Algunas preguntas de matemáticas Dado (x-1)?-16 (y+2)?=16, encuentre el centro, el foco, el vértice

1. Dada la hipérbola (x - 1)^2 - 16 * (y + 2)^2 = 16, encuentre (1) centro (2) foco (3) vértice (4) Eje real longitud (5) Longitud del eje imaginario (6) Excentricidad (7) Asíntota

Para hipérbola x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 (donde a, b simbolizan respectivamente la longitud del semieje real y del semieje imaginario, fíjate que es el semieje)

El centro está ubicado en el origen, es decir (0, 0).

El foco está en (c, 0) y (-c, 0) (donde c^2 = a^2 + b^2).

Los vértices están situados en (a, 0) y (-a, 0).

La longitud del eje real es 2a, y la longitud del eje imaginario es 2b

La excentricidad es e = c/a

La asíntota es y = b / a * x and y = -b / a * x

(Examen: Conocimientos básicos de hipérbola)

Examina la función x^2 - 16 * y^2 = 16, es decir, x^2 / 16 - y^2 = 1

El centro está en (0, 0)

El foco está en (SquareRoot(17), 0) y (-SquareRoot(17), 0)

Los vértices están en (4, 0) y (-4, 0)

La longitud real del eje es 8 y el la longitud del eje imaginario es 2

La excentricidad es SquareRoot (17) / 4

Las asíntotas son y = -x / 4 e y = x / 4

Al considerar la función (x - 1)^2 - 16 * (y + 2)^2 = 16, que es la función x^2 - 16 * y^2 = 16. Traduce 1 unidad a la derecha y luego 2 unidades hacia abajo (examinar: traducción de la función). Dado que la traducción de la función no cambia la posición, cambia la forma de la imagen, por lo que el eje real es largo, el eje imaginario es largo y la excentricidad no cambia.

El centro está en (1, -2)

El foco está en (SquareRoot(17) + 1, -2) y (-SquareRoot(17) + 1, -2)

Los vértices en (5, -2) y (-3, -2)

La longitud del eje real es 8. La longitud del eje imaginario es 2

La excentricidad es SquareRoot(17) / 4

Las asíntotas son y + 2 = -(x - 1) / 4 e y + 2 = (x - 1) / 4

(2) Investigación: Transformación entre la fórmula general de un círculo y la curva cuadrática

Forma general (x - A)^2 + (y - B)^2 = R^2 (donde ( A, B) es el centro del círculo y R es el radio)

Forma de curva cuadrática x^2 + y^2 + ax + by + c = 0,

La la primera se expande a la segunda, y la última fórmula se convierte en la primera

Por lo tanto (x - 1)^2 + (y - 1/2)^2 = R^2 < -> x^2 - 2x + 1 + y^2 - y + 1/4 = R^2

Ordena x^2 + y^2 - 2x - y + 5/4 - R^ 2 = 0

Y tenemos x^2 + y^2 + ax + por -5 = 0

Entonces, la parte constante debe corresponder a igual 5/4 - R^2 = -5, R = 5/2

(3) Para una parábola con foco (1, 2) y directriz y = 6, ¿cuál es la expresión de su función?

Inspección: Conocimientos básicos de parábolas y traducción de funciones

Para la parábola x^2 = 2px, su foco es (0, p/2) y la directriz es y = -p/2 , la distancia focal es p/2

Entonces, para la parábola x^2 = -2px, su foco es (0, -p/2) y la directriz es y = p/2, y la distancia focal sigue siendo p/2

El punto medio de la línea perpendicular desde el foco de la parábola a su directriz es el centro de la parábola

El foco es (1, 2) y la directriz es y = 6, lo que significa que la función en el centro está basada en el origen, traducida a (1, 4), la distancia focal es 2, entonces p = 4 , entonces la expresión de la función (x - 1)^2 = -2*4(y - 2)

(4 ) Examina la regla del coseno y la fórmula del área del triángulo S = 1/2 * a * b * sinC

Para el triángulo ABC: a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cosA

Entonces b^2 = a^2 + c^ 2 - 2 * a * c * cosB = 1 = 3 + c^2

- 2 * SquareRoot(3) * c * SquareRoot(3)/2 = 3 + c^2 - 3c implica que c = 1 o 2

Entonces S = 1/2 * a * c * sinB = Raíz Cuadrada(3)/4 o Raíz Cuadrada(3)/2