¿Qué es el teorema de Vietta en matemáticas de secundaria?
El matemático francés Veda descubrió por primera vez esta relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones algebraicas, por lo que la gente llama a esta relación teorema de Vietta. La historia es interesante. Este teorema fue deducido por David en el siglo XVI. La demostración de este teorema se basa en el teorema básico del álgebra, pero Gauss no hizo la primera demostración sustancial hasta 1799.
Se puede deducir del teorema básico del álgebra que cualquier ecuación de grado n de una variable
debe tener una raíz en un conjunto complejo. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación se puede descomponer en el producto de factores lineales en el rango complejo:
dónde están las raíces de la ecuación. El teorema de Vietta se obtiene comparando los coeficientes en ambos extremos.
Teorema de Vietta
AX2+BX+C=0
X1 y X2 son los dos seguidores de esta ecuación.
Entonces x1+x2 =-b/a.
X1*X2=C/A
Habilidades de aplicación del teorema de Vietta
Al resolver el problema de raíz entera de una ecuación cuadrática, si la dimensión es Combinando la de Yeta teorema con la fórmula de descomposición αβ(α+β)+1 =(α1)(β1), las soluciones son a menudo novedosas, ingeniosas y únicas. Los ejemplos son los siguientes.
Ejemplo 1 Dado p+q = 198, encuentra las raíces enteras de la ecuación x2+px+q = 0.
(Concurso por invitación de matemáticas de la Copa Zu Chongzhi '94)
Solución: Sean las dos raíces enteras de la ecuación x1 y x2, y sean X1 ≤ X2. Del teorema de Vietta, podemos obtener.
x1+x2=-p, x1x2=q.
Entonces x 1x 2-(x 1+x2)= p+q = 198,
Es decir, x 1x 2-x 1-x2+1 = 199.
∴(x1-1)(x2-1)=199.
Tenga en cuenta que X1-1 y X2-1 son números enteros.
La solución es x1 = 2, x2 = 200x1=-198, x2=0.
Ejemplo 2 Se sabe que las dos raíces de la ecuación x2-(12-m) x+m-1 = 0 son números enteros positivos. Encuentra el valor de m.
Solución: Establezca la ecuación Las dos raíces enteras positivas son x1 y x2, suponiendo que X1 ≤ X2. Se obtiene del teorema de Vietta.
x1+x2=12-m, x1x2=m-1.
Entonces x 1x 2+x 1+x2 = 11,
Es decir (x 1+1)(x2+1)= 12.
∵x1 y x2 son enteros positivos,
La solución es X1 = 1, X2 = 5;
Entonces hay m = 6 o 7.
Ejemplo 3: Encuentra el número k tal que las raíces de la ecuación kX2+(k+1) x+(k-1) = 0 sean números enteros.
Solución: Si k = 0, x = 1, es decir, k = 0 cumple con el requisito.
Si k≠0, sean x1 y x2 las dos raíces enteras de la ecuación cuadrática, que se obtienen mediante el teorema de Vietta.
∴x1x2-x1-x2=2,
(x 1-1)(x2-1)= 3.
Debido a que X1-1 y Hay dos puntos (α, 0) y (β, 0), α > 1 > β. Demuestre: P+q > 1.
(Concurso de Matemáticas de la Escuela Secundaria de Sichuan en 1997)
Prueba: Del significado de la pregunta, podemos ver que las dos raíces de la ecuación -x2+px+q = 0 son α y β. Se obtiene el teorema de Yetta.
α+β=p, αβ=-q.
Entonces p+q = α+β-α β,
=-(αβ-α-β+1)+1
=-(α -1)(β-1)+1 > 1 (porque α > 1 > β).