¿Qué es la fórmula integral de convolución?
La fórmula de convolución es: z(t)=x(t)*y(t)=∫x(m)y(t-m)dm. La convolución es una operación importante en matemáticas analíticas. Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones integrables en R1. Haga integrales:
Se puede demostrar que para casi todos los x∈(-∞,∞), la integral anterior existe de. . De esta manera, con diferentes valores de x, esta integral define una nueva función h(x), llamada convolución de f y g, registrada como h(x) = (f *g) (x). Es fácil verificar que (f *g) (x) = (g * f) (x), y (f * g) (x) sigue siendo una función integrable. Es decir, reemplazando la multiplicación por convolución, el espacio L1(R1)1 es un álgebra, incluso un álgebra de Banach.
Teorema matemático:
El teorema de la convolución establece que la transformada de Fourier de la convolución de una función es el producto de la transformada de Fourier de la función. Es decir, una convolución en un dominio es equivalente a un producto en otro dominio. Por ejemplo, una convolución en el dominio del tiempo corresponde a un producto en el dominio de la frecuencia.
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x)).
Donde F representa la transformada de Fourier.
Este teorema también es válido para varias variantes de la transformada de Fourier, como la transformada de Laplace, la transformada bilateral de Laplace, la transformada Z, la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (consulte el teorema de inversión de Mellin). En análisis armónico, también se puede generalizar a la transformada de Fourier definida en el grupo abeliano localmente compacto.
El uso del teorema de convolución puede simplificar la complejidad computacional de la convolución. Para una secuencia de longitud n, el cálculo de acuerdo con la definición de convolución requiere 2n-1 conjuntos de multiplicaciones de alineación, y su complejidad computacional es y después de usar la transformada de Fourier para transformar la secuencia al dominio de frecuencia, solo un conjunto de Después de la multiplicación bit a bit; , utilizando el algoritmo rápido de la transformada de Fourier, la complejidad computacional total es. Este resultado se puede utilizar en cálculos de multiplicación rápidos.