Preguntas y respuestas del examen del concurso de matemáticas de la escuela secundaria
Primer intento
1. Preguntas de opción múltiple (la puntuación total para esta pregunta es 42 puntos, cada pregunta es 7). puntos)
1. Si, entonces (1)
A.24. do. d.
2. En △ABC, si el ángulo máximo ∠A es el doble del ángulo mínimo ∠C, y AB = 7, AC = 8, entonces BC = (c).
A. Segundo. do. d.
3. El número entero más grande no es mayor que, el número de soluciones de la ecuación es (c).
A.1. B.2. C.3. D.4.
4. Sea el centro del cuadrado ABCD el punto O, y seleccione al azar dos triángulos de todos los triángulos con cinco puntos A, B, C, D y O como vértices. La probabilidad de que sus áreas sean iguales es (b).
A. Segundo. do. d.
5. Como se muestra en la figura, en el rectángulo ABCD, AB = 3, BC = 2. Si se utiliza BC como diámetro para hacer un semicírculo en el rectángulo, la recta tangente AE del semicírculo desde el punto A, CBE = (d).
A. Segundo. do. d.
6. Supongamos que es un número entero positivo mayor que 1909, por lo que el número de números cuadrados perfectos es (b).
A.3. D.6.
2. Rellena los espacios en blanco (la puntuación total de esta pregunta es 28 puntos, cada pregunta es 7 puntos)
1. Se conocen como números reales, si son dos no reales. números reales negativos sobre la raíz de una ecuación cuadrática, entonces el valor mínimo es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
2. Sea D un punto en el lado AB de △ABC, sea DE//BC interseca a AC en el punto E, DF//AC interseca a BC en el punto f, dados △ADE y △ Las áreas. de DBF son y respectivamente, y el área del cuadrilátero DECF es _ _ _ _ _.
3. Si el número real satisface la condición, entonces _ _ _ _ _.
4. Si se sabe que es un número entero positivo y es un número entero, entonces hay _ _ 7 _ _ pares de tales pares de números ordenados * * *.
La segunda prueba (1)
1. (La puntuación total de esta pregunta es 20) Se sabe que los puntos de intersección de la gráfica de la función cuadrática y el eje son A y B, y el punto de intersección con el eje es c. Sea el centro del círculo circunscrito de △ABC el punto p.
(1) Demuestre que el otro punto de intersección de ⊙P y el eje. es un punto fijo.
(2) Si AB resulta ser el diámetro de ⊙P, entonces suma.
Resolver (1) Es fácil encontrar las coordenadas del punto como, let,, then,.
Supongamos que el otro punto de intersección de ⊙P y el eje es d, porque AB y CD son dos cuerdas que se cruzan de ⊙P, y su punto de intersección es el punto O, entonces OA× OB = OC× OD, entonces.
Debido a que el punto está en el semieje negativo del eje, el punto D está en el semieje positivo del eje, por lo que el punto D es un punto fijo y sus coordenadas son (0 , 1).
(2) Debido a que AB⊥CD, si AB resulta ser el diámetro de ⊙P, entonces cyd son simétricos con respecto al punto o, entonces las coordenadas de este punto son
Eso es.
De nuevo, pues
, la solución.
Supongamos que CD es la altura sobre la hipotenusa AD del triángulo rectángulo ABC, y son los centros de △ADC y △BDC respectivamente AC = 3, BC = 4, encuentra.
La respuesta es E⊥AB en e, F⊥AB en f
En el triángulo rectángulo ABC, AC = 3, BC = 4,.
Y CD⊥AB se puede obtener mediante el teorema de proyección, por lo tanto,
.
Debido a que e es el radio del círculo inscrito del triángulo rectángulo ACD, =.
Conecta D y D, entonces D y D son las bisectrices de ∠ADC y ∠BDC respectivamente, entonces ∠ DC = ∠ DA = ∠ DC = ∠ DB = 45, entonces ∠ D =90, entonces D ∞.
Se aplica el mismo principio. Entonces =.
3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Se sabe que es un número positivo y cumple las dos condiciones siguientes:
①
②
Demuestra que tres lados pueden formar un triángulo rectángulo.
Demuestra que se obtiene 1 multiplicado por ① ②,
Es decir,
Es decir,
En otros palabras,
Es decir,
p>
En otras palabras,
En otras palabras,
Es decir , es decir,
En otras palabras,
Entonces O o, es o.
Así que tomando tres lados como longitudes, se puede formar un triángulo rectángulo.
El método de prueba 2 combinado con la fórmula 1 se puede obtener a partir de la fórmula 2.
Deformado, obtenemos ③
También se obtiene de la fórmula (1), es decir,
Poniéndolo en la ecuación 3, obtendrás, que es.
,
Entonces, o.
Se puede obtener combinando la fórmula ①.
Así que tomando tres lados como longitudes, se puede formar un triángulo rectángulo.
Segunda prueba (b)
1. (La puntuación total para esta pregunta es 20) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la primera pregunta del ensayo (a).
2. (La puntuación total para esta pregunta es 25) Se sabe que cuando △ABC, ∠ACB = 90°, la línea de altura CH del lado AB se cruza con las dos bisectrices AM y BN de △. ABC en P y Los puntos medios de Q, PM y QN son E y F respectivamente. Verificación:EF‖AB.
Solución Como BN es la bisectriz de ∠ABC, entonces.
Porque CH⊥AB, por lo tanto
,
Por lo tanto.
f es el punto medio de QN, entonces CF⊥QN, entonces c, f, h y b son * * * círculos.
La misma oración, entonces FC = FH, entonces el punto F está en la línea vertical media de CH.
De manera similar, el punto E está en la línea vertical de CH.
Entonces EF⊥CH y AB⊥CH, entonces ef ab.
3. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la tercera pregunta del Documento (a).
La segunda prueba (c)
1. (Esta pregunta vale 20 puntos) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la primera pregunta del documento (a).
2. (La puntuación total para esta pregunta es 25) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la segunda pregunta del documento (b).
3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Se sabe que es un número positivo y cumple las dos condiciones siguientes:
①
②
¿Existe un triángulo con tres lados? Si existe, encuentre el ángulo interior máximo del triángulo.
Resuelve 1 veces ① ② para obtener,
Es decir,
Es decir,
En otras palabras,
p>
Es decir,
Es decir,
Es decir, es decir,
Eso es decir,
Entonces O o, es o.
Por tanto, tres lados pueden formar un triángulo rectángulo con un ángulo interior máximo de 90°.
La solución 2 se combina con la fórmula ① y se puede obtener a partir de la fórmula ②.
Deformado, obtenemos ③
También se obtiene de la fórmula (1), es decir,
Poniéndolo en la ecuación 3, obtendrás, que es.
,
Entonces, o.
Se puede obtener combinando la fórmula ①.
Por tanto, tres lados pueden formar un triángulo rectángulo con un ángulo interior máximo de 90°.