Demostración del teorema de Pitágoras
Al comienzo de "Zhou Pingxing Suanjing", el trabajo matemático más antiguo de China, hay una conversación entre Zhou Gong y Shang Gao pidiendo conocimientos matemáticos. Zhou Gong preguntó: "Escuché que eres muy competente en matemáticas. Déjame preguntarte: no hay una escalera para subir al cielo y no puedes usar una regla para medir sección por sección en el suelo. Entonces, ¿cómo puedes hacerlo? ¿Obtener los datos sobre el cielo y la tierra?" Shang Gao respondió: "Los números provienen de la otra parte y del círculo. Hay un principio: cuando el 'gancho' de un triángulo rectángulo es igual a 3 y el '. La cuerda 'del otro lado del ángulo recto es igual a 4, entonces su 'cuerda' de hipotenusa debe ser 5. El principio fue resumido por Dayu cuando estaba controlando las inundaciones "Se puede ver en el diálogo anterior que la gente en. La antigua China había descubierto y aplicado el teorema de Pitágoras hace miles de años, que es un principio importante para comprender las matemáticas. Los lectores que saben un poco sobre geometría plana saben que el teorema de Pitágoras significa que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados rectángulos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Como se muestra en la figura, usamos el gancho (a) y el hilo (b) para representar el triángulo rectángulo respectivamente para obtener dos lados rectángulos, que están representados por la cuerda (c). Entonces podemos obtener el teorema de Pitágoras, es decir: a2 b2 = c2, que en Occidente se llama teorema de Pitágoras. Se dice que fue descubierto por primera vez por el antiguo matemático y filósofo griego Pitágoras en el año 550 a.C. De hecho, los antiguos chinos descubrieron y aplicaron este teorema matemático mucho antes que Pitágoras. Si el control de inundaciones de Dayu no puede verificarse con precisión debido a su larga historia, entonces se puede determinar que el diálogo entre Zhou Gong y Shang tuvo lugar en la dinastía Zhou Occidental alrededor del 1100 a. C., más de 500 años antes que Pitágoras. Entre ellos, el anzuelo de 3 hilos, 4 hilos y 5 es un caso especial del teorema de Pitágoras (32 42 = 52). Por eso debería ser muy apropiado llamarlo Teorema de Pitágoras en matemáticas. En un libro posterior, "Multiplica el gancho y la cuerda por separado, luego suma sus productos y luego haz una raíz, y podrás obtener la cuerda". Escribe este pasaje en una ecuación, que es cuerda = (gancho 2 Stock 2). (1/2), que es c=(a2 b2)(1/2) en la antigua China. Zhao Shuang, un matemático durante el período de los Tres Reinos, dibujó el diagrama de Pitágoras y utilizó una combinación de formas y números para demostrar el teorema de Pitágoras en detalle. En este diagrama del cuadrado pitagórico, el cuadrado ABDE con la cuerda como longitud del lado se compone de cuatro triángulos rectángulos iguales más un pequeño cuadrado en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es AB/2; si sabemos que la longitud del lado de un cuadrado pequeño es b-a, el área es (b-a)2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4*(ab/2) (b-a)2=c2. Después de la simplificación, podemos obtener: a2 b2=c2, es decir, c=(a2 b2)(1/2). Es riguroso e intuitivo, y sienta un ejemplo del estilo único de la antigua China de demostración de números formales, unificación de números formales y estrecha integración del álgebra y la geometría, que son inseparables entre sí. La mayoría de los matemáticos posteriores heredaron este estilo y lo desarrollaron de generación en generación. Por ejemplo, Liu Hui utilizó más tarde un método formal para demostrar el teorema de Pitágoras, pero la división, combinación y suma de números específicos eran ligeramente diferentes. Los antiguos matemáticos chinos descubrieron y demostraron el teorema de Pitágoras. Tiene una contribución y un estatus únicos en la historia de las matemáticas mundiales, especialmente el método ideológico de "unificación de forma y número", que es de gran importancia para la innovación científica. De hecho, el método de pensamiento de "unificación de forma y número" es una condición extremadamente importante para el desarrollo de las matemáticas. Como dijo el matemático chino contemporáneo Wu Wenjun: "En las matemáticas tradicionales chinas, la relación entre cantidad y forma espacial a menudo se desarrolla una al lado de la otra. Fue Descartes quien inventó la geometría analítica en el siglo XVII.
La prueba del teorema de Pitágoras métodos (más de 10)
Prueba 1 (Prueba del libro de texto) Haz ocho triángulos rectángulos congruentes. Sean sus dos lados rectángulos A y B, y la hipotenusa sea C, y luego haz tres. Los cuadrados con lados A, B y C se convierten en los dos cuadrados que se muestran en la figura anterior. Se puede ver en la figura que los lados de estos dos cuadrados son a b, por lo que las áreas son iguales. Zou) en la prueba), sean A y B los lados rectángulos y C la hipotenusa, y formen cuatro triángulos rectángulos congruentes. El área de cada triángulo rectángulo es igual a.
Organice estos cuatro triángulos rectángulos en la forma que se muestra en la figura, de modo que A, E y B estén en línea recta, B, F y C estén en línea recta y C, G y D estén en línea recta. línea recta. , ∴ ∠AEH ∠BEF = 90? . ∴ ∠HEF = 180? ―¿90?= 90?. ∴El cuadrilátero EFGH es un cuadrado de longitud de lado c y su área es igual a C2. ∫rtδgdh≌rtδhae, ∴ HGD = ∠EHA. ∫∠HGD ∠GHD = 90? , ∴ ∠EHA ∠GHD = 90? ∫∠GHE = 90 otra vez? , ∴ ∠DHA = 90? 90?= 180?. ∴ ABCD es un cuadrado de lados a b y su área es igual a...∴.
Demostración del Teorema de Pitágoras
Demostración del Teorema de Pitágoras: En estos cientos de demostraciones Entre Los métodos, algunos son muy emocionantes, otros son muy simples y algunos son muy famosos debido a su estatus especial.
Primero, se presentan las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente. 1. Método chino: dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a b), como se muestra en la figura, donde A y B son lados rectángulos y C es la hipotenusa.
Los dos cuadrados son congruentes, por lo que sus áreas son iguales. Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son iguales al triángulo rectángulo original. La suma de las áreas de los triángulos izquierdo y derecho debe ser igual.
Si se eliminan los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, las áreas de las partes restantes de las figuras serán iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con A y B como lados respectivamente.
A la derecha hay un cuadrado con C como lado. Entonces a 2 b 2 = c 2.
Este es el método introducido en nuestro libro de texto de geometría. Intuitivo y sencillo, todo el mundo puede entenderlo.
2. Método griego: dibuja un cuadrado directamente en los tres lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen. Es fácil ver que △ABA '≔△AA ' c.
Dibuja una línea vertical que pase por C hasta A''B'', cruzando AB en C' y A''B'' en C'. △ABA' y el cuadrado ACDA' tienen la misma altura de base, y el área del primero es la mitad del segundo △AA''C y el rectángulo AA''C''C' tienen la misma altura de base, y el. El área del primero es también la mitad del segundo.
De △ABA'≔△AA' 'C, sabemos que el área del cuadrado ACDA' es igual al área del rectángulo AA''C''C'. De manera similar, el área del cuadrado BB'EC es igual al área del rectángulo B''BC'C'
Por lo tanto, S cuadrado AA''B''B = S cuadrado ACDA' S cuadrado BB'EC, es decir, a2 b2=c2. En cuanto a que el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo con la misma base y la misma altura, se puede encontrar usando el método de cortar y rellenar (pruébelo usted mismo).
Aquí sólo se utilizan relaciones de área simples y no están involucradas las fórmulas de área de triángulos y rectángulos. Así lo demostró el antiguo matemático griego Euclides en "Elementos de geometría".
La razón por la cual los dos métodos de demostración anteriores son maravillosos es que usan muy pocos teoremas y solo usan dos conceptos básicos de área: (1) Las áreas de congruencia son iguales (2) Dividir una figura en; varios La suma de las áreas de cada parte es igual al área de la figura original. Este es un concepto perfectamente aceptable y simple que cualquiera puede entender.
Los matemáticos chinos de todas las épocas han utilizado muchos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras, y también hay muchos diagramas del teorema de Pitágoras. Entre ellos, Zhao Shuang (también conocido como Zhao) demostró el teorema de Pitágoras en su. Teorema del artículo "Ilustraciones del teorema de Pitágoras", este artículo se adjunta a "Zhou Bi Suan Jing". Utilice el método de cortar y rellenar: como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos de la imagen están pintados con cinabrio, el pequeño cuadrado en el medio está pintado con amarillo, que se llama sólido amarillo del medio, y el cuadrado con la cuerda ya que el lado se llama cuerda sólida. Luego, tras unir y emparejar, "la entrada y la salida se complementan, cada una según su propia forma", afirmó que la relación entre las tríadas pitagóricas es consistente con el teorema de Pitágoras.
Es decir, "las hebras de Pitágoras se multiplican entre sí y son cadenas reales. Si se dividen por cuadrados, son cadenas". La demostración del teorema de Pitágoras de Zhao Shuang muestra que los matemáticos chinos tienen ideas magníficas para demostrar problemas. , conciso e intuitivo.
Muchos eruditos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras y han proporcionado muchos métodos de demostración. Entre ellos, Pitágoras proporcionó la prueba más antigua registrada por escrito. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras se puso tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo.
Por eso, los países occidentales también llaman al Teorema de Pitágoras el "Teorema de las cien vacas". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se perdió hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo.
La siguiente es la demostración del Teorema de Pitágoras de Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Como se muestra en la figura, S trapecio ABCD = (a b)2 = (a2 2ab b2), ① S trapecio ABCD = S△AED S△EBC S△CED = a b BA C2 = (2ab C2).
②Comparando las dos fórmulas anteriores, podemos obtener a2 b2=c2. Esta prueba es bastante simple porque utiliza la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.
En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del Teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos.
Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y fue aprobada. como una buena historia en la historia de las matemáticas. Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son similares al triángulo original.
Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Sea CD⊥BC, el pie vertical sea d
Entonces △BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC. ¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ① AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB .
②Encontramos que al sumar ① y ②, podemos obtener BC2 AC2=AB(AD BD) y AD BD=AB, por lo que tenemos BC2 AC2=AB2, que es a2 b2= c2. Esta también es una forma de demostrar el teorema de Pitágoras y además es muy sencilla.
Utiliza el conocimiento de triángulos semejantes. En las numerosas demostraciones del teorema de Pitágoras, la gente también comete algunos errores.
Por ejemplo, alguien dio el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras: Supongamos △ABC, ∠c = 90°, cosC=0 Del teorema del coseno c2=a2 b2-2abcosC, porque ∠c =. 90°. Entonces a2b2=c2.
Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.
La gente está interesada en el Teorema de Pitágoras porque puede generalizarse. Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto en la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la suma de las áreas de dos lados rectos semejantes en dos ángulos rectos".
Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo teniendo como diámetro los tres lados de un triángulo rectángulo, el área del círculo con la hipotenusa como diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos. El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer un poliedro semejante, entonces el área de superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de los dos poliedros en los lados derechos.
Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo para formar una bola, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas sobre las dos lados en ángulo recto. Etcétera.
Además, la demostración del teorema de Pitágoras en matemáticas de octavo grado (presentando 16 métodos de demostración) (plan de lección de matemáticas) ydgz/.
Describir y demostrar el Teorema de Pitágoras.
Demuestra que el cuadrado de la izquierda consta de 1 cuadrado con lado A y 1 cuadrado con lado B, y cuatro triángulos rectángulos con lados A y B e hipotenusa C. El cuadrado de la derecha It consta de un cuadrado con longitud de lado C y cuatro triángulos rectángulos con longitudes de lado A y B e hipotenusa C. Debido a que las áreas de estos dos cuadrados son iguales, podemos poner la ecuación a2 B2 4 * 12AB = C2 4 * 12AB y simplificado a a 2 b 2 =c 2. Aquí una prueba falsa: Teorema de Pitágoras: La propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa se llama teorema de Pitágoras o teorema de Pitágoras, también conocido como teorema de Pitágoras o El teorema de Pitágoras. A), la longitud de la hipotenusa es C. Luego haz un cuadrado con la longitud del lado C y conviértelos en polígonos como se muestra en la figura, de modo que E, A y C estén en línea recta. El punto de intersección q es qp∑BC, el punto de intersección AC es p, el punto de intersección b es BM⊥PQ y la regla vertical es m. Deje que FN⊥PQ esté detrás del punto f y el pie vertical es n; BCA = 90, qp∨BC, ∴∠ MPC = 90, ∵BM⊥PQ, ∴∠BMP. ∠ BCA = 90, BQ=BA=c, ∴Rt△BMQ≌Rt△BCA De manera similar, también se puede demostrar Rt△QNF≌Rt△AEF, es decir, a 2 b 2 =c 2.
El método para demostrar el teorema de Pitágoras implica gráficos, que es más difícil y tiene varios métodos.
Cuando Liu Hui demostró el teorema de Pitágoras, también utilizó el método para demostrar números en forma. , pero en términos específicos La división, combinación y suma son ligeramente diferentes. La prueba de Liu Hui originalmente tenía un diagrama, pero desafortunadamente el diagrama se perdió, dejando solo un párrafo: "El gancho viaja sobre Zhu Fang y la culata viaja sobre Fang Qing, de modo que la entrada y la salida se complementan entre sí, y lo mismo va por todo lo demás, sintetizando el poder del acorde. Excepto Root, acorde "El cuadrado con el gancho A como lado es Zhu Fang, y el cuadrado con la culata B como lado es Fang Qing. El excedente compensa la deficiencia y Zhu Fang y Fang Qing se combinan para formar un cuadrado polifónico. Según su relación de área, a b = c. Debido a que Zhu Fang y Fang Qing tienen cada uno una parte en el cuadrado de cuerda, esa parte no se moverá. El cuadrado con el gancho como lado es Zhu Fang, y el cuadrado con la culata como lado es Fang Qing. Cuando III se mueve a III', se deletrea un cuadrado con la cuerda como longitud del lado (C al cuadrado). A partir de esto podemos demostrar que A cuadrado B cuadrado = c cuadrado. Esta prueba fue propuesta por Liu Hui, un matemático de Wei durante el período de los Tres Reinos. En el cuarto año de Wei Jingyuan (263 d. C.), Liu Hui anotó el antiguo libro "Nueve capítulos de aritmética". En las notas, dibujó un diagrama similar a la Figura 5 (b) para demostrar el teorema de Pitágoras. Debido a que usó "green out" y "zhu out" para representar el amarillo, el morado y el verde en la figura, y explicó cómo usar "green in" y "zhu in" para llenar las partes en blanco del cuadrado de la hipotenusa, los matemáticos posteriores. El patrón se llama "verde dentro y fuera". Algunas personas también usan la frase "dentro y fuera, se complementan".
¿Qué es el teorema de Pitágoras? ¿Qué métodos se pueden utilizar para demostrar el problema?
En cualquier triángulo rectángulo ( RT△), dos La suma de los cuadrados de los lados rectángulos es igual al cuadrado de la hipotenusa, que es el teorema de Pitágoras, es decir, el cuadrado del anzuelo más el cuadrado de la hebra es igual al cuadrado de la cuerda (6 raíces) (la suma de los cuadrados de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo es igual a la hipotenusa). El cuadrado del teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno. el "teorema de Shang-Gao" en China (se dice que cuando Dayu controló las inundaciones, este teorema se utilizó en problemas de cálculo en la conservación del agua), y en el extranjero se llama Teorema de Pitágoras o Teorema de las Cien Vacas (Pitágoras descubrió este teorema). y decapitó cien vacas para celebrarlo, por lo que también se le llama "Teorema de las cien vacas"). Francia y Bélgica también llaman a este teorema "Teorema del puente del burro" (Teorema del puente del burro - Parte 1 de los "Elementos de geometría" de Euclides). ) para encontrar un triángulo equilátero. Proposición 2: Encuentra un punto conocido como punto final y haz un segmento de línea igual al segmento de línea conocido. Proposición 3: Encuentra dos puntos ya conocidos, encuentra. un segmento de recta en el segmento de recta grande que es igual al segmento de recta pequeña Proposición 4: Los dos lados de los dos triángulos y sus ángulos incluidos son iguales. el Teorema de Pitágoras más tarde que China (China fue el primer país en descubrir este tesoro geométrico).
Actualmente, los estudiantes de segundo grado están comenzando a estudiar. La mayoría de los métodos de demostración en los libros de texto utilizan el diagrama de cuerdas de Zhao Shuang, y el diagrama de Green-Jutton se utiliza para demostrar un teorema geométrico básico. El Teorema de Pitágoras es una de las herramientas más importantes para resolver problemas geométricos utilizando ideas algebraicas. También es uno de los vínculos entre números y formas. La suma de los cuadrados de los dos lados rectángulos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si A, B y C representan respectivamente los dos lados rectángulos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces A^2; b^2 = c^2; es decir, el lado corto del gancho y la suma de los cuadrados de los lados (el lado largo es el gancho) es igual al cuadrado de los lados de la hipotenusa (es decir, la cuerda). Es decir, si los dos lados derechos de un triángulo rectángulo son A y B, y la hipotenusa es C, entonces ¿A al cuadrado, B al cuadrado = C al cuadrado? ¿b? =c? Hay alrededor de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras, lo que lo convierte en uno de los teoremas matemáticos más probados. El famoso matemático chino antiguo Shang Gao dijo: "Si el gancho es tres y la cuerda es cuatro, entonces la cuerda es cinco". Está registrado en "Nueve capítulos de aritmética". Se expande a 1. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo se considera como un vector en un plano bidimensional, y los dos ángulos rectos se consideran proyecciones sobre los ejes de coordenadas del sistema de coordenadas rectangulares del plano, entonces podemos examinar el significado del teorema de Pitágoras a partir de otro ángulo, es decir, el vector. El cuadrado de su longitud es igual a la suma de las longitudes al cuadrado de su proyección sobre un conjunto de bases ortonormales en su espacio.
¿Cómo demostrar el Teorema de Pitágoras en la escuela primaria? Sé cómo enseñarte. Gracias.
El Teorema de Pitágoras fue demostrado por primera vez por Zhao Shuang, un matemático del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos. Se proporciona una demostración detallada del teorema de Pitágoras mediante el método de combinar formas y números. En este teorema de Pitágoras, las cuerdas se tratan como lados. El nombre BDE se compone de cuatro triángulos rectángulos iguales más un pequeño cuadrado en el medio. El área de cada triángulo rectángulo es AB/2. Si sabemos que la longitud del lado de un cuadrado pequeño es b-a, el área es (b-a)2. Entonces podemos obtener la siguiente fórmula: 4*(ab/2) (b-a)2=c2. Después de la simplificación, podemos obtener: a2 b2=c2, es decir, c=(a2 b2)(1/2). Recortó (recortó) áreas del cuadrado bordeadas por líneas pitagóricas y las movió a áreas vacías del cuadrado bordeadas por cuerdas. Como resultado, simplemente lo completé y el problema se resolvió por completo utilizando el método del diagrama. Luego dio dos alturas de 1 y las hizo con proporciones triangulares similares. 2. Un triángulo rectángulo se inscribe en un círculo y luego se expande hasta formar un rectángulo. Finalmente, utilizó el teorema de Ptolomeo.