Preguntas súper difíciles de la Olimpiada de Álgebra en el tercer grado de la escuela secundaria
Según el teorema de Vietta, existen: a+b = 8p-10q, ab = 5pq.
∵A es un entero positivo, P y Q son números primos,
∴A solo puede elegir entre los siguientes números: 1, 5, p, q, 5p, 5q, pq, 5pq.
1. Cuando a = 1, b = 5pq, ∴ 1+5pq = 8p-10q, ∴ 5q (p+2)-8 (p+2) =-17,
∴(p+2)(8-5q)=17.
∫p+2 > 2, ∴ p+2 = 17, entonces: p = 15 = 3× 5, lo cual es inconsistente con que p sea un número primo. ∴Esta situación debería abandonarse.
2. Cuando a = 5, b = pq, ∴ 5+pq = 8p-10q, ∴ p (q-8)+10 (q-8) =-85,
∴(8-q)(p+10)=85=5×17.
∫p+10 > 10, ∴ p+10 = 17, o p+10 = 85.
① De p+10 = 17, p = 7, en este momento, 8-q = 5, q = 3.
② De P+10 = 85, obtenemos: P = 75 = 5 × 15, lo cual es inconsistente con el hecho de que P sea un número primo. ∴Esta situación debe excluirse.
3. Cuando a = p, b = 5q, ∴ p+5q = 8p-10q, ∴ 15q = 7p.
El número primo de ∵q, ∴ q = 7, entonces p = 15 = 3×5. Al contradecir que q es un número primo, este caso debería abandonarse.
4. Cuando a = q, b = 5p, ∴ q+5p = 8p-10q, ∴ 11q = 3p.
∴p=11, q=3.
5. Cuando a = 5p, b = q, ∴ 5p+q = 8p-10q, ∴ 11q = 3p.
∴p=11, q=3.
6. Cuando a = 5q, b = p, ∴ 5q+p = 8p-10q, ∴ 15q = 7p.
El número primo de ∵q, ∴ q = 7, entonces p = 15 = 3×5. Al contradecir que q es un número primo, este caso debería abandonarse.
7. Cuando a = pq, b = 5, ∴ pq+5 = 8p-10q, ∴ p (q-8)+10 (q-8) =-85,
∴(8-q)(p+10)=85=5×17.
∫p+10 > 10, ∴ p+10 = 17, o p+10 = 85.
① De p+10 = 17, p = 7, en este momento, 8-q = 5, q = 3.
② De P+10 = 85, obtenemos: P = 75 = 5 × 15, lo cual es inconsistente con el hecho de que P sea un número primo. ∴Esta situación debe excluirse.
8. Cuando a = 5pq, b = 1, ∴ 5pq+1 = 8p-10q, ∴ 5q (p+2)-8 (p+2) =-17,
∴(p+2)(8-5q)=17.
∫p+2 > 2, ∴ p+2 = 17, entonces: p = 15 = 3× 5, lo que entra en conflicto con el hecho de que p es un número primo. ∴Esta situación debería abandonarse.
En resumen, se puede concluir que existen dos grupos de pares de números reales (p, q) que cumplen las condiciones, a saber (7, 3) y (11, 3).