Hay varios modelos matemáticos en matemáticas de la escuela secundaria.

Tipos comunes de modelado matemático en las escuelas secundarias

Los "Estándares curriculares de matemáticas para la educación obligatoria a tiempo completo" presentan requisitos claros para el modelado matemático, enfatizando "a partir de experiencia de los estudiantes, lo que les permite experimentar el proceso de abstraer problemas prácticos en modelos matemáticos y analizarlos y aplicarlos, para que los estudiantes puedan adquirir habilidades de comprensión y pensamiento de las matemáticas "Han mejorado y desarrollado las actitudes y valores emocionales". Las capacidades de modelado no solo permiten a los estudiantes dominar mejor los conocimientos básicos de las matemáticas, sino que también pueden aprender las ideas y métodos básicos de las matemáticas. También pueden mejorar la conciencia de los estudiantes sobre las matemáticas aplicadas y mejorar su capacidad para analizar y resolver problemas prácticos. Hay muchas preguntas en el examen de ingreso a la escuela secundaria de 2007 en todo el país. Es para examinar los pensamientos y la conciencia de modelado de los estudiantes. Ahora, clasifíquelos y dé ejemplos.

Primero, establezca la "ecuación (grupo)". modelo

En la vida real, cantidades y. Existe una relación igual entre cantidades. El modelo de ecuación (grupo) es el modelo matemático más básico para estudiar relaciones cuantitativas en el mundo real, que puede ayudar a las personas a comprender, Describir y comprender el mundo real de manera más correcta y clara desde la perspectiva de las relaciones cuantitativas, el pago a plazos, las ventas con descuento, la tasa de crecimiento, los intereses de los ahorros, los problemas de ingeniería, los problemas de viajes, la concentración y otros problemas a menudo se pueden resumir en una "ecuación (conjunto). )" y se resuelve enumerando la ecuación (conjunto).

Ejemplo 1 (Examen de ingreso a la escuela secundaria de Shenzhen 2007) La distancia entre A y B es de 18 km, por lo que el equipo de ingeniería A colocará un gasoducto entre A y B, y el equipo de ingeniería B tenderá un gasoducto entre A y B. Se sabe que el equipo A coloca 1 km menos que el equipo B cada semana. El equipo A comienza a trabajar tres semanas antes. ¿El equipo A y el equipo B deben instalar la tubería al mismo tiempo? /p>

Solución: Si el equipo A coloca x kilómetros de tuberías por semana, entonces el equipo B coloca (x+1) kilómetros de tuberías por semana <. /p>

Según el significado de la pregunta:

La solución es x1=2, x2 =-3

Se comprueba que x1=2 y X2 =. -3 son las raíces de la ecuación original.

Pero x2 =-3 no se ajusta a la pregunta

∴x+1=3

Respuesta: El equipo A coloca 2 kilómetros de tubería cada semana y el equipo B coloca 3 kilómetros de tubería cada semana

2. Estableciendo el modelo de "desigualdad (grupo)"

La relación desigual entre. La cantidad y la cantidad también existen ampliamente en el establecimiento de acuerdos generales, marketing, decisiones de producción y aprobaciones. Problemas como los rangos de precios se pueden analizar a través de algunos datos dados, convirtiendo los problemas reales en los correspondientes problemas de desigualdad y utilizando las propiedades relevantes de las desigualdades para. resuélvalos.

Ejemplo 2 (Examen de ingreso a la escuela secundaria de la ciudad de Maoming 2007) Ciertos deportes El comprador del centro comercial de suministros compró un total de 100 pelotas de baloncesto y voleibol de la fábrica, y el pago total no excedió. 11.815 yuanes. Conocemos los precios mayoristas y minoristas de los dos tipos de bolas en la siguiente tabla. Intente responder las siguientes preguntas:

Precio mayorista del fabricante del producto (yuanes/pieza) y precio mayorista del centro comercial. (yuanes/pieza)

Baloncesto 130 160

Voleibol 100 120

(1) Comprador ¿Cuántas pelotas de baloncesto puedo comprar como máximo?

(2) Si el centro comercial puede vender las 100 pelotas al precio minorista, ¿cuántas pelotas de baloncesto debe comprar el comprador para que la ganancia del centro comercial no sea inferior a 2580 yuanes? ¿Cuánto puede ganar como máximo un centro comercial?

Solución: (1) Los compradores pueden comprar hasta x pelotas de baloncesto y las de voleibol son (100-x).

Según el significado de la pregunta: 130 x+100(100-x)≤11815.

La solución es x≤60,5.

∵x es un número entero positivo, ∴ x = 60.

Respuesta: Al comprar 100 pelotas de baloncesto y voleibol, el comprador puede adquirir hasta 60 pelotas de baloncesto.

(2) Los compradores deben comprar al menos X pelotas de baloncesto y las de voleibol son (100-x).

Según el significado de la pregunta: 30x+20 (100-x) ≥ 2580.

La solución es x≥58.

Como se puede observar en la tabla, el beneficio del baloncesto es mayor que el del voleibol. Por lo tanto, entre 100 pelotas, cuando hay más pelotas de baloncesto, el centro comercial puede obtener la mayor ganancia, que son 60 pelotas de baloncesto. En esa época, el voleibol vendía una media de 40 pelotas al día.

El centro comercial puede obtener una ganancia de (160-130)×6(120-100)×40 = 180800 = 2600 (yuanes).

Respuesta: El comprador debe comprar al menos 58 pelotas de baloncesto y el centro comercial puede obtener una ganancia máxima de 2.600 yuanes.

En tercer lugar, establecer un modelo "funcional".

La función refleja las amplias conexiones entre las cosas y revela innumerables relaciones cuantitativas y leyes de movimiento en el mundo real. En la vida real, problemas como la maximización de beneficios, el precio de los materiales, la inversión óptima, el coste mínimo, la optimización de programas, etc., a menudo pueden resolverse estableciendo modelos de funciones.

Ejemplo 3 (Preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de Guiyang de 2007 en Guizhou) Un mayorista de frutas vende manzanas a un precio de compra de 40 yuanes por caja. El departamento de precios estipula que cada caja no debe superar los 55 yuanes. Según un estudio de mercado, si cada caja se vende a un precio de 50 yuanes, se venderán una media de 90 cajas cada día. Por cada aumento de precio de 1 yuan, se venderán una media de 3 cajas menos cada día.

(1) Encuentre la relación funcional entre el volumen de ventas promedio diario y (caja) y el precio de venta x (yuanes/caja).

(2) Encuentre la relación funcional entre el beneficio de ventas promedio diario del mayorista W (yuanes) y el precio de venta X (yuanes/caja).

(3) Cuando el precio de cada caja de manzanas es ¿a cuánto se puede obtener el máximo beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

Solución: (1) Y = 90-3 (X-50) simplificado para obtener Y =-3x+240.

(2)w=(x-40)(-3x+240)

=-3x2+360x-9600

(3)w=- 3x2+360x-9600

= -3(x-60)2+1125

∫a =-3 < 0∴La parábola se abre hacia abajo.

Cuando x=60, w tiene un valor máximo, y cuando x <60, w aumenta con el aumento de x.

Cuando x=55, w el valor máximo es 1125. yuan.

Cuando el precio de cada caja de manzanas es de 55 yuanes, el beneficio máximo se puede obtener en 1.125 yuanes.

Cuarto, establecer un modelo "geométrico".

La geometría está estrechamente relacionada con la vida y la realidad humana, como la topografía y la cartografía, la navegación, la arquitectura, el posicionamiento de ingeniería, el diseño de puentes en arco de carreteras, etc. Cuando se trata de ciertas propiedades gráficas, a menudo es necesario establecer un "modelo geométrico" para convertir problemas reales en problemas geométricos a resolver.

Ejemplo 4 (Preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de 2007 de la ciudad de Nanning, Región Autónoma Zhuang de Guangxi) Como se muestra en la Figura p, hay una lámpara en la plaza.

(1) Dibuja la sombra de Xiao Min (representada por un segmento de línea) bajo la iluminación de la lámpara P en la imagen.

(2) Si Xiaoli llega al poste de luz MO; La distancia es de 1,5 m, el ángulo de elevación de la iluminación P es de 55°, la altura de sus ojos QB es de 1,6 m, intente encontrar la distancia desde la iluminación P al suelo y el resultado tiene una precisión de 0,1 m: tantan55 ≈1,428; , sen55 ≈ 0,819+09, cos55 ≈0,574.

Solución: (1) Como se muestra en la figura, el segmento de línea AC es la sombra de Xiao Min.

(2) Q es QE⊥MO en e, p es PF⊥AB en f, EQ en d, y luego PF⊥EQ en Rt△PDQ, ∠ PQD = 55, DQ = EQ-. ED = 4,5-1,5 = 3(metros).

tan55 =

∴ PD = 3tan55≈ 4.3 (metro)

∫df = QB = 1.6m.

∴ PF = PD+DF = 4,3+1,6 = 5,9 (metros).

Respuesta: La distancia de la iluminación al suelo es de 5,9 metros.

Verbo (abreviatura de verbo) para construir modelos "estadísticos"

El conocimiento estadístico tiene cada vez más aplicaciones en muchos campos como las ciencias naturales, la economía, las humanidades, la gestión y la tecnología de la ingeniería. . Contratación de empresas, demografía, diversas licitaciones y otras cuestiones. , a menudo es necesario transformar problemas prácticos en modelos "estadísticos" y utilizar conocimientos estadísticos relevantes para resolverlos.

Ejemplo 5 (Exámenes de escuela secundaria de la ciudad de Jingzhou, provincia de Hubei después de 2007) Para comprender los puntajes de 80.000 graduados de secundaria en la ciudad este año (el puntaje total es de 30 puntos, todos los puntajes son números enteros), los puntajes de educación física de algunos estudiantes se seleccionaron al azar. Los puntajes de las pruebas se convierten en el siguiente histograma de distribución de frecuencia (incompleto). Se sabe que el primer conjunto de frecuencias es 0,12.

Responda las siguientes preguntas:

(1) En esta pregunta, en general, el tamaño de la muestra es

.

(2) La frecuencia del cuarto grupo es; complete el histograma de distribución de frecuencia completo.

(3) La mediana de la muestra se encuentra dentro del subgrupo.

(4) Si una puntuación de 24 o más se considera "excelente", estime el número de graduados de la escuela secundaria que obtuvieron una puntuación "excelente" en el examen de ingreso a la escuela secundaria de educación física de este año.

Solución: (1) Las puntuaciones del examen de ingreso a educación física de 80.000 graduados de secundaria son = 500.

(2)0,26, en la figura se muestran cifras complementarias.

(3) Tres.

(4) Según la muestra, la tasa de excelente es 100% = 28%.

∴El número estimado de 80.000 graduados de secundaria con excelentes resultados deportivos es 28% × 80.000 = 22.400 (personas).

En sexto lugar, establecer un modelo de "probabilidad"

La probabilidad se utiliza ampliamente en la vida social y en los campos científicos, como la equidad en los juegos, ganar billetes de lotería, predecir el resultado de un equipo, etc. . , que a menudo puede resolverse estableciendo un modelo de probabilidad.

Ejemplo 6 (Preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria provincial de Liaoning de 2007) En la imagen se muestran cuatro tarjetas con la misma textura. Después de barajar la carta, colóquela sobre la mesa, con el revés hacia arriba.

(1) Calcula la probabilidad de sacar una carta al azar y obtener exactamente el número 2.

(2) Beckham y Xiaojing quieren jugar un juego con las cuatro cartas anteriores. Ver infografía para conocer las reglas del juego. ¿Crees que este juego es justo? Explique las razones utilizando una lista o dibujando un diagrama de árbol. Si crees que es injusto, cambia las reglas para que el juego sea justo.

Solución: (1) P (dibujar a 2) = 1

(2) se puede enumerar según el significado de la pregunta.

2 2 3 6

2 22 22 23 26

2 22 22 23 26

3 32 32 33 36

6 62 62 63 66

Dibuja un diagrama de árbol de la siguiente manera:

Como se puede ver en la tabla (o diagrama de árbol), hay 16 resultados posibles. Condiciones simbólicas, ∴P (dos dígitos no superiores a 32) = =, ∴El juego es injusto.

Las reglas de ajuste son las siguientes.

Método 1: Cambiar 32 en las reglas del juego por cualquier número entre 26 y 31 (incluidos 26 y 31) puede hacer que el juego sea justo.

Método 2: Se cambian las reglas del juego para sacar dos dígitos. Aquellos que saquen no más de 32 obtendrán 3 puntos, y aquellos que saquen más de 32 obtendrán 5 puntos.

Método 3: Cambia las reglas del juego a dos dígitos. Si el dígito es 2, Beckham gana; de lo contrario, gana Xiaojing.