El problema de los círculos y las bolas
El último desarrollo de la ciencia y la tecnología extranjeras; "Tecnología extranjera" Número 7, 2000, páginas 30-32
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La prueba matemática y su belleza
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Las demostraciones matemáticas en el pasado solían ser simples y hermosas, pero ahora se parecen más a una voluminosa "Guerra y paz" o incluso a una aburrida guía telefónica. Uno no puede evitar preguntarse: ¿Se han convertido las hermosas demostraciones matemáticas en un arte perdido? Euclides es admirado por el mundo por sus argumentos matemáticos simples, hermosos y sabios. La gente se maravilla ante la elegancia de las matemáticas y la belleza del mundo matemático, y también se alegra de comprender la exactitud de sus demostraciones. Paul Ordos, un matemático excéntrico pero brillante, concluyó que Dios tiene un libro con las mejores pruebas matemáticas. En su opinión, el trabajo de un matemático es mirar por encima del hombro de Dios y transmitir su sabiduría a la humanidad. Pero ahora parece que este método simple y elegante es sólo una de varias pruebas matemáticas. Si observamos las famosas demostraciones matemáticas de los últimos años, no son las demostraciones breves y concisas con las que estaban familiarizados los griegos, sino que son extremadamente grandes, con cientos o incluso miles de páginas. ¿Qué pasó con la belleza de la creación de Dios? ¿Son realmente necesarias estas enormes pruebas? ¿Es porque los matemáticos son demasiado estúpidos para encontrar las pruebas breves e inteligentes escritas en el Libro de Dios? Una respuesta es que un enunciado matemático breve puede no tener una demostración breve. El matemático de origen austriaco Kurt Godel demostró en principio que algunos enunciados matemáticos breves requerían una demostración larga, pero no tenía idea de qué enunciados matemáticos lo requerían y cuáles también. En los últimos años, algunas demostraciones matemáticas importantes han sido largas y complejas, como el último teorema de Fermat, que fue demostrado por Andrew Wiles, un matemático de la Universidad de Princeton en Estados Unidos en 1996. Para resolver este problema, Wiles utilizó muchos métodos matemáticos para desglosar el problema. Resultó no ser nada aburrido ni engorroso, sino rico y hermoso. No es tan breve como la prueba de El Libro de los Dioses, pero sí como Guerra y Paz. Vale la pena mencionar el proceso de formación del último teorema de Fermat. En 1637, Pierre de Fermat, un abogado francés con extraordinario talento matemático, elaboró un importante teorema en su obra personal "Aritmética diofántica". Este teorema es consistente con el teorema de Pitágoras a2 b2=c2( (donde A, B y C son). enteros), hay muchos valores diferentes de A, B y C que satisfacen esta ecuación. Fermat intentó hacer verdaderas las ecuaciones cúbicas o cuárticas, pero no pudo encontrar un ejemplo. En otras palabras, no pudo encontrar una ecuación que hiciera bn = cn, donde a, b, c son números enteros (a, b, c ≠ 0) y n es un número entero mayor que 2. ¿Significa esto que esta ecuación no puede existir? Fermat escribió en el margen de su libro que había pensado en una forma maravillosa de demostrar que el teorema de Pitágoras sólo se aplicaba cuadráticamente, pero también señaló que "el espacio era demasiado pequeño para escribir la demostración". Aunque un método de prueba de este tipo no puede escribirse en el borde de un libro, ciertamente es simple y hermoso y puede tener un lugar en el "Libro de Dios". Sin embargo, durante tres siglos y medio, matemático tras matemático intentaron y fracasaron. Sin embargo, a finales de la década de 1980, el matemático británico Andrew Wiles de la Universidad de Princeton comenzó a resolver este problema. Trabajó solo en su loft y solo se lo contó a unos pocos colegas que le juraron guardar el secreto. Wiles utilizó el mismo método que sus predecesores, asumiendo que A, B, C y N satisfacen la existencia de ecuaciones, y luego esperaba inducir contradicciones mediante el álgebra. Su punto de partida provino de las ideas de Gerhard Frey en la Universidad de Essen en Alemania. Frey creía que las tres raíces A, B y C de la ecuación "imposible" de Fermat podrían formar una ecuación cúbica que representara una curva elíptica. Este es un enfoque inteligente, porque los matemáticos han estado estudiando curvas elípticas durante más de un siglo y han dominado muchos métodos para tratar con curvas elípticas. En aquella época, los matemáticos se habían dado cuenta de que la curva elíptica generada por las raíces de la ecuación de Fermat tenía características peculiares, lo que contradecía otra conjetura que determinaba las propiedades de las curvas elípticas, la de Taniyama-Shimara-Weil.
Las raíces de la ecuación de Fermat negarían la conjetura de Taniyama-Shimahara-Weil, lo que significa que si se demuestra que la conjetura es correcta, las raíces de la ecuación de Fermat no pueden existir. Entonces Wiles pasó 7 años usando la teoría de números para resolver este problema. Aunque trabajó solo, no creó el campo solo y mantuvo un estrecho contacto con los últimos avances en el campo de las curvas elípticas. Quizás no habría tenido éxito sin una serie de nuevos métodos creados por numerosos expertos en teoría de números. Aun así, su propia contribución fue enorme y llevó este campo a una nueva era. La prueba de Wiles ya ha sido publicada y tiene más de 100 páginas. Por supuesto, es demasiado largo para caber en los márgenes del libro. Los métodos que Wiles inventó para demostrar el último teorema de Fermat eran extremadamente ricos y hermosos. Sus ideas marcaron el comienzo de una nueva era de la teoría de números. Por supuesto, su prueba es muy larga y el contenido específico solo puede ser entendido por expertos en este campo. También existe un tercer método de prueba matemática, que sólo apareció en los últimos 30 años. Esta es una prueba asistida por computadora. Es como un restaurante de comida rápida que sirve el mismo sándwich aburrido y repetitivo. Hace el trabajo, pero los resultados son todo menos bonitos. El trabajo de la prueba asistida por computadora es convertir formas generalmente inteligentes de resolver problemas difíciles en enormes cálculos procedimentales y luego entregarlos a la computadora. Si la computadora dice "sí", la prueba está completa. El año pasado surgió un ejemplo del uso de este método de prueba. En 1611, mientras estudiaba métodos para apilar bolas, Johannes Kepler llegó a la conclusión de que la forma más eficaz de colocar la mayor cantidad de bolas en un espacio determinado era el método de la pila naranja del verdulero. Primero apile una capa en forma de panal, luego apile la misma capa encima, pero en la depresión de la primera capa. Este patrón de apilamiento también aparece en muchos cristales, que los físicos llaman red cúbica centrada en las caras. La conclusión de Kepler es "obvia", pero las personas que piensan de forma natural carecen de buen juicio. Por ejemplo, ni siquiera se ha demostrado que el método de apilamiento más eficaz incluya el almacenamiento de agua. Aunque el verdulero dispone los productos en capas, no es necesario. Incluso la versión bidimensional de este problema, según la cual la forma más eficaz de trazar círculos del mismo tamaño sobre una superficie plana es mediante la colocación en forma de panal, no fue demostrada hasta 1947 por el matemático húngaro László Fejes Toth. Hace unos 10 años, Yixing Wu, de la Universidad de California, anunció que había demostrado una versión tridimensional de este problema. La prueba tenía 200 páginas, pero su razonamiento carecía de coherencia y otros matemáticos la rechazaron gradualmente. El año pasado, Thomas Hales, de la Universidad de Michigan, publicó una prueba asistida por computadora que ocupaba cientos de páginas e incluía cálculos extensos. La prueba se publicó por primera vez en su sitio web y ahora está siendo revisada por pares con vistas a su publicación en una revista de matemáticas. El método de Hales consistía en registrar todas las formas posibles en que se podían empaquetar los gránulos y luego demostrar que si el empaque no se ajustaba a la estructura reticular cúbica centrada en las caras, se podía comprimir con ligeros ajustes. La conclusión es que el único método de empaquetamiento incompresible, que es la forma más eficiente de llenar el espacio, es el tipo de conjeturas. Así es como Toth abordó también los problemas bidimensionales. Enumeró alrededor de 50 posibles ubicaciones y Hales tenía miles con quienes trabajar. La computadora requiere 3G de memoria para demostrar estos diferentes métodos. Una de las primeras demostraciones matemáticas que utilizaron este método informático fue el principio de los cuatro colores. Hace unos 150 años, el matemático británico Francis Guthric preguntó si todos los mapas que contenían países de cualquier forma podían colorearse con cuatro colores, de modo que los países adyacentes tuvieran colores diferentes. Este principio parece simple, pero es extremadamente difícil de demostrar. En 1976, los matemáticos estadounidenses Kenneth Appel y Wolfgang Haken descubrieron el método de demostración. A través de experimentos repetidos y cálculos manuales, primero propusieron cerca de 2000 combinaciones de países y luego usaron computadoras para demostrar que estas combinaciones son "inevitables", es decir, la disposición de los países en cualquier mapa posible es al menos una de estas combinaciones. El siguiente paso es demostrar que cualquiera de estas combinaciones es "reducible", es decir, partes de cada combinación se pueden reducir y eliminar en un mapa simple. Estrictamente hablando, la restauración debe garantizar que si el mapa simple restaurado puede utilizar cuatro colores, el mapa original también puede hacerlo.
"La hipótesis de Riemann del análisis complejo de los números primos siempre ha sido el problema sin resolver más importante en matemáticas. Hardy creía que Dios no dejaría que el barco se hundiera, porque si el barco se hundía, él tendría la reputación de ser capaz de encontrar un Una manera de demostrarlo después de su muerte. Quizás Fermat también tuvo la misma idea, tal vez solo quiera ser famoso. Si es así, su objetivo se ha logrado.
Creer en las matemáticas, o creer en las computadoras<. /p>
Autor: Rui | Mayo 2004. -14
Si tienes un montón de naranjas delante, ¿cómo ponerlas de la forma que ahorre más espacio?
No creas que esto es sólo uno de los problemas diarios que aquejan a los dueños de fruterías, aunque cualquiera puede hacerlo, por experiencia o intuición, obviamente es más razonable y ahorra espacio colocar las naranjas superiores alternativamente. las ranuras adyacentes de las naranjas inferiores que apilarlas directamente. Sin embargo, ¿quién puede demostrar matemáticamente que realmente no existe una manera más razonable? De hecho, desde hace más de 400 años, el problema de "Kepler". "Conjetura" propuesta por primera vez por Sir Walter Raleigh ha dejado perplejos a muchos matemáticos. Los Annals of Mathematics publicaron un artículo de prueba escrito por Thomas Hiles, profesor de matemáticas de la Universidad de Pittsburgh, en 1998. Esta autorizada comunidad matemática admitió que un problema difícil tiene una forma habitual de solución final, pero esta vez parece haber causado mayor controversia. El centro del debate es: ¿se puede confiar en los resultados de los cálculos de una computadora?
La historia de la conjetura de Kepler se remonta a un día. En 1590, mientras se preparaba para su flota, mientras suministraba suministros, Sir Walter Raleigh pensó de repente: ¿Podemos calcular el número exacto de balas de cañón basándose en la altura de una pila de balas de cañón cuidadosamente dispuestas que nos dio su asistente, el matemático Thomas Harriot? Casi sin esfuerzo. Sin embargo, al pensar más profundamente en el problema, Harriet descubrió que el misterio no es tan simple. ¿Es la forma más económica de organizar las esferas para que ocupen el menor espacio posible? y desarrolló su propia teoría atómica basada en ellos.
Unos años más tarde, en una carta al famoso astrónomo Johannes Kepler, Harriet mencionó esta cuestión. Después de una serie de experimentos, Kepler planteó su propia conjetura sobre los átomos. respuesta correcta a la pregunta del folleto "Regalo de Año Nuevo: sobre los seis resultados de los copos de nieve" publicado en 161: Cuando existen esferas del mismo tamaño en forma de "cristales centrados en las caras", el centro de la esfera se encuentra en el centro de cada lado de un cubo, y la primera capa se coloca en un hexágono, aunque Kepler no demostró su conjetura, sí lo hizo. La influencia hizo que este problema se llamara conjetura de Kepler.
En honor a la conjetura de Kepler. Se propuso, muchos matemáticos intentaron probarla, pero no fue hasta más de 200 años después que otro gran matemático, Carl Riderich Gauss, demostró solo parcialmente la conjetura de Kepler en 1831, es decir, la conjetura de Kepler es correcta para formas regulares, pero. Luego, la prueba de la conjetura de Kepler se detuvo en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. El matemático David Hilbert la incluyó como uno de los famosos "23 problemas de matemáticas sin resolver".
En 1953, el matemático húngaro Laszlo Fejes Toth señaló que la demostración de la conjetura de Kepler se puede reducir a un número limitado de cálculos, independientemente de si la forma es regular o irregular. Esto significa que, en teoría, son posibles pruebas exhaustivas. Y una computadora lo suficientemente rápida podría convertir esta idea en realidad.
A partir de 1992, Hiles, que en ese momento estaba en la Universidad de Michigan, comenzó a trabajar con sus estudiantes para usar computadoras para ayudar a probar la conjetura de Kepler. Después de 6 años de funcionamiento, Hiles anunció su certificado de finalización en agosto de 1998. Todas sus pruebas incluyen 250 páginas de notas, 3 GB de programas informáticos, datos y cálculos.
Aunque la prueba de Hiles era tan inusual, Annals of Mathematics aceptó publicar el artículo. Para ello, los "Anales de Matemáticas" también contrataron especialmente a Gabor Fejestos de la Academia de Ciencias de Hungría, hijo de Laszlo Fejestos, como jefe del comité de revisión.
La conjetura de Kepler no es el primer problema matemático famoso demostrado por computadoras. En 1976, dos matemáticos de la Universidad de Illinois utilizaron computadoras para demostrar el famoso teorema de los cuatro colores, es decir, cualquier mapa solo necesita usar cuatro colores para garantizar que los colores de dos áreas adyacentes no sean iguales. Después de que se publicó esta prueba, los matemáticos continuaron encontrando algunos errores en ella. Aunque los investigadores pudieron corregir rápidamente un error cada vez que lo descubrían, esto dejó una muy mala impresión en muchos matemáticos.
Para evitar repetir el error de demostrar el teorema de los cuatro colores, el equipo de "Annals of Mathematics" decidió realizar una prueba exhaustiva y cuidadosa de la prueba de la conjetura de Kepler. Sin embargo, después de casi seis años de verificación de datos masivos, el jurado anunció el año pasado a regañadientes que abandonaría su plan de verificar plenamente los resultados de la conjetura de Kepler. Las piezas que verificaron eran absolutamente correctas, pero era casi imposible comprobar todos los datos.
Desesperado, "Mathematical Yearbook" encontró una solución. Planean comenzar su artículo publicado con un descargo de responsabilidad: la mayor parte, pero no todo, de este certificado ha sido verificado. Sin embargo, esta idea ha sido criticada por muchos matemáticos. Finalmente, después de consultar a otro matemático, Annals of Mathematics tomó su decisión salomónica. Divida todos los artículos por la mitad, publique pruebas que hayan sido verificadas utilizando métodos tradicionales y descarte los datos calculados por computadora.
De hecho, una serie de debates en torno a las conjeturas de Kepler giraron en gran medida sobre si se debería permitir a los estudiantes usar versiones de calculadoras de alta gama en las clases de matemáticas, pero ambos lados del debate se convirtieron en matemáticos profesionales, la elección de El juicio de valor es más difícil. El quid de la cuestión es que si se acepta la prueba de Hiles, significa que se supone que la computadora es completamente correcta al realizar los cálculos, sin errores menores de programación. Y para los humanos es difícil juzgar si esto es realmente así en función de sus propias capacidades. Como dijo el profesor de matemáticas de la Universidad de Princeton, John Conway, en una entrevista con el New York Times: "No me gustan (las pruebas por computadora) porque sientes que no sabes lo que está pasando".
Esto Es sin duda un resultado muy inaceptable para la comunidad matemática que siempre se ha adherido al principio de que la verdad puede juzgarse a través de la lógica y las operaciones y demostrarse de manera clara y concisa como "buenas matemáticas". Es más, el funcionamiento del ordenador no es impecable. Intel ha estado utilizando herramientas de calibración para verificar los algoritmos de sus chips de computadora, con la esperanza de evitar que se repitan los errores de manipulación de datos que ocurrieron en sus chips Pentium de 1994.
Sin embargo, algunos matemáticos optimistas señalan que, dado que las mejores computadoras pueden vencer al campeón mundial de ajedrez en partidas, las computadoras del futuro también deberían poder resolver problemas matemáticos que dejaron perplejos a los más grandes matemáticos. Pero parece que ésta no es la clave del problema. Kepler dijo que las matemáticas son la única buena metafísica. Hay algo irónico en utilizar una computadora para responder a su conjetura de una manera tan metafísica.