2 De manera similar, el cuadrilátero debe tener la misma área ACIH = AC^2 Sume estos dos resultados, ab^2 ac^2 = BD ×BK KL×. KC Dado que BD=KL, BD×BK KL×KC = BD(BK KC) = BD×BC Dado que CBDE es un cuadrado, AB^2 AC^2= BC^2 2. Esta prueba es el alias del teorema de Pitágoras propuesto en la Sección 1.47 de los "Elementos de geometría" de Euclides. Es una perla deslumbrante en geometría y se la conoce como la "piedra angular de la geometría". También se usa ampliamente en materias como matemáticas avanzadas. Debido a esto, se han descubierto y estudiado ampliamente varias civilizaciones antiguas en el mundo, por lo que tienen muchos nombres.

China es uno de los primeros países en descubrir y estudiar el Teorema de Pitágoras. Los antiguos matemáticos chinos llamaban pitagórico al triángulo rectángulo. El lado rectángulo corto se llamaba gancho, el lado rectángulo largo se llamaba stock y la hipotenusa se llamaba cuerda. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras también se llama teorema de Pitágoras. Más de 1000 a. C., se registra que Shang Gao (alrededor de 1120 a. C.) respondió a Zhou Gong: "Por lo tanto, el ancho de la oración es tres, los hilos son cuatro y el diámetro es cinco". , la mitad exterior es un cuadrado y el anillo es Sí * * *, es decir 345. Los dos momentos * * * son veinticinco y se llaman momentos producto. "Por lo tanto, el teorema de Pitágoras también se llama" teorema de Shang-Gao "en nuestro país. En los siglos VII y VI a. C., el erudito chino Chen Zi dio una vez la relación de tres lados de cualquier triángulo rectángulo, es decir, " se toma el sol como anzuelo y el sol como las partes. El anzuelo y la parte se multiplican y eliminan para llevar el mal al cielo.

En Francia y Bélgica, el Teorema de Pitágoras también se conoce como "Teorema del Puente del Burro". Otros países llaman al Teorema de Pitágoras el "teorema del cuadrado".

Ciento veinte años después de la muerte de Chen Zi, el famoso matemático griego Pitágoras descubrió este teorema, por lo que muchos países del mundo lo llaman teorema de Pitágoras. Para celebrar el descubrimiento de este teorema, los pitagóricos mataron cien vacas como recompensa por sacrificar a los dioses, por lo que este teorema también se llama "Teorema de las cien vacas".

Garfield, el vigésimo presidente de Estados Unidos, demostró el teorema de Pitágoras (1 de abril de 1876).