La Red de Conocimientos Pedagógicos - Aprendizaje de redacción de artículos/tesis - Preguntas súper difíciles de la Olimpiada de Álgebra en el tercer grado de la escuela secundaria

Preguntas súper difíciles de la Olimpiada de Álgebra en el tercer grado de la escuela secundaria

Sean las dos raíces de la ecuación a y b, y a un número entero positivo.

Según el teorema de Vietta, existen: a+b = 8p-10q, ab = 5pq.

∵A es un entero positivo, P y Q son números primos,

∴A solo puede elegir entre los siguientes números: 1, 5, p, q, 5p, 5q, pq, 5pq.

1. Cuando a = 1, b = 5pq, ∴ 1+5pq = 8p-10q, ∴ 5q (p+2)-8 (p+2) =-17,

∴(p+2)(8-5q)=17.

∫p+2 > 2, ∴ p+2 = 17, entonces: p = 15 = 3× 5, lo cual es inconsistente con que p sea un número primo. ∴Esta situación debería abandonarse.

2. Cuando a = 5, b = pq, ∴ 5+pq = 8p-10q, ∴ p (q-8)+10 (q-8) =-85,

∴(8-q)(p+10)=85=5×17.

∫p+10 > 10, ∴ p+10 = 17, o p+10 = 85.

① De p+10 = 17, p = 7, en este momento, 8-q = 5, q = 3.

② De P+10 = 85, obtenemos: P = 75 = 5 × 15, lo cual es inconsistente con el hecho de que P sea un número primo. ∴Esta situación debe excluirse.

3. Cuando a = p, b = 5q, ∴ p+5q = 8p-10q, ∴ 15q = 7p.

El número primo de ∵q, ∴ q = 7, entonces p = 15 = 3×5. Al contradecir que q es un número primo, este caso debería abandonarse.

4. Cuando a = q, b = 5p, ∴ q+5p = 8p-10q, ∴ 11q = 3p.

∴p=11, q=3.

5. Cuando a = 5p, b = q, ∴ 5p+q = 8p-10q, ∴ 11q = 3p.

∴p=11, q=3.

6. Cuando a = 5q, b = p, ∴ 5q+p = 8p-10q, ∴ 15q = 7p.

El número primo de ∵q, ∴ q = 7, entonces p = 15 = 3×5. Al contradecir que q es un número primo, este caso debería abandonarse.

7. Cuando a = pq, b = 5, ∴ pq+5 = 8p-10q, ∴ p (q-8)+10 (q-8) =-85,

∴(8-q)(p+10)=85=5×17.

∫p+10 > 10, ∴ p+10 = 17, o p+10 = 85.

① De p+10 = 17, p = 7, en este momento, 8-q = 5, q = 3.

② De P+10 = 85, obtenemos: P = 75 = 5 × 15, lo cual es inconsistente con el hecho de que P sea un número primo. ∴Esta situación debe excluirse.

8. Cuando a = 5pq, b = 1, ∴ 5pq+1 = 8p-10q, ∴ 5q (p+2)-8 (p+2) =-17,

∴(p+2)(8-5q)=17.

∫p+2 > 2, ∴ p+2 = 17, entonces: p = 15 = 3× 5, lo que entra en conflicto con el hecho de que p es un número primo. ∴Esta situación debería abandonarse.

En resumen, se puede concluir que existen dos grupos de pares de números reales (p, q) que cumplen las condiciones, a saber (7, 3) y (11, 3).