Un ensayo sobre Pinot Noir
Demostración:
Primero demuestre la siguiente proposición:
Para el conjunto Zn={x1, x2,...,xφ(n)}, considere el conjunto.
S = {ax1 mod n, ax2 mod n,..., axφ(n) mod n}
Entonces S = Zn
1) Dado que a, N es coprimo, xi y N son coprimos, entonces axi debe ser coprimo con P, por lo tanto
Cualquier xi, axi mod n debe ser un elemento Zn
2) Para Zn Dos elementos xi y xj, si xi ≠ xj
entonces axi mod n ≠ axi mod n, que se puede obtener de los métodos coprimo y de eliminación de A y P.
Entonces, es obvio que S=Zn
En este caso, entonces
(ax1 × ax2×...×axφ(n)) mod n
= (ax1 mod n × ax2mod n ×...× axφ(n)mod n)mod n
= (x1 × x2 ×...× xφ( n ))mod n
Considere los lados izquierdo y derecho de la ecuación anterior.
El lado izquierdo es igual a (a φ (n )× (x1× x2×)...× xφ (n)) mod n) mod n.
El lado derecho es igual a x1× x2×...× xφ (n)) mod n.
Y x1 × x2 ×...× xφ(n))mod n y p son primos relativos.
Según el método de eliminación, podemos restar de ambos lados de la ecuación para obtener:
aφ(n) ≡ 1 mod n
Corolario: Para Los números coprimos A y N satisfacen aφ(n) 1 ≡ a mod n.
Teorema de Fermat
a es un número entero positivo que no es divisible por el número primo p, por lo que AP-1 ≡ 1 mod p.
Demostrar este teorema es muy sencillo, ya que φ(p) = p-1, se puede demostrar sustituyendo el teorema de Euler.
Se deduce también que para un entero positivo A que no es divisible por un número primo p, existe ap ≡ a mod p.
[Editar este párrafo] Fórmula de Euler
Existe una relación entre el número de vértices V, el número de caras F y el número de aristas E de un poliedro simple.
V F-E=2
Esta fórmula se llama fórmula de Euler. Esta fórmula describe el patrón único del número de vértices, caras y aristas de un poliedro simple.
[Editar este párrafo] Entendiendo a Euler
El matemático suizo Euler fue a estudiar a la Universidad de Basilea a la edad de 13 años y recibió una cuidadosa orientación del famoso matemático Bernoulli. Euler fue el matemático más prolífico y destacado de la historia de la ciencia. Comenzó a publicar artículos desde los 19 años hasta los 76. Durante su incansable vida, * * * escribió 886 libros y artículos, de los cuales más de 700 fueron escritos durante su vida. Para organizar sus obras, la Academia de Ciencias de San Petersburgo dedicó 47 años.
No es casualidad que las obras de Euler sean sorprendentemente numerosas. Su tenaz perseverancia y su incansable espíritu académico le permitieron trabajar en cualquier entorno hostil: a menudo completaba trabajos arrodillado con su hijo en brazos. Incluso durante los 17 años posteriores a su ceguera, no dejó de estudiar matemáticas y dictó varios libros y más de 400 artículos. Murió mientras trabajaba en sus cálculos para calcular la órbita de Urano. Euler siempre será nuestro respetado maestro.
Los trabajos de investigación de Euler involucran casi todas las ramas de las matemáticas, incluidas la mecánica física, la astronomía, la balística, la navegación, la arquitectura y la música. Hay muchas fórmulas, teoremas, soluciones, funciones, ecuaciones y constantes que llevan el nombre de Euler. El libro de texto de matemáticas escrito por Euler se consideraba un plan de estudios estándar en ese momento.
Gauss (1777-1855), el gran matemático del siglo XIX, dijo una vez: "Estudiar las obras de Euler es siempre la mejor manera de entender las matemáticas". Euler también fue el inventor de los símbolos matemáticos. Muchos de los símbolos matemáticos que creó, como π, sin, cos, tg, ∑, f (x), etc., todavía se utilizan en la actualidad.
Euler no sólo resolvió el problema del cálculo de la trayectoria de los cometas, sino que también resolvió el problema de la desviación de la luna que le daba dolor de cabeza a Newton. La solución perfecta de los famosos "Siete Puentes de Königsberg" inició el estudio de la "teoría de grafos". Euler descubrió que no importa la forma que tenga un poliedro convexo, siempre existe una relación entre el número de vértices V, el número de aristas E y el número de caras F, V F - E = 2. Esta es la llamada ecuación de Euler. fórmula. V F-E, la característica de Euler, se ha convertido en un concepto básico de "topología". Entonces, ¿qué es la "topología"? ¿Cómo descubrió Euler esta relación? ¿Cómo lo estudió? Sigamos hoy los pasos de Euler y exploremos esta fórmula con reverencia y aprecio. ......
[Editar este párrafo] El significado del teorema de Euler
(1) Leyes matemáticas: La fórmula describe el número de vértices, caras y aristas de un simple poliedro La única ley entre los números.
(2) Innovación en ideas y métodos: en el proceso de descubrir y demostrar el teorema, se supone conceptualmente que su superficie es una película de goma que se puede estirar arbitrariamente, el método consiste en cortarla; superficie inferior y convertirla en una figura plana (Gráfico tridimensional → Plano).
(3) Introducción a la topología: de gráficos tridimensionales a gráficos abiertos, la forma, longitud, distancia y área de cada cara han cambiado, mientras que el número de vértices, caras y aristas permanece sin cambios.
El teorema nos adentra en un nuevo campo de la geometría: la topología. Utilizamos un tipo de material (como las ondas de goma) que se puede deformar a voluntad, pero no se puede rasgar ni pegar. La topología es el estudio de las propiedades invariantes de los gráficos durante este proceso de deformación.
(4) Proponga un método de clasificación de poliedros:
En la fórmula de Euler, f (p)=V F-E se denomina característica de Euler. El teorema de Euler nos dice que el poliedro simple f(p) = 2.
Además de los poliedros simples, también existen poliedros no simples. Por ejemplo, si cavas un agujero en un cuboide y conectas los vértices correspondientes en la parte inferior, obtendrás un poliedro. Su superficie no puede transformarse en una esfera mediante una deformación continua, pero sí en un toroide. La característica de Euler f (p)=16 16-32=0, es decir, la característica de Euler del poliedro con huecos es 0.
(5) El teorema de Euler puede resolver algunos problemas prácticos.
Por ejemplo, ¿por qué sólo hay cinco poliedros regulares? ¿Cuál es la relación entre el fútbol y el C60? ¿Existe un poliedro regular de 7 lados? Espera
[Editar este párrafo] Prueba del teorema de Euler
Método 1: (Usa el bloc de dibujo geométrico)
Reduce gradualmente el número de aristas del poliedro y analiza V F-E.
Primero, tomemos el tetraedro simple ABCD como ejemplo para analizar el método de prueba.
Cuando se elimina una cara, se convierte en una figura plana. El número de vértices tetraédricos e, el número de aristas v y el número de caras restantes F1 permanecen sin cambios después de la deformación. Entonces, para estudiar la relación entre V, E y F, solo necesitamos quitar una superficie y convertirla en una figura plana para demostrar que V F1-E=1.
(1) Si se elimina un borde y se reduce una cara, V F1-E permanece sin cambios. Elimina todas las caras por turno y conviértelas en una "forma de árbol".
(2) Cada vez que se elimina una arista del árbol restante, se reduce un vértice y V F1-E permanece sin cambios hasta que solo quede una arista.
En el proceso anterior, V F1-E permanece sin cambios, V F1-E=1, por lo que se agrega una superficie eliminada, V F-E =2.
Para cualquier poliedro simple, este enfoque deja solo un segmento de línea. Por tanto, esta fórmula es correcta para cualquier poliedro simple.
Método 2: Calcula la suma de los ángulos interiores del poliedro.
Supongamos el número de vértices v, el número de caras f y el número de aristas e del poliedro. Corta una superficie para convertirla en una figura plana (figura abierta) y encuentra la suma de todos los ángulos en la superficie Σ α.
Por un lado, la suma de los ángulos interiores se obtiene utilizando todas las caras de la imagen original.
Hay f caras, el número de lados de cada cara es n1, n2,..., nF La suma de los ángulos interiores de cada cara es:
∑α. =[(n 1 -2)1800 (N2-2)1800 … (nF-2)1800]
=(n 1 N2 … nF-2F)1800
=( 2E-2F) 1800 = (inglés-francés) 3600 (1)
Por otro lado, la suma de los ángulos interiores se obtiene utilizando los vértices en el gráfico abierto.
Supongamos que una superficie de corte es un polígono N y la suma de sus ángulos interiores es (n-2 n-2) 1800. Entonces, entre todos los V vértices, hay N vértices en los lados y V-n en el vértice. La suma de los ángulos interiores de los vértices V-n en el medio es (V-N) 3600, y la suma de los ángulos interiores de los N vértices en los lados es (N-2 n-2) 1800.
Entonces, la suma de los ángulos interiores de cada cara del poliedro:
∑α=(V-n)3600 (n-2)1800 (n-2)1800
=(V-2) 3600. (2)
de(1)(2): (e-f)3600 =(v-2)3600.
Entonces V F-E=2.
El método 3 utiliza métodos topológicos para probar la fórmula de Euler.
Intenta utilizar métodos topológicos para demostrar la fórmula de Euler sobre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro.
Fórmula de Euler: Para cualquier poliedro (es decir, un sólido con planos y sin agujeros), suponiendo que F, E y V representan respectivamente el número de caras, aristas (o aristas) y ángulos ( o cimas), entonces
F-E V=2.
La prueba es como se muestra en la figura (la figura muestra un cubo, pero la prueba es general y "topológica"):
(1) El poliedro (① en la figura) se considera un sólido hueco con una fina goma en la superficie.
(2) Si se elimina una cara del poliedro, se puede expandir completamente en el plano y se puede obtener una línea recta en el plano, como se muestra en la Figura 2. Suponiendo que f′, e′ y v′ representan el número de polígonos, aristas y vértices (simples) de este gráfico plano respectivamente, solo necesitamos demostrar que f′-e′ v′= 1.
(3) Para esta figura plana realizar una triangulación, es decir, introducir diagonales en polígonos que no son triángulos hasta convertirlos en triángulos, como se muestra en la Figura 3. Cada vez que se introduce una diagonal, F′ y E′ aumentan en 1 respectivamente, pero V′ permanece sin cambios, por lo que F′-E′ V′ permanece sin cambios. Entonces, cuando se divide completamente en triángulos, el valor de f′-e′ v′ sigue siendo el mismo. Algunos triángulos tienen uno o dos lados en el límite de la figura plana.
(4) Si un triángulo tiene un lado en el límite, como △ABC en la Figura ④, elimina el lado de este triángulo que no pertenece a otros triángulos, es decir, AC, eliminando así △ ABECEDARIO. De esta manera, F' y E' disminuyen cada uno en 1, y V' permanece sin cambios, por lo que F'-E' V' permanece sin cambios.
(5) Si un triángulo tiene dos lados en el límite, como △DEF en la Figura 5, elimine los lados de este triángulo que no pertenecen a otros triángulos, es decir, DF y EF, así eliminando △DEF. De esta manera, F′ disminuye en 1, E′ disminuye en 2 y V′ disminuye en 1, por lo que F′-E′ V′ permanece sin cambios.
(6) Continúe así hasta que solo quede un triángulo, como se muestra en la Figura 6. En este momento, F′= 1, E′= 3, V′= 3, entonces F′-E′ V′= 1-3 3 = 1.
(7) Debido a que los gráficos originales están conectados entre sí, varios cambios introducidos en el medio no destruirán este hecho, por lo que los gráficos finales todavía están conectados entre sí, por lo que los gráficos finales no serán varios Un triángulo que se extiende hacia afuera, como ⑦ en la imagen.
(8) Si se parece al final de la imagen, podemos quitar uno de los triángulos, es decir, 1 triángulo, 3 lados y 2 vértices. Entonces F′-E′ V′ permanece sin cambios.
Es decir, f′-e′ v′= 1.
Está establecido, entonces la fórmula de Euler:
F-E V=2
Obtén el certificado.
[Editar este párrafo] Cómo aplicar el teorema de Euler
(1) Fracción:
a^r/(a-b)(a-c) b^r / (b-c)(b-a) c^r/(c-a)(c-b)
Cuando r=0,1, el valor de la fórmula es 0.
Cuando r=2, el valor es 1.
Cuando r=3, el valor es a b c B C.
(2) Números complejos
De e I θ = cos θ isinθ, obtenemos:
sinθ=(e^iθ-e^-iθ) / 2i
cosθ=(e^iθ e^-iθ)/2
(3) Triángulo
Supongamos que r es el radio de la circunferencia circunstante del triángulo, r es el radio del círculo inscrito, d es la distancia desde el centro exterior al centro interior, entonces:
d^2=R^2-2Rr
( 4) Poliedro
Supongamos que v es el número de vértices, e es el número de aristas y f es el número de caras, entonces
v-e f=2-2p
Por ejemplo, p es la característica de Euler.
El poliedro con p=0 se llama poliedro de tipo cero.
El poliedro con p=1 se llama primer poliedro.
(5) Polígono
Supongamos que el número de vértices de una figura geométrica bidimensional es v, el número de áreas divididas es ar y el número de trazos es b, entonces :
V Ar-B=1
(Por ejemplo, una figura formada por un rectángulo y dos diagonales, v = 5, ar = 4, b = 8)
(6 ) Teorema de Euler
En un mismo triángulo, su círculo circunscrito, centro de gravedad, centro de nueve puntos y línea central vertical ***.
De hecho, existen muchas fórmulas de Euler, las anteriores son solo algunas de las más utilizadas.
[Editar este párrafo] Utiliza el teorema de Euler para calcular el número de pentágonos y hexágonos en el fútbol.
P: La superficie de fútbol está hecha de cuero pentagonal y hexagonal. A * * *, ¿cuántos pentágonos y hexágonos hay?
Respuesta: Una pelota de fútbol es un poliedro que satisface la fórmula de Euler F-E V = 2, donde F, E, V E y V representan el número de caras, aristas y vértices respectivamente.
Supongamos que hay pentágonos regulares (cuero negro) y hexágonos (cuero blanco) con X e Y en la superficie del balón de fútbol, entonces
El número de caras f = x y
Número de lados e = (5x 6y)/2 (cada lado consta de un cuero negro y un cuero blanco * * *).
Número de vértices v = (5x 6y)/3 (cada vértice es utilizado por tres skins * * *).
Según la fórmula de Euler, x y-(5x 6y)/2 (5x 6y)/3 = 2,
La solución es x = 12. Entonces * * * hay 12 pedazos de piel negra.
Entonces el cuero negro * * * tiene 12 × 5 = 60 lados, los cuales están todos cosidos junto con el cuero blanco.
Cuero blanco: De los seis lados de cada cuero blanco, tres lados están cosidos entre sí con los lados de cuero negro, y los otros tres lados están cosidos entre sí con los lados de otros cueros blancos.
Así que la mitad de todos los lados del cuero blanco se cosen junto con el cuero negro.
Entonces un trozo de cuero blanco debería tener 60 × 2 = 120 lados, 120 ÷ 6 = 20.
Entonces * * * hay 20 pedazos de piel blanca
(O, los seis lados de cada hexágono y los tres lados de los otros tres hexágonos y los tres pentágonos Los tres lados de cada pentágono están conectados a los cinco lados de los otros cinco hexágonos.
Por lo tanto, el número de pentágonos x=3y/5 (p>X=12, entonces y=20).
"Teorema de Euler" en Economía
En la economía occidental, la relación entre la producción y los factores de producción L y K se expresa como Q = Q (L, K).
Si la forma funcional específica es homogénea, entonces existe: Q = L(?Q/?L) K(?Q/?k En otras palabras, la distribución neta del producto depende de si q puede expresarse como a). función homogénea.
¿Porque? P/? L = mpl = w/p se considera la contribución del trabajo a la producción. P/? K = MPK = R/P se considera como la contribución del capital a la producción. Por tanto, esta fórmula se interpreta como el "teorema de la red de distribución de productos", es decir, todos los productos se distribuyen simplemente por todos los factores sin ningún excedente. Debido a que se ajusta al teorema matemático de Euler en su forma, se llama teorema de Euler.
"Teorema de Euler" en la teoría de la congruencia
Supongamos que a, m∈N, (a, m)=1, entonces a (f (m)) ≡ 1 ( mod m) .
(Nota: f(m) se refiere al número de sistemas simples del modelo m)
[Editar este párrafo] Fórmula de Euler
En la historia de las matemáticas Euler (Leonhard Euler 1707-1783 d. C.) descubrió muchas fórmulas. Todas ellas se denominan fórmulas de Euler y se encuentran dispersas en diversas ramas de las matemáticas.
1. Fórmula de Euler en la teoría de funciones variables complejas;
E ix = cosx isinx, e es la base de los logaritmos naturales e I es la unidad imaginaria.
Extiende el dominio de las funciones trigonométricas a números complejos, establece la relación entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales, y ocupa una posición muy importante en la teoría de funciones de variables complejas.
Reemplazamos x en la fórmula con -x para obtener:
E-IX = cosx-isinx, luego sumamos y restamos las dos fórmulas para obtener:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i), cosx=(e^ix e^-ix)/2.
Estas dos también se llaman fórmulas de Euler. Tomando x en e ix = cosx isinx como ∏, obtenemos:
e^i∏ 1=0.
Esta identidad también se llama fórmula de Euler, que es la más fascinante Fórmula, que conecta varias de las matemáticas más importantes en matemáticas: dos números trascendentales: la base e del logaritmo natural, pi ∏, dos unidades: la unidad imaginaria I y la unidad natural 1, y el 0 común en matemáticas. Los matemáticos la consideran una "fórmula creada por Dios", que sólo podemos ver pero no entender.
2. Fórmula de Euler en topología;
V F-E=X(P), v es el número de vértices del poliedro P, F es el número de caras del poliedro P. , y E es el poliedro El número de lados de P, X(P) es la característica de Euler del poliedro P.
Si P puede ser homeomórfico en la superficie esférica (la comprensión popular se puede ampliar a una superficie esférica), entonces X(P)=2, si P puede ser homeomórfico en la superficie esférica con mangos de anillo H , entonces X(P)=2-2h.
X(P) se denomina invariante topológico de P, que es el ámbito de investigación de la topología.
3. Fórmula de Euler en teoría elemental de números;
Función φ de Euler: φ(n) es el número de números enteros en los que N es primo relativo entre todos los enteros positivos menores que N, N es un número entero positivo.
Euler demostró la siguiente fórmula:
Si la factorización de los factores primos estándar de n es p1 a1 * p2 a2 *...* pm * am, donde todos los PJ (j = 1, 2,..., m) son todos números primos y no son iguales entre sí. Entonces es
φ(n)= n(1-1/p 1)(1-1/p2)...(1-1/pm)
Puedes utilice incluir y probar por el principio de exclusión.
Teorema: Los enteros positivos A y N son primos relativos, entonces a φ(n) se divide entre N, el resto es 1.
Se demuestra que {A1, A2,...,Am} es un sistema de contracción módulo n (si los enteros A1, A2,..., Am módulo N corresponden a 0, 1, 2 Todos los m elementos naturales,...,n-1.
Entonces {a A1, a A2,..., a Am} también es un sistema de contracción módulo n (si un Ax y un Ay (x no es igual a y) se dividen entre n, el los restos son iguales, entonces a (Ax-Ay) es múltiplo de n, lo cual es obviamente imposible).
Eso es a1 * a2 * a3 *...am aa 1 * aa2 *...AAM (mod n) (donde m=φ(n)).
Trunca ambos lados de A1 * A2 * A3 *...AM para obtener 1 ≡ A φ (n) (mod n).
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