¿Cuáles fueron las principales ramas de las matemáticas en el siglo XX?
Matemáticas básicas:
Teoría de números: teoría de números clásica, teoría analítica de números, teoría algebraica de números, teoría de números trascendental, teoría de modelos y funciones modulares.
Álgebra: Teoría de grupos algebraica lineal, teoría de representación de grupos, grupos de Lie, álgebras de Lie, grupos algebraicos, grupos típicos, álgebra de homología, teoría algebraica de K, álgebra de Kac-Moody, teoría de anillos, álgebra, cuerpo, celosía , estructuras ordenadas, teoría de dominios y grupos topológicos polinomiales teoría de matrices álgebra vectorial álgebra tensorial.
Geometría: geometría diferencial (global, local), geometría algebraica, análisis de variedades, variedades de Riemann y variedades de Lorentz, espacios homogéneos y espacios simétricos, mapeo armónico, teoría de subvariedades, teoría de campos de Yang-Mills y teoría de haces de fibras. variedades simplécticas, geometría convexa y geometría discreta Geometría euclidiana Geometría no euclidiana Geometría analítica.
Topología: topología diferencial, topología algebraica, variedades de baja dimensión, teoría de homotopía, teoría de singularidad y catástrofe, topología de conjuntos de puntos, análisis a gran escala de variedades y complejos de cavidades, cálculo diferencial Teoría de homología topológica en variedades complejas .
Teoría de funciones: teoría de la aproximación de funciones.
Análisis funcional: análisis funcional (no lineal), teoría de operadores, álgebra de operadores, ecuaciones en diferencias y funcionales, funciones generalizadas, método variacional, transformación integral de ecuaciones integrales.
Ecuaciones diferenciales: ecuaciones diferenciales funcionales, teoría característica y espectral y su problema inverso, teoría cualitativa, teoría de la estabilidad, teoría de la bifurcación, teoría del caos, teoría de la perturbación singular, sistemas dinámicos, elipse no lineal (y parabólica) diferencial ordinaria ecuaciones, ecuaciones diferenciales parciales, análisis microlocal y teoría general del operador diferencial parcial, ecuaciones mixtas y otras ecuaciones singulares, ecuaciones de desarrollo no lineales y sistemas dinámicos de dimensión infinita.
En el análisis funcional, el trabajo de muchas personas, incluido Kasparov, generalizó la teoría K continua a los no conmutantes.
La red algebraica C*. Las funciones continuas en el espacio constituyen álgebra conmutativa en el sentido de un producto de funciones. Pero en su caso, naturalmente se produjeron discusiones similares sobre casos no conmutativos, y el análisis funcional se convirtió naturalmente en un caldo de cultivo para estos problemas.
Así que la teoría K es otra forma de aplicar esta simplicidad a muchos aspectos diferentes de las matemáticas.
En cada caso hay una serie de campos que son específicos de ese aspecto y se pueden conectar con otras partes.
La teoría K no es una herramienta unificada, es más como una caja unificada.
Existen similitudes y similitudes entre las diferentes partes del marco.
Alain Connes generalizó gran parte de este trabajo a la geometría diferencial no conmutativa.
Es muy interesante que recientemente Witten haya presentado sus últimas ideas en teoría de cuerdas (física básica) y haya descubierto que muchos métodos interesantes están relacionados con la teoría K, y la teoría K parece proporcionar un "hogar" natural. para aquellas llamadas "cantidades" de "conservación"
. Aunque en el pasado la teoría de la homología se consideraba el marco natural para estas teorías, ahora parece que la teoría K-1 puede proporcionar una mejor respuesta.
Hablemos primero de geometría: geometría euclidiana, geometría plana, geometría espacial, geometría de línea recta, todas ellas.
Todo es lineal y se analizan los fundamentos desde las diferentes etapas de la geometría no euclidiana hasta la geometría más general de Riemann.
Es inherentemente no lineal. Muchos de nosotros nos hemos ocupado del estudio real de los fenómenos no lineales en ecuaciones diferenciales.
Nuevos fenómenos que no pueden verse con los métodos clásicos. Aquí sólo doy dos ejemplos, solitones y caos, que son dos teorías de ecuaciones diferenciales.
Dos aspectos completamente diferentes se han convertido en temas de investigación sumamente importantes y famosos en este siglo. Representan cosas diferentes.
Los solitones representan el comportamiento impredecible y organizado de ecuaciones diferenciales no lineales, mientras que el caos representa la imprevisibilidad.
Comportamiento desorganizado). material. Todos aparecen en diferentes campos y son muy interesantes
pero su base básica son los fenómenos no lineales. También podemos comparar algunos trabajos anteriores sobre solitones.
La historia se remonta a la segunda mitad del siglo XIX, pero eso es sólo una pequeña parte.
Por supuesto, en física, las ecuaciones de Maxwell (las ecuaciones básicas del electromagnetismo) son ecuaciones diferenciales parciales lineales y se corresponden con ellas.
La ecuación de Yang-Mills es una ecuación no lineal que se supone que regula las fuerzas asociadas con la estructura del material.
Estas ecuaciones no son lineales porque las ecuaciones de Yang-Mills son esencialmente la manifestación matricial de las ecuaciones de Maxwell.
Y el hecho de que las matrices no sean conmutativas conduce a términos no lineales en la ecuación, por lo que aquí vemos una línea no lineal.
Una relación interesante entre conmutatividad y no conmutatividad. La no conmutabilidad crea un tipo especial de no linealidad, que de hecho es intencional.
Es muy importante pensar en la paz.
Geometría y Álgebra
Hasta ahora he hablado de algunos temas generales. Ahora quiero hablar de un fenómeno de dicotomía en matemáticas. Hablemos de ello.
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La dicotomía entre geometría y álgebra, los dos pilares formales de las matemáticas, tiene una larga historia.
Su Canxue se remonta a la antigua Grecia o incluso antes; el álgebra se originó en los antiguos árabes y los antiguos indios. Por tanto,
Los estudiantes se convierten en la base de las matemáticas, pero existe una relación antinatural entre ellos.
Permítanme comenzar con la historia de este problema. La geometría euclidiana es el ejemplo más antiguo de teoría matemática hasta d.
Escartes era puramente geométrico hasta que introdujo las coordenadas algebraicas en lo que hoy llamamos plano cartesiano.
El enfoque de Rtes es un intento de convertir el pensamiento geométrico en operaciones algebraicas. Desde un punto de vista algebraico, esto es, por supuesto, un gran avance o un gran impacto en la geometría, si se compara a Newton y Leibniz en términos de puntos.
Analizando la obra, encontraremos que pertenecen a tradiciones diferentes, Newton era básicamente geómetra y Le1bn.
Soy básicamente un científico algebraico y hay una razón muy profunda para ello. Para Newton, la geometría, o el cálculo tal como él lo desarrolló, fue un intento matemático de describir las leyes de la naturaleza. Le importa ampliamente.
En su opinión, si uno quiere comprender las cosas, debe hacer uso del mundo físico.
¿Desde un punto de vista? # # # # #¿Qué pasó con las cejas? Pedro. ⒄Raspar ⒒? ¿Vale la pena la guanidina tostada con neón? ⒄¿Neón de canalón?
El cálculo es una forma de expresión que puede acercarse lo más posible a la connotación física que se esconde detrás de ella, por lo que utilizó argumentos geométricos.
Porque puede mantener una relación estrecha con significado práctico. Por otro lado, Leibniz tenía un objetivo y una ambición.
El objetivo es formalizar todas las matemáticas y convertirlas en una enorme máquina algebraica, lo cual es completamente diferente al enfoque de Newton.
Diferentes, tienen muchas etiquetas diferentes. Conocemos esta escena entre Newton y Leibniz.
En el gran debate, finalmente ganó el método de notación de Leibniz. Todavía usamos sus símbolos para escribir la esencia de las derivadas parciales de Newton.
Dios sigue vivo, pero lleva mucho tiempo sepultado.
A finales del siglo XIX, hace cien años, Poincaré y Hilbert eran las dos figuras principales. Estoy al frente.
Como se mencionó anteriormente, a grandes rasgos, son descendientes de Newton y Leibniz respectivamente.
Sus pensamientos giran más en torno al espíritu de la geometría y la topología, y utiliza estos pensamientos como sus herramientas básicas de conocimiento. . Hilbert era más un formalista que quería axiomáticamente, formalizar y dar descripciones estrictas y formales. Aunque
ninguno de los grandes matemáticos puede clasificarse fácilmente en una categoría, está claro que pertenecen a categorías diferentes.
Tradición.
Mientras preparaba este informe, pensé que debía anotar las características de nuestra generación que pueden heredar estas tradiciones.
Nombre del representante. Es muy difícil hablar de personas que todavía están vivas: ¿quién debería estar en esta lista? Y entonces yo...
Pensé: ¿A quién le importa estar en un lado de una lista tan famosa? Entonces elegí dos nombres a.
Rnold Bourbaki, el primero es heredero de la tradición Poincaré-Newton, y el segundo, creo, es Hilber.
.
Arnold, el sucesor más famoso de T, creía inequívocamente que sus puntos de vista sobre la mecánica y la física eran fundamentalmente geométricos, pero se derivaban de Newton; parcial en contra de ambos)
Excepto para unos pocos, esto es un malentendido. . Bourbaki intentó continuar la investigación formal de Hilbert y avanzar en la axiomática y la formalización de las matemáticas en un grado significativo, y logró cierto éxito. Cada perspectiva tiene sus méritos.
Pero es difícil conciliarlos.
Déjame explicarte cómo veo la diferencia entre geometría y álgebra. Por supuesto, la geometría tiene que ver con el espacio.
No hay duda al respecto. Si estuviera frente a una audiencia en esta sala, podría verlo en un segundo o un microsegundo.
Mucha, mucha información recibida, por supuesto, esto no es casualidad. La estructura de nuestro cerebro es muy similar a la visión
Una relación importante. Aprendí de algunos amigos que se dedican a la neurofisiología que la visión ocupa el % de la corteza cerebral.
Ochenta o noventa. Hay aproximadamente diecisiete centros en el cerebro, cada uno responsable de una parte diferente de la actividad visual.
Algunas partes tienen que ver con la orientación vertical, otras tienen que ver con la orientación horizontal y otras tienen que ver con el color y la perspectiva.
Sí, esa última parte trata del significado específico y la interpretación de lo que vemos. Comprender y percibir el mundo que vemos.
Los límites son una parte muy importante de nuestro desarrollo y evolución humana. Por tanto, la intuición espacial o percepción espacial es una herramienta muy poderosa, que también ocupa la geometría en matemáticas.
Posición importante, se puede utilizar no solo para cosas con propiedades geométricas obvias, sino incluso para cosas que no están claras.
Las cosas con propiedades geométricas también son aceptables. Intentamos reducirlos a formas geométricas porque esto nos permite utilizar nuestra intuición. Nuestra intuición es nuestra arma más poderosa, especialmente cuando explicamos un tema de matemáticas a estudiantes o colegas.
Puedes verlo muy claramente. Cuando explicas un argumento largo y difícil, finalmente logras que los estudiantes lo comprendan. Estudiantes
¿Qué dices cuando hablas? Él dirá: "¡Entiendo (entiendo)!" "Ver y comprender son sinónimos, yo
Los estudiantes también pueden usar la palabra "percepción" para describir ambos, al menos este es el caso en inglés. Correcto Y comparar este fenómeno con otros también es interesante. Creo que una cosa es muy básica: los humanos han pasado por este gran momento de capacidad y visión. Las actividades adquieren una gran cantidad de información que las desarrolla, las involucra y las refina.
El álgebra, por otro lado (y algunos pueden pensar lo contrario), se trata esencialmente de tiempo.
Qué tipo de álgebra es una serie de operaciones enumeradas una tras otra, es decir, "una tras otra"<. /p>
Debemos tener el concepto de tiempo en un universo estático, no podemos imaginar el álgebra, pero la geometría es estática: puedo sentarme aquí y observar, y nada ha cambiado, pero puedo seguir observando.
Off, esto se debe a que tenemos una serie de operaciones. El álgebra de la que hablo aquí no significa solo álgebra moderna.
Cualquier algoritmo, cualquier proceso de cálculo, da un. serie de pasos consecutivos. Está hecho por el desarrollo de las computadoras modernas.
Todo está claro. Las computadoras modernas usan una serie de 0 y 1 para reflejar su información para dar la respuesta a la pregunta. en el tiempo, y la geometría implica operaciones en el espacio. Son dos aspectos mutuamente perpendiculares del mundo.
Y representan dos conceptos diferentes en matemáticas, por lo que los matemáticos utilizaron el álgebra y la geometría en el pasado.
Las discusiones o conversaciones sexuales representan algo muy, muy básico.
Por supuesto, no vale la pena simplemente discutir qué lado pierde. Hay una metáfora para esta pregunta: "¿Tú?". ¿Quieres estudiar álgebra o geometría? "Esta pregunta es como preguntar
¿Preferirías ser sordo o ciego? Si los ojos de las personas son ciegos, no pueden ver el espacio; si los oídos de las personas
si eres Para ser sordo, no No puedo oír. La audición ocurre a tiempo.
En términos generales, preferiríamos tener ambos.
En física, existe una división similar, más o menos paralela, entre conceptos físicos y experimentos físicos. Física
El aprendizaje tiene dos partes: teoría (conceptos, ideas, lenguaje, leyes) y herramientas experimentales. Creo que el concepto está dentro de un cierto rango.
Los significados son geométricos porque se relacionan con cosas que suceden en el mundo real. La experimentación, por otro lado, es más
como un cálculo algebraico, siempre hay que dedicar tiempo a hacer cosas, medir algunos números, introducir fórmulas. Pero ahora,
los conceptos básicos detrás del experimento son parte de la tradición geométrica.
Para poner el fenómeno de bifurcación anterior en un lenguaje más filosófico o literario, significa que para los geómetras, el álgebra es
la llamada "dedicación fáustica" ". Como todos sabemos, en la historia de Goethe, Fausto puede conseguir lo que quiere (es decir, el amor de una mujer hermosa) a costa de vender su alma, y el álgebra fue propuesta por el diablo.
Para matemáticos. El diablo dirá: "Te daré esta poderosa máquina que podrá responder cualquier pregunta que tengas".
Sólo tienes que darme tu alma: renuncia a la geometría y tendrás esta poderosa máquina.
¡Piensa en ello como si fuera una computadora! ). Por supuesto, queremos tener ambos. Quizás podamos engañar al diablo.
Hacer como si vendiéramos nuestra alma sin dar realmente. Pero la amenaza a nuestras almas persiste cuando recurrimos a ella.
En los cálculos algebraicos, esencialmente dejamos de pensar, dejamos de pensar en términos de conceptos geométricos, dejamos de pensar en su significado.
Aquí hablaré un poco más sobre álgebra, pero el objetivo del álgebra es siempre establecer una fórmula.
Ponlo en una máquina y gira la manija para obtener la respuesta, es decir, traer algo significativo.
, conviértelo en una fórmula y obtén la respuesta. En tal proceso ya no es necesario pensar en este álgebra.
¿Cuáles son las geometrías correspondientes de estas diferentes etapas? Se pierde la percepción, lo cual es muy diferente en esas diferentes etapas.
Importante. ¡Nunca debemos renunciar a estas ideas! Finalmente, volveremos a esto y esto es lo que estoy diciendo.
La devoción de Fausto. Sé que eso es un poco nervioso.
Esta elección de geometría y álgebra ha propiciado el surgimiento de algunas materias interdisciplinarias, así como la relación entre álgebra y geometría
La diferencia entre "diagra" y "Diagra" es No es lo que dije. Tan sencillo y sin pretensiones.
m). ¿Qué otra cosa puede ser un esquema sino intuición geométrica?
Tecnología general
Ahora no quiero hablar mucho de temas divididos por contenidos, sino de aquellos basados en las tecnologías y prácticas que se han utilizado.
Ver el tema de las definiciones de métodos significa que quiero describir algunos métodos comunes que se han utilizado ampliamente en muchos campos. La primera
es:
Teoría de la homología
La teoría de la homología se desarrolló históricamente como una rama de la topología. Implica las siguientes situaciones. Hay uno.
Espacio topológico complejo, del cual queremos obtener información simple, como contar el número de agujeros o cosas similares,
obtuvimos algunas invariantes lineales aditivas relacionadas con él, esto es una construcción de invariantes lineales bajo condiciones no lineales
Desde un punto de vista geométrico, se pueden sumar y restar cadenas cerradas para obtener el llamado grupo de homología de un espacio. La teoría de la homología
como herramienta algebraica básica para obtener cierta información de espacios topológicos, fue descubierta en la primera mitad de este siglo.
El álgebra se benefició enormemente de la geometría.
El concepto de homología aparece también en otros contextos, y otro de sus orígenes se remonta a Hilbert y su teoría de los polinomios.
En nuestra investigación, los polinomios son funciones no lineales que se pueden multiplicar para obtener polinomios de orden superior. Es Hilbert.
Esta gran intuición lo llevó a discutir los "ideales", combinaciones lineales de polinomios con ceros comunes. Quiere encontrar esto.
Unos generadores ideales. Puede haber muchos generadores. Examina cómo se relacionan entre sí y cómo se relacionan entre sí. Por ello
Obtuvo la genealogía jerárquica de estas relaciones, que es la llamada "conjunción de Hilbert".
La teoría de Hilbert es un método muy complejo que intenta convertir una situación no lineal (estudio polinomial) en una situación lineal. La esencia
Básicamente, Hilbert construyó un complejo sistema de relaciones lineales que puede integrar elementos no lineales como polinomios.
Incluye alguna información.
En Topología, Hirzebruch y yo replicamos estas ideas y las aplicamos a un paradigma puramente topológico.
En cierto sentido, si el trabajo de Grothendieck está relacionado con el trabajo de Hilbert,
entonces nuestro trabajo está más cerca del de Riemann-Poincaré. Para trabajar sobre homología, utilizamos funciones continuas.
Utilizó polinomios. La teoría k también juega un papel importante en la teoría exponencial y el análisis lineal de operadores elípticos.
Desde una perspectiva diferente, Milnor, Quillen y otros desarrollaron el aspecto algebraico de la teoría K, que tiene
grandes aplicaciones potenciales en la investigación de la teoría de números. Los avances en esta dirección plantean muchas preguntas interesantes.