¿Quién es el Maestro Jihe?
El 17 de septiembre de 1826, nació Riemann (1826-1866) en la familia de un sacerdote rural en Bre Slentz, Hannover, y fue el segundo de seis hijos.
Riemann ama las matemáticas desde que era niño. A los 6 años comenzó a aprender aritmética, demostrando su genio matemático. No sólo podía resolver cualquier problema de matemáticas que se le planteara, sino que a menudo hacía preguntas para burlarse de sus hermanos. Cuando tenía 10 años, aprendí aritmética y geometría avanzadas con un profesor profesional. Rápidamente superé al profesor y, a menudo, di mejores respuestas a algunas preguntas.
Riemann asistió a la escuela secundaria en Hannover cuando tenía 14 años. Debido a limitaciones económicas, siempre caminaba entre Hannover y pequeños pueblos rurales. Por supuesto, no tenía dinero para comprar libros de referencia. Afortunadamente, el director de la escuela secundaria descubrió su talento matemático a tiempo. Considerando sus dificultades financieras, el director autorizó a Riemann a tomar prestados libros de matemáticas de su biblioteca privada. Por recomendación del director, Riemann pidió prestado un ejemplar de "Teoría de números" del matemático Legendre, que era una obra maestra de cuatro páginas con 859 páginas. Riemann aprovechó esta oportunidad de estudiar y estudió con entusiasmo por su cuenta. Seis días después, Riemann terminó de estudiar y devolvió el libro. El director le preguntó: "¿Cuánto has leído?" Riemann dijo: "Este es un libro asombroso, lo he dominado". Unos meses más tarde, el director lo puso a prueba sobre el contenido del libro. Riemann respondió a preguntas como el agua y dio respuestas completas. Utilizando la biblioteca del director, Riemann también pasó tiempo estudiando rápidamente por su cuenta las obras del gran matemático Euler, dominando así el cálculo y sus ramas. Riemann no sólo aprendió conocimientos matemáticos de las obras de Euler, sino que también aprendió las técnicas de Euler para estudiar matemáticas.
Carrera universitaria
A la edad de 19 años, Riemann ingresó en la Universidad de Göttingen. Para ayudar económicamente a su familia y encontrar lo antes posible un trabajo remunerado, primero estudió filosofía y teología, pero además de estos dos cursos, también tomó cursos de matemáticas y física. Se interesó por las matemáticas después de escuchar las conferencias de Stern sobre teoría de ecuaciones e integrales definidas, las conferencias de Gauss sobre el método de mínimos cuadrados y las conferencias de Golders Mitter sobre geomagnetismo.
Riemann le contó todo esto a su padre y le pidió permiso para cambiar su especialidad a matemáticas. El padre accedió de todo corazón a su petición. Riemann estaba muy feliz y profundamente agradecido con su padre.
En 1847, para aprender de más maestros, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín y estudió con los grandes matemáticos Jacobi, Dirichlet, Steiner y Eisenstein. Aprendió mecánica avanzada y álgebra de Jacobi, teoría y análisis de números de Dirichlet, geometría moderna de Steiner y teoría de funciones elípticas de Weinstein.
Fue especialmente diligente durante este período y ni siquiera se tomó un descanso durante las vacaciones. Durante las vacaciones de otoño de 1847, Riemann descubrió varias copias de las Actas de la Academia de Ciencias de París, que contenían un nuevo artículo sobre funciones analíticas de variables complejas individuales publicado por el matemático Cauchy. Vio de un vistazo que se trataba de una nueva teoría matemática, por lo que permaneció en casa durante varias semanas, se dedicó a estudiar el artículo de Cauchy, a formular sus nuevos conocimientos sobre este tema y a preparar su tesis doctoral "Variables complejas únicas" cuatro años después. La "Teoría General de Funciones" sienta las bases.
Riemann no sólo estudió cuidadosamente las monografías académicas del maestro, sino que también buscó humildemente el consejo del maestro. Una vez, Dirichlet vino de vacaciones a Göttingen, Riemann aprovechó la oportunidad para preguntarle sobre matemáticas y le entregó su trabajo sin terminar para que lo comentara. Dirichlet quedó fascinado por la humildad, la sinceridad y el genio de Riemann. Habló con Riemann durante dos horas, hizo muchos comentarios sobre los artículos de Riemann y dio muchas indicaciones sobre los temas que Riemann estaba estudiando. Riemann se benefició enormemente. Dijo que sin la guía de Dirichlet, habría tenido que estudiar mucho en la biblioteca durante varios días.
Aunque vivió en la pobreza, estudió con mucha diligencia, lo que le permitió a Riemann lograr resultados fructíferos cuando se graduó en la universidad. A finales de 1851, Riemann presentó su tesis doctoral al gran matemático Gauss para que la revisara. Gauss estaba muy emocionado después de leer el artículo y elogió el artículo de Riemann, lo cual era poco común para Gauss. Gauss comentó: "El artículo presentado por el Sr. Riemann proporciona evidencia convincente de que el autor ha llevado a cabo un estudio completo y profundo del problema discutido en este artículo, demostrando que el autor tiene una mente matemática creativa, activa y auténtica y una creatividad brillante. ."
Buscando el progreso en la pobreza
A principios de 1852, Riemann obtuvo un doctorado con excelente rendimiento académico y permaneció en la Universidad de Göttingen. En la Alemania de mediados del siglo XIX, la ciencia casi no tenía nada que ver con la economía nacional.
Las universidades se establecieron únicamente para formar abogados, médicos, profesores y predicadores, y para proporcionar un lugar para que los hijos de nobles y familias ricas pasaran sus atractivos y respetables años. Sólo los profesores titulares reciben subsidios gubernamentales y pueden impartir cursos estándar formales. Todos estos cursos son materias básicas. Hay muchos estudiantes que toman los cursos y los profesores cobran más tasas de matrícula. Esta fue también la razón por la cual los estándares del curso eran bajos en ese momento, porque si el curso era demasiado difícil, no habría forma de aceptar a muchos estudiantes, lo que afectaría los ingresos del profesor. Después de todo, el propósito de que los niños de familias aristócratas y ricas vayan a la universidad no es estudiar con sinceridad. Los profesores, por otra parte, no reciben subsidios gubernamentales y no tienen la oportunidad de impartir cursos formales básicos. Viven enteramente de las tasas de matrícula de los estudiantes que vienen a asistir a clases. No hay muchos estudiantes en clase, los ingresos son bastante escasos y la vida es muy difícil. Ser profesor es la única forma de convertirse en profesor titular. Sin embargo, no existe una regla clara sobre cuándo un profesor puede ser promovido a profesor. Para cuidar de un académico particularmente valioso y no hay vacantes para profesores titulares, el gobierno puede nombrarlo "profesor visitante", calificándolo para impartir cursos básicos regulares y aumentando sus ingresos, pero dicho nombramiento tiene condiciones adicionales. , estipulado por el gobierno No se pagará ningún estipendio. Por lo tanto, durante su mandato como profesor, Riemann no tenía ninguna fuente independiente de gastos de subsistencia y su vida siguió siendo pobre.
Sin embargo, a pesar de vivir en la pobreza, Riemann todavía dedicó toda su energía a las matemáticas. Sintió que mientras pudiera ganarse la vida y le permitiera estudiar matemáticas, estaría satisfecho. Nunca se dejó desanimar por las pruebas financieras. Por un lado, preparó activamente el discurso inaugural del "conferencista no remunerado" y, por otro, se dedicó seriamente a trabajos de investigación sobre física matemática. Su tesis inaugural fue bastante difícil. Al principio, para determinar el tema del artículo, le presentó tres temas a Gauss y le pidió que eligiera uno de ellos. Entre ellas, la tercera pregunta está relacionada con los fundamentos de la geometría. Riemann no tenía mucho trabajo de preparación de escritorio en ese momento, por lo que realmente esperaba que Gauss no eligiera. Sin embargo, Gauss estudió muy profundamente el tercer tema y pensó en ello durante 60 años. Para ver qué tipo de trabajo creativo haría Riemann en este profundo tema, Gauss designó el tercer tema como título del discurso inaugural de Riemann.
Después, Riemann le contó a su padre este incidente: "Así que volví a caer en una situación desesperada" y "Tuve que crear este tema".
Riemann también sentía un entusiasmo ilimitado por el estudio de la física matemática. En aquella época, una vez le dijo a la gente: "Me fascina el estudio matemático que combina todo con las leyes de la física". "Encontré la explicación de este fenómeno a través del estudio general de la relación entre la electricidad, la luz y el magnetismo. Esto fue muy importante para mí porque era la primera vez que podía aplicar mi trabajo a un fenómeno desconocido. "Ambos estudios eran de muy alto nivel en ese momento, por lo que fue extremadamente difícil. A pesar de ser pobre y desnutrido, Riemann se olvidó de su trabajo y pensó intensamente durante tanto tiempo que a menudo estaba exhausto e incluso enfermaba. Una vez que se recuperó un poco, continuó su investigación. Donde hay voluntad, hay un camino. En junio de 1854, Riemann pronunció su discurso inaugural con su ponencia "Hipótesis sobre la base de la geometría", que fue reconocido y elogiado por los matemáticos participantes. Gauss se sorprendió al escuchar esto. Sintió que este joven manejó muy bien este problema y estaba lleno de elogios. El artículo de Riemann se considera una de las obras maestras de la historia de las matemáticas del siglo XIX.
Del 65438 al 0855, la Universidad de Göttingen comenzó a pagarle a Riemann un salario, pero era bastante bajo. Eso sólo equivale a 200 dólares al año. Este año Liman tenía 29 años y su familia sufrió una gran desgracia. Su padre y una hermana murieron uno tras otro, y las tres hermanas que alguna vez dependieron de su padre perdieron su fuente de sustento. Entonces Riemann Sum y sus hermanos asumieron la carga de cuidar la vida de las tres hermanas. Riemann siempre estuvo preocupado por la vida de su familia. En 1857, el salario anual de Riemann se incrementó al equivalente de 300 dólares. Debido a sus bajos ingresos y a la pesada carga de cuidar de sus tres hermanas, Riemann ni siquiera se atrevió a considerar su propio matrimonio. Sin embargo, este año, lamentablemente, volvió a caer del cielo y el hermano de Riemann volvió a morir. Esto fue como añadir insulto a la herida para Riemann, ya que la carga de cuidar de las tres hermanas recaía únicamente sobre sus hombros. Durante los cinco años comprendidos entre 1855 y 1859, Riemann estuvo siempre atrapado por las dificultades económicas y la pobreza. A veces su familia incluso se encontraba en una situación en la que era necesario calcular las raciones. Fue en estas circunstancias que, a pesar de la pobreza de la vida material, Riemann todavía se dedicó a la investigación matemática, trabajó duro en el accidentado camino científico y logró logros asombrosos. Muchos de sus importantes logros en matemáticas se completaron durante este período. Sus estudios de integrales abelianas y funciones abelianas fueron pioneros en la geometría algebraica moderna.
Fue pionero en el uso de funciones analíticas complejas para estudiar la teoría de números, creando la teoría analítica de números en el sentido moderno. Su investigación sobre series hipergeométricas promovió el desarrollo de la física matemática y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con la publicación de los resultados de su investigación, la reputación académica de Riemann en el campo de las matemáticas aumentó rápidamente. Fue elogiado por muchos de los principales matemáticos del mundo y recibió el honor más alto que normalmente puede recibir un científico.
La muerte del maestro
Gauss murió en 1859 cuando Riemann tenía 33 años. Fue nombrado profesor titular en la Universidad de Göttingen, convirtiéndose en el segundo sucesor de Gauss después de Dirichlet. En este momento, la vida de Riemann comenzó a mejorar y comenzó a considerar cuestiones matrimoniales personales. A la edad de 36 años, se casó con la hermana de su amigo. Un año después, nació su hija en Pisa.
Sin embargo, la larga vida de pobreza, el exceso de trabajo y la intensa investigación debilitaron y agotaron a Riemann. En 1862, Riemann sufrió pleuresía, poco después una enfermedad pulmonar y un año después ictericia. A pesar de su enfermedad, Riemann persistió en su investigación matemática mientras aún tuvo fuerzas. Aunque Riemann buscó activamente tratamiento médico durante este período, quedó ciego debido a una enfermedad y finalmente no tuvo ningún efecto. El 20 de julio de 1866, el corazón puro y noble de Riemann dejó de latir. Murió prematuramente, y también abandonó prematuramente las matemáticas, a los 40 años.
Riemann es uno de los matemáticos más originales de la historia de las matemáticas. Ha realizado numerosos trabajos de investigación básica y creativa en muchos campos de las matemáticas: fue pionero en la teoría de funciones variables complejas desde la dirección geométrica; es el fundador de la teoría analítica de números en el sentido moderno y estableció personalmente la geometría de Riemann; el fundador de la topología combinatoria. Hizo importantes contribuciones al tratamiento riguroso del cálculo; también logró resultados fructíferos en física matemática, ecuaciones diferenciales y otros campos. En 1859, Riemann fue elegido académico de la Academia de Comunicación de Berlín. En 1866, fue elegido académico de la Academia de Comunicación de París y miembro de la Royal Society en el extranjero.
¡La prematura muerte de Riemann es una lástima para la comunidad matemática alemana e incluso para el mundo entero! Pero lo que dejó a la comunidad matemática, en sus pocos artículos publicados, fueron demasiados conceptos ricos que no fueron estudiados en su totalidad por los matemáticos posteriores.
El 17 de septiembre de 1826, nació Riemann en el pueblo de Bresselenz en Hannover, al norte de Alemania. Su padre era un sacerdote rural pobre. Comenzó la escuela a los seis años, inició sus estudios preparatorios universitarios a los 14 y a los 19 ingresó en la Universidad de Göttingen. Según los deseos de su padre, estudió filosofía y teología para poder ser sacerdote en la futuro.
Debido a que amaba las matemáticas desde niño, Riemann tomó algunas clases de matemáticas mientras estudiaba filosofía y teología. En aquella época, la Universidad de Göttingen era uno de los centros matemáticos del mundo, y algunos matemáticos famosos como Gauss, Weber y Steyer habían enseñado allí. Riemann se contagió del ambiente de enseñanza e investigación de las matemáticas aquí y decidió abandonar la teología y especializarse en matemáticas.
Del 65438 al 0847, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín para estudiar y se convirtió en alumno de Jacobi, Dirichlet, Steiner y Eisenstein. En 1849, regresó a la Universidad Golding para estudiar un doctorado y se convirtió en alumno de Gauss en sus últimos años.
En 1851, Riemann se doctoró en matemáticas; en 1854, fue contratado como profesor a tiempo parcial en la Universidad de Göttingen. Ascendido a profesor asociado en 1857; en 1859, Dirichlet fue contratado como profesor en lugar de su muerte.
Debido a años de pobreza y fatiga, Riemann comenzó a sufrir pleuresía y tuberculosis menos de un mes después de su matrimonio en 1862, y pasó la mayor parte de los siguientes cuatro años en Italia recibiendo tratamiento y recuperación. Murió en Italia el 20 de julio de 1866 a la edad de 39 años.
Riemann es uno de los matemáticos más originales de la historia de las matemáticas mundiales. Las obras de Riemann no son muchas, pero son sumamente profundas y llenas de creación conceptual e imaginación. Durante su corta vida, Riemann realizó un gran trabajo fundamental y creativo en muchos campos de las matemáticas e hizo grandes contribuciones a las matemáticas mundiales.
El fundador de la teoría de funciones de variables complejas
La creación más singular de las matemáticas en el siglo XIX fue la creación de la teoría de funciones de variables complejas, que fue el estudio de números complejos y la teoría de funciones de variables complejas en el siglo XVIII. Antes de 1850, Cauchy, Jacobi, Gauss, Abel, Weierstrass, etc. habían estudiado sistemáticamente la teoría de funciones analíticas univaluadas, pero para las funciones multivaluadas, sólo Cauchy y Pisser llegaron a alguna conclusión aislada.
En 1851, bajo la dirección de Gauss, Riemann completó su tesis doctoral titulada "La base teórica general de las funciones complejas simples" y posteriormente publicó cuatro importantes artículos en el "Journal of Mathematics". Las tesis doctorales se elaboran más a fondo.
Por un lado, resumió los logros anteriores sobre funciones analíticas de un solo valor, los procesó con nuevas herramientas y estableció la base teórica de las funciones analíticas de múltiples valores.
Cauchy, Riemann y Weierstrass son reconocidos como los principales fundadores de la teoría de funciones de variables complejas, y el método de Riemann demostró posteriormente ser indispensable para abordar la teoría de funciones de variables complejas. Las ideas de Cauchy y Riemann se fusionaron y las ideas de Weierstrass pudieron derivarse de las ideas de Cauchy-Riemann.
En el tratamiento que hace Riemann de las funciones multivaluadas, lo más importante es que introdujo el concepto de "superficie de Riemann". Las funciones de valores múltiples son geométricamente intuitivas a través de superficies de Riemann, y las funciones de valores múltiples expresadas en superficies de Riemann son de un solo valor. Introdujo puntos de apoyo y secciones en la superficie de Riemann, definió la conectividad, estudió las propiedades de las funciones y obtuvo una serie de resultados.
Las funciones complejas tratadas por Riemann, las funciones univaluadas son un ejemplo de funciones multivaluadas. Extendió algunas conclusiones conocidas de funciones de un solo valor a funciones de múltiples valores, especialmente el método que propuso para clasificar funciones por conectividad, lo que contribuyó en gran medida al desarrollo inicial de la topología. Estudió funciones abelianas, integrales abelianas y la inversión de integrales abelianas, y derivó el famoso teorema de Riemann-Roche. La primera transformación biracional formó el contenido principal de la geometría algebraica desarrollada a finales del siglo XIX.
Para mejorar su tesis doctoral, Riemann dio varias aplicaciones de su teoría de funciones en el mapeo conforme al final del artículo, combinando la conclusión de Gauss de 1825 sobre el mapeo conforme de plano a plano. cualquier superficie de Riemann, y el famoso teorema de mapeo de Riemann se proporciona al final del artículo.
El fundador de la geometría riemanniana
La contribución más importante de Riemann a las matemáticas radica en la geometría. La investigación sobre la geometría abstracta de alta dimensión y los métodos y medios para abordar los problemas geométricos de la que fue pionero supusieron una profunda revolución en la historia de la geometría. Estableció un nuevo sistema geométrico que lleva su nombre y que tuvo un gran impacto en el desarrollo de la geometría moderna e incluso en ramas de las matemáticas y las ciencias.
En 1854, para obtener el título de profesor adicional en la Universidad de Göttingen, Riemann dio una conferencia a todo el profesorado y al personal. Esta conferencia se publicó dos años después de su muerte (1868) y se tituló "Supuestos como base de la geometría". En su conferencia, ofreció una breve descripción de todas las geometrías conocidas, incluida la geometría hiperbólica, una de las recién nacidas geometrías no euclidianas, y propuso un nuevo sistema geométrico que más tarde se conoció como geometría de Riemann.
Para competir por un premio de la Academia de Ciencias de París, Riemann escribió en 1861 un artículo sobre la conducción del calor, que más tarde se conoció como su "Obra de París". Este artículo proporciona un tratamiento técnico de su artículo de 1854 para aclarar aún más sus ideas geométricas. Este artículo se incluyó en sus obras completas después de su muerte en 1876.
Riemann estudió principalmente las propiedades locales del espacio geométrico. Utilizó la geometría diferencial, que era diferente de la geometría euclidiana o no euclidiana de Gauss, Bolljo y Lobachevsky. Tratar el espacio como un todo es relativo. Geometría de Reid. Riemann se deshizo de las limitaciones de Gauss y otros predecesores que limitaban los objetos geométricos a curvas y superficies en el espacio euclidiano tridimensional, y estableció un espacio geométrico abstracto más general desde una perspectiva dimensional.
Riemann introdujo los conceptos de variedad y variedad diferencial, y llamó variedad al espacio dimensional. Un punto en una variedad dimensional puede representarse mediante un valor específico de un conjunto de parámetros variables, todos los cuales constituyen la variedad misma. Este parámetro variable se llama coordenada de la variedad y es diferenciable. Cuando las coordenadas cambian continuamente, los puntos correspondientes atraviesan la variedad.
Riemann utilizó la geometría diferencial tradicional como modelo para definir la distancia entre dos puntos de la variedad, las curvas de la variedad y el ángulo entre las curvas. Con base en estos conceptos, se estudian las propiedades geométricas de las variedades dimensionales. En variedades dimensionales, también definió una curvatura similar a la gaussiana al estudiar superficies generales. Demostró que cuando la dimensión de su variedad dimensional es igual a 3, la situación en el espacio euclidiano es consistente con los resultados obtenidos por Gauss y otros, por lo que la geometría de Riemann es una extensión de la geometría diferencial tradicional.
Riemann desarrolló la idea geométrica de Gauss de que la superficie misma es espacio y estudió las propiedades intrínsecas de las variedades dimensionales. La investigación de Riemann condujo al nacimiento de otra geometría no euclidiana: la geometría elíptica.
En opinión de Riemann, existen tres geometrías diferentes. La diferencia entre los dos es el número de líneas paralelas trazadas alrededor de una línea recta fija desde un punto determinado. Si sólo puedes hacer una línea paralela, se llama geometría euclidiana; si no puedes hacer ninguna de ellas, es geometría elíptica; si tienes un conjunto de líneas paralelas, obtienes la tercera geometría, la geometría de Lobachevsky.
Por lo tanto, Riemann desarrolló la teoría del espacio después de Lobachevsky, poniendo fin a más de 1.000 años de discusión sobre el axioma de las paralelas de Euclides. Afirmó que el espacio objetivo es un tipo especial de variedad y previó la existencia de variedades con ciertas propiedades. Estas fueron confirmadas gradualmente por las generaciones posteriores.
Dado que Riemann considera espacios geométricos de dimensiones arbitrarias, tiene un valor práctico más profundo para espacios objetivos complejos. Por lo tanto, en geometría de alta dimensión, debido a la complejidad de los diferenciales multivariables, Riemann adoptó algunos métodos diferentes a los de sus predecesores para hacer las expresiones más concisas, lo que finalmente condujo al nacimiento de herramientas geométricas modernas como los tensores, diferenciales externos. y conexiones. Einstein utilizó con éxito la geometría de Riemann como herramienta para explicar la relatividad general. La geometría de Riemann se ha convertido ahora en una base matemática esencial para la física teórica moderna.
Contribuciones creativas a la teoría del cálculo
Además de su trabajo pionero en geometría y funciones complejas, Riemann también es conocido por su mejora de la teoría del cálculo que surgió a principios del siglo XIX. Sus destacadas contribuciones pasarán a la historia.
Desde finales del siglo XVIII hasta principios del XIX, la comunidad matemática comenzó a preocuparse por la imprecisión en los conceptos y demostraciones del cálculo, la rama más grande de las matemáticas. Bolzano, Cauchy, Abel, Dirichlet y más tarde Wells se dedicaron a un análisis riguroso. Riemann estudió matemáticas con Dirichlet en la Universidad de Berlín. Tenía un profundo conocimiento del trabajo de Cauchy y Abel y, por lo tanto, tenía sus puntos de vista únicos sobre la teoría del cálculo.
En 1854, Riemann necesitaba presentar un trabajo que reflejara su nivel académico para obtener el título de profesor adicional en la Universidad de Göttingen. Su presentación fue un artículo sobre la posibilidad de representar funciones utilizando series trigonométricas. Esta es una obra maestra con rico contenido y pensamientos profundos, y tiene una profunda influencia en la mejora de la teoría del análisis.
Cauchy demostró una vez que las funciones continuas deben ser integrables, y Riemann señaló que las funciones integrables no son necesariamente continuas. Cauchy y casi todos los matemáticos de su generación creían en la relación entre continuidad y diferenciabilidad, y durante los siguientes 50 años muchos libros de texto "probaron" que las funciones continuas deben ser diferenciables. Riemann dio un famoso contraejemplo de continuidad y diferenciabilidad y finalmente aclaró la relación entre continuidad y diferenciabilidad.
Riemann estableció el concepto de integral de Riemann descrito en los libros de texto de cálculo, y dio las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de esta integral.
Riemann utilizó su propio método único para estudiar las series de Fourier y generalizó la condición de Dirichlet, es decir, la condición de Riemann sobre la convergencia de series trigonométricas, y obtuvo una serie de resultados sobre la convergencia de series trigonométricas. y teorema de integrabilidad. También demostró que los términos de cualquier serie condicionalmente convergente se pueden reordenar apropiadamente de modo que la nueva serie converja a cualquier suma o divergencia especificada.
Los logros de la teoría analítica de números a lo largo de los siglos
Un desarrollo importante de la teoría de números en el siglo XIX fue la introducción de los métodos analíticos y los resultados analíticos de los que fue pionero Dirichlet, mientras que Riemann fue pionero. el uso de números complejos Fue pionero en el estudio de funciones analíticas en teoría de números y logró resultados que se extendieron a lo largo del siglo.
En 1859, Riemann publicó el artículo "El número de números primos de un tamaño determinado". Este es un artículo extremadamente profundo, de menos de diez páginas. Redujo la distribución de números primos al problema de una función, ahora llamada función de Riemann. Riemann demostró algunas propiedades importantes de las funciones y simplemente afirmó otras sin pruebas.
Durante más de cien años después de la muerte de Riemann, muchos de los mejores matemáticos del mundo trabajaron duro para probar sus afirmaciones y crearon nuevas y ricas ramas en el proceso de estos esfuerzos. Ahora, salvo una de sus afirmaciones, el resto está solucionado como esperaba Riemann.
Ese problema no resuelto ahora se conoce como la "Hipótesis de Riemann", es decir, todos los puntos cero del área de la franja están en línea recta (el octavo de los 23 problemas de Hilbert), que aún no ha sido resuelto Estar probado. Para algunos otros campos, los miembros de la escuela Bourbaki han demostrado la correspondiente hipótesis de Riemann. Las soluciones a muchos problemas de teoría de números dependen de la solución de esta conjetura. El trabajo de Riemann no sólo contribuyó a la teoría analítica de números, sino que también enriqueció enormemente el contenido de la teoría de funciones variables complejas.
Pionero de la topología combinatoria
Antes de que se publicara el artículo del Dr. Riemann, la topología combinatoria ya había producido algunos resultados dispersos, el más famoso de los cuales trataba sobre los vértices y aristas de poliedros convexos cerrados. Teorema de Euler sobre la relación entre superficies. También hay algunos problemas aparentemente simples que no se han resuelto durante mucho tiempo, como el problema de los siete puentes de Königsberg, el problema de los cuatro colores, etc., que llevaron a la gente a estudiar la topología combinatoria (llamada geometría de posición o análisis de posición en el tiempo). Sin embargo, el mayor impulso para la investigación en topología proviene de la teoría de variables complejas de Riemann.
En su tesis doctoral de 1851 y en su investigación sobre las funciones abelianas, Riemann enfatizó algunos teoremas de que el estudio de funciones debe requerir un análisis de posición. En términos topológicos modernos, Riemann había clasificado las superficies cerradas en términos de género. Vale la pena mencionar que dijo en su disertación que la idea de que todas las funciones están compuestas de áreas cerradas conectadas (en puntos del espacio) es la idea funcional más antigua.