Contenidos de la teoría elemental de números.
1. Se introducen conceptos básicos como números enteros, factores, múltiplos, números primos y números compuestos. Los principales logros de esta teoría incluyen: teorema de descomposición única, teorema de Pei Shu, división transicional de Euclides, teorema fundamental de la aritmética, prueba de números primos infinitos, etc.
2. Teoría de la congruencia. Principalmente de los estudios aritméticos de Gauss. Se definen los conceptos de congruencia, raíces primitivas, exponenciales, restos cuadrados y ecuaciones de congruencia. Principales logros: Ley de Reciprocidad Cuadrática, Teorema de Euler, Último Teorema de Fermat, Teorema de Wilson, Teorema de Sun Tzu (Teorema del Resto Chino), etc.
3. Teoría de fracciones continuas. Introduce los conceptos y algoritmos de fracciones continuas. En particular, se estudian las expansiones en fracciones continuas de raíces cuadradas de números enteros. Principales logros: expansión de fracciones continuas cíclicas, problemas de aproximación óptima, resolución de ecuación de Pell.
4. Ecuación indefinida. Este artículo estudia principalmente las ecuaciones indefinidas correspondientes a las curvas algebraicas, como el teorema de altura del cociente de la ecuación de Pitágoras y la solución de fracción continua de la ecuación de Pell. También incluye la solución de la ecuación de cuarto grado de Fermat y más.
5. Funciones de la teoría de números. Por ejemplo, función de Euler, transformada de Möbius, etc.
6. Función gaussiana. El primer nivel se llama conceptos matemáticos, que es una forma de pensamiento que refleja los atributos esenciales de los objetos. En el proceso de cognición, los seres humanos pasan de la cognición perceptiva a la cognición racional, abstrayendo y generalizando las características esenciales de las cosas percibidas y convirtiéndose en un concepto. La forma lingüística que expresa un concepto es una palabra o frase. Los conceptos científicos, especialmente los conceptos matemáticos, son más rigurosos y deben cumplir al menos tres condiciones: especificidad, precisión y verificabilidad. Por ejemplo, los "números primos gemelos" son un concepto matemático.
El segundo nivel se llama proposiciones matemáticas, que son oraciones que juzgan la relación entre una serie de conceptos matemáticos. Una proposición es verdadera o falsa (esto está garantizado por la ley del tercero excluido en lógica). Las proposiciones verdaderas incluyen teoremas, lemas, inferencias, hechos, etc. Una proposición puede ser una proposición de existencia (expresada como "hay...") o una proposición universal (expresada como "para todo..." El tercer nivel se llama teoría matemática, que combina métodos, fórmulas, axiomas, teoremas y principios en un sistema. Por ejemplo, la "teoría elemental de números" consta de axiomas (como el axioma de igualdad), teoremas (como el último teorema de Fermat), principios (como el principio de correspondencia uno a uno del principio del casillero) y fórmulas. En las pruebas matemáticas, las proposiciones universales no siempre pueden juzgarse mediante enumeración, porque las matemáticas a veces se enfrentan a un número infinito de objetos y nunca pueden enumerar todas las situaciones. La inducción incompleta no es factible en matemáticas, y las matemáticas solo reconocen la lógica deductiva (inducción matemática, inducción transfinita, etc.).