Exámenes y respuestas de matemáticas de tercer grado

C． l1：l2=1：2，S1：S2=1：4D． l1: l2=1:4, S1: S2=1:4

Análisis: Calcule l1 y l2 respectivamente según la circunferencia del círculo, y luego calcule S1 y S2 según la fórmula del área del sector y luego encuentre la razón.

Solución: ∵l1=2π×BC=2π,

l2=2π×AB=4π,

∴l1：l2=1：2,

　∵S1=×2π×=π,

S2=×4π×=2π,

∴S1：S2=1：2,

Así que elige A.

Comentarios: Esta pregunta examina el cálculo de un cono, utilizando principalmente la circunferencia de un círculo como 2πr, y la solución del área lateral = lr es la clave para resolver el problema.

9． Supongamos que la recta x=1 es el eje de simetría de la gráfica de la función y=ax2 bx c (a, b, c son números reales y a<0), ()

A. Si m>1, entonces (m﹣1)a b>0B. Si m＞1, entonces (m﹣1)a b<0

C. Si m<1, entonces (m﹣1)a b>0D. Si m<1, entonces (m﹣1)a b<0

Basado en el análisis del eje de simetría, se puede obtener b=-2a Según la multiplicación de números racionales, la respuesta es. ser obtenido.

Solución: Del eje de simetría, obtenemos

b=-2a.

　（m﹣1）a b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a

Cuando m<1, (m﹣3)a>0,

p>

Así que elige: C.

Comentarios: Esta pregunta examina la relación entre la gráfica de una función cuadrática y sus coeficientes. Usar el eje de simetría para derivar b=-2a es la clave para resolver el problema.

10. Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=AC, BC=12, E es el punto medio del lado AC, y la bisectriz perpendicular del segmento de línea BE cruza el lado BC en el punto D. Supongamos BD=x, tan∠ACB=y, luego ()

A. x﹣y2=3B. 2x﹣y2=9C. 3x﹣y2=15D. 4x﹣y2=21

Después de analizar A, haz A

Q⊥BC está en Q, pasa E y dibuja EM⊥BC en M, conecta DE, encuentra DE=BD=x según la bisectriz vertical del segmento de línea, encuentra BD=DC=6 según el triángulo isósceles y encuentra CM=DM=3, resuelve el triángulo rectángulo para encontrar EM=3y, AQ=6y, en Rt△DEM, simplemente encuéntralo según el teorema de Pitágoras.

Solución:

A través de A, traza AQ⊥BC en Q, a través de E, dibuja EM⊥BC en M, conecta DE,

La bisectriz vertical de ∵BE La recta corta a BC en D, BD=x,

∴BD=DE=x,

∵AB=AC, BC=12, tan∠ACB=y,

　∴==y，BQ=CQ=6，

　∴AQ=6y，

　∵AQ⊥BC，EM⊥BC，

　∴ AQ∥EM,

∵E es el punto medio de AC,

∴CM=QM=CQ=3,

∴EM=3y,

　∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x,

En Rt△EDM, del teorema de Pitágoras: x2=(3y)2 (9﹣x)2,

Es decir, 2x-y2=9,

Así que elige B.

Comentarios: Esta pregunta examina las propiedades de las bisectrices perpendiculares de segmentos de línea, las propiedades de los triángulos isósceles, el teorema de Pitágoras, la resolución de triángulos rectángulos y otros puntos de conocimiento. Ser capaz de dibujar correctamente líneas auxiliares es el. clave para resolver esta cuestión.

2. Completa los espacios en blanco

11. La mediana de los datos 2, 2, 3, 4 y 5 es 3.

El análisis se basa en la definición de mediana, es decir, la mediana debe ordenar los datos de pequeño a grande, y el número del medio (o el promedio de dos números) es la mediana, es decir es La respuesta se puede encontrar.

Solución: De pequeño a grande, se ordenan de la siguiente manera: 2, 2, 3, 4, 5,

El número del medio es 3,

Entonces esto La mediana del número de grupos es 3.

Entonces la respuesta es: 3.

Comentarios: Esta pregunta examina la mediana. Tenga en cuenta que al buscar la mediana, primero debe organizar el orden y luego determinar la mediana en función de los números pares e impares. datos, entonces es correcto el número del medio es el que desea. Si es un número par, encuentre el promedio de los dos dígitos del medio.

12． Como se muestra en la figura, AT corta a ⊙O en el punto A y AB es el diámetro de ⊙O. Si ∠ABT=40°, entonces ∠ATB=50°.

La respuesta se puede obtener analizando las propiedades de la recta tangente.

Solución: ∵AT corta a ⊙O en el punto A, AB es el diámetro de ⊙O,

∴∠BAT=90°,

∵∠ABT =40°,

　∴∠ATB=50°,

Entonces la respuesta es: 50°

Los comentarios sobre esta pregunta examinan la naturaleza de las rectas tangentes. La clave para resolver el problema es Según las propiedades de las rectas tangentes, encuentre ∠ATB=90°. Esta pregunta es un tipo de pregunta básica.

13. Hay 3 bolas (diferentes solo en color) en una bolsa opaca que contiene solo bolas, 2 de las cuales son bolas rojas y 1 es bola blanca. Saque cualquier bola, escriba el color y vuelva a colocarla, revuelva bien y. luego extrae una bola al azar, entonces la probabilidad de que ambos sorteos sean bolas rojas es.

Analice y dibuje el diagrama de árbol correspondiente según el significado de la pregunta, averigüe el número de todas las situaciones posibles y luego encuentre el número de situaciones en las que la bola es roja dos veces, y luego podrá encontrar la probabilidad que estás buscando.

Respuesta: Dibuja el diagrama de árbol correspondiente según el significado de la pregunta,

Entonces hay 9 situaciones para un *** y 4 situaciones para tocar la bola roja dos veces.

∴La probabilidad de sacar una bola roja dos veces es,

Entonces la respuesta es:.

Comentarios: Esta pregunta prueba el método de lista y el diagrama de árbol. Dibujar el diagrama de árbol correspondiente de acuerdo con el significado de la pregunta es la clave para resolver esta pregunta.

14. Si |m|=, entonces m=3 o -1.

Al analizar las propiedades de los valores absolutos y las fracciones, podemos obtener m-1≠0, m-3=0 o |m|=1, y podemos obtener m.

>

Solución: Según el significado de la pregunta,

m﹣1≠0,

entonces m≠1,

(m﹣3 )| m|=m﹣3,

∴(m﹣3)(|m|﹣1)=0,

∴m=3 o m=±1,

　∵m≠1,

∴m=3 o m=-1,

Entonces la respuesta es: 3 o -1.

Comentarios: Esta pregunta examina principalmente las propiedades de los valores absolutos y las fracciones. Memorizar que el denominador de una fracción no es 0 es la clave para responder esta pregunta.

15. Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠BAC=90°, AB=15, AC=20, el punto D está en el lado AC, AD=5, DE⊥BC está en el punto E, conectando AE, entonces el área de △ABE es igual a 78．

Analiza y usa el teorema de Pitágoras para encontrar BC==25, encuentra el área de △ABC = 150, demuestra △CDE∽△CBA, y obtiene CE=12, obtiene BE=BC﹣ CE =13, y luego la respuesta se puede obtener basándose en la relación de área del triángulo.

Solución: ∵ En Rt△ABC, ∠BAC=90°, AB=15, AC=20,

∴BC==25, el área de △ABC= ABAC =×15×20=150,

　∵AD=5,

　∴CD=AC﹣AD=15,

　∵DE⊥BC,

p>

　∴∠DEC=∠BAC=90°,

Y ∵∠C=∠C,

　∴△CDE∽△CBA,

∴, es decir,

Solución: CE=12,

∴BE=BC-CE=13,

El área de ∵△ABE: △ABC El área de ∴△ABE=×150=78

Entonces la respuesta es: 78.

Comentarios: Esta pregunta examina la determinación y las propiedades de triángulos semejantes, el teorema de Pitágoras y el área de un triángulo, dominando el teorema de Pitágoras y demostrando que la similitud de triángulos es la clave para resolver el problema. /p>

16. Cierta frutería vende 50 kilogramos de plátanos. El precio es de 9 yuanes/kg el primer día. El precio se reduce a 6 yuanes/kg el segundo día y luego a 3 yuanes/kg el tercer día. Todo se agotó en tres días, con una ganancia total de 270 yuanes. Si la tienda vende t kilogramos de plátanos el segundo día, venderá 30 kilogramos de plátanos el tercer día. Kilogramo, basado en las ventas de 270 yuanes en tres días, haz una ecuación y encuentra x.

Solución: Supongamos que se venden x kilogramos de plátanos el tercer día, luego se venden (50-t-x) kilogramos de plátanos el primer día,

De acuerdo con el significado de pregunta, obtenemos: 9 (50 ﹣t﹣x) 6t 3x=270,

Entonces x==30﹣,

Entonces la respuesta es: 30﹣.

Comentarios: Esta pregunta prueba principalmente la capacidad de formular expresiones algebraicas. La clave para resolver el problema es comprender el significado de la pregunta, comprender la relación de igualdad y enumerar la ecuación para expresar el número. de kilogramos de plátanos vendidos al tercer día.

Tres. Responde las preguntas

17. Para comprender el nivel de salto de los estudiantes de noveno grado en una escuela determinada, se seleccionaron aleatoriamente 50 estudiantes de este grado para realizar una prueba de salto de altura, y los resultados de la prueba se representaron en una tabla de frecuencia y un histograma de frecuencia sin terminar como se muestra en la figura (cada grupo incluye el valor límite anterior, excluyendo el último valor límite).

Tabla de frecuencia de las puntuaciones de las pruebas de salto de altura de 50 estudiantes de noveno grado en una escuela

Frecuencia del grupo (m)

1,09～1,198

1.19～1.2912

1.29～1.39A

1.39～1.4910

(1) Encuentre el valor de a y complete el histograma de frecuencia;

(2) Hay 500 estudiantes en este grado. Se estima que el número de estudiantes en este grado con una puntuación de salto alto de 1,29 m (incluido 1,29 m) o superior.

Análisis (1) Utilice el número total de personas 50 menos el número de personas en otros grupos, es decir

El valor de a se puede obtener;

(2) Se puede resolver multiplicando el número total de personas por la proporción correspondiente.

Solución: (1) a=50﹣8﹣12﹣10=20,

;

(2) La puntuación de salto alto de los estudiantes en este el año es 1,29 El número de personas por encima de m (incluido 1,29 m) es: 500 × = 300 (personas).

Comentarios: Esta pregunta pone a prueba la capacidad de leer histogramas de distribución de frecuencia y la capacidad de utilizar gráficos estadísticos para obtener información. Cuando utilice cuadros estadísticos para obtener información, debe observarlos, analizarlos y estudiarlos cuidadosamente para poder emitir juicios correctos y resolver problemas. También se examinó la población de estimación de la muestra.

18. En el sistema de coordenadas plano rectangular, la imagen de la función lineal y=kx b (k, b son constantes y k≠0) pasa por los puntos (1, 0) y (0, 2).

(1) Cuando -2

(2) Se sabe que el punto P (m, n) está en el gráfico de esta función En la imagen, y m-n=4, encuentre las coordenadas del punto P.

El análisis se puede obtener utilizando el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de una función lineal.

(1) Se puede obtener utilizando las propiedades de aumento y disminución de una; función lineal.

(2) Según el significado de la pregunta, n=-2m 2 se puede obtener estableciendo ecuaciones simultáneas y resolviendo las ecuaciones.

Solución: Supongamos que la fórmula analítica es: y=kx b,

Sustituyendo (1, 0), (0, -2) en:,

Solución:,

∴La fórmula analítica de esta función es: y=-2x 2;

(1) Sustituyendo x=-2 en y=-2x 2, obtenemos, y =6,

Sustituyendo x=3 en y=-2x 2, obtenemos, y=-4,

El rango de valores de ∴y es -4≤y<6 .

(2) ∵ el punto P (m, n) está en la gráfica de la función,

∴n=-2m 2,

∵m- n=4,

　∴m﹣(-2m 2)=4,

La solución es m=2, n=-2,

∴Punto P Las coordenadas son (2, -2).

Comentarios: Esta pregunta examina la expresión analítica de una función lineal usando el método del coeficiente indeterminado, las características de las coordenadas de los puntos en la gráfica de una función lineal y las propiedades de una función lineal, y la clave para resolver Problemas basados ​​en la expresión analítica.

19． Como se muestra en la figura, en el triángulo agudo ABC, los puntos D y E están en los lados AC y AB respectivamente, AG⊥BC está en el punto G, AF⊥DE está en el punto F, ∠EAF=∠GAC.

(1) Verificar: △ADE∽△ABC;

(2) Si AD=3, AB=5, encuentre el valor.

Análisis (1) Dado que AG⊥BC, AF⊥DE, ∠AFE=∠AGC=90°, se puede demostrar que ∠AED=∠ACB, y luego se puede demostrar △ADE∽△ABC ;

p>

(2) △ADE∽△ABC, y es fácil demostrar △EAF∽△CAG, por lo que se puede ver en esto.

Solución: (1) ∵AG⊥BC, AF⊥DE,

∴∠AFE=∠AGC=90°,

∵∠EAF= ∠ GAC,

∴∠AED=∠ACB,

∵∠EAD=∠BAC,

∴△ADE∽△ABC,

　(2) Se puede conocer a partir de (1): △ADE∽△ABC,

　∴=

Se puede conocer a partir de (1): ∠AFE=∠AGC= 90°,

p>

　∴∠EAF=∠GAC,

　∴△EAF∽△CAG,

　∴,

∴=

Comentarios: Esta pregunta prueba la determinación de triángulos similares. La clave para resolver el problema es utilizar hábilmente la determinación de triángulos similares. Esta pregunta es de tipo medio.

20． Entre todos los rectángulos con áreas iguales, cuando un lado del rectángulo tiene una longitud de 1, el otro lado tiene una longitud de 3.

（

1) Sean xey respectivamente las longitudes de los dos lados adyacentes del rectángulo.

① Encuentre la expresión funcional de y con respecto a x

② Cuando y≥3, encuentre el rango de valores de x

(2) Yuanyuan; Se dice que hay un rectángulo con un perímetro de 6 y Fangfang dice que hay un rectángulo con un perímetro de 10. ¿Crees que Yuanyuan y Fangfang están en lo cierto? ¿Por qué?

Análisis (1) ① Utilice directamente el método del área rectangular para encontrar la relación entre y y x ② Utilice directamente y≥3 para encontrar el rango de valores de x

　( 2; ) Utilice directamente los valores de x y y el discriminante de las raíces para obtener la respuesta.

Solución: (1) ① Del significado de la pregunta: xy=3,

Entonces y=

② Cuando y≥3, ≥ 3;

Solución: x≤1;

(2) ∵El perímetro de un rectángulo es 6,

∴x y=3,

　∴x =3,

Ordenar:

∴El perímetro de un rectángulo no puede ser 6;

∵El perímetro de un rectángulo es 10,

∴x y=5,

∴x =5,

Ordenar: x2﹣5x 3=0,

　∵b2﹣4ac=25﹣ 12=13＞0,

∴ Rectangular La circunferencia puede ser 10.

Comentarios: Esta pregunta examina principalmente la aplicación de funciones proporcionales inversas y la solución de ecuaciones cuadráticas de una variable. Obtener correctamente la relación entre y y x es la clave para resolver el problema.

21． Como se muestra en la figura, en el cuadrado ABCD, el punto G está en la diagonal BD (no coincide con los puntos B y D), GE⊥DC está en el punto E, GF⊥BC está en el punto F, conectando AG.

(1) Escribe la relación cuantitativa entre las longitudes de los segmentos de recta AG, GE y GF, y explica las razones.

(2) Si la longitud del lado del cuadrado ABCD es; 1, ∠AGF =105°, encuentra la longitud del segmento de línea BG.

Análisis (1) Conclusión: AG2=GE2 GF2. Siempre que se demuestre que GA=GC, el cuadrilátero EGFC es un rectángulo, se puede deducir que GE=CF En Rt△GFC, se puede demostrar usando el teorema de Pitágoras;

(. 2) Sea BN⊥AG en N, en BN Corta un punto M de modo que AM=BM. Sea AN=x. Es fácil demostrar que AM=BM=2x, MN=x, en Rt△ABN, según AB2=AN2 BN2, podemos obtener 1=x2 (2x x)2,

Resolver para obtener x=, y deducir BN= , y entonces el problema se puede resolver según BG=BN÷cos30°;

Solución: (1) Conclusión: AG2=GE2 GF2.

Motivo: Conectar CG.

∵El cuadrilátero ABCD es un cuadrado,

∴A y C son simétricos con respecto a la diagonal BD,

∵El punto G está en BD,

　∴GA=GC,

∵GE⊥DC en el punto E, GF⊥BC en el punto F,

∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,

　∴El cuadrilátero EGFC es un rectángulo,

　∴CF=GE,

En Rt△GFC, ∵CG2=GF2 CF2,

∴AG2=GF2 GE2．

(2) Sea BN⊥AG en N, intercepte un punto M en BN, de modo que AM=BM. Sea AN=x.

　∵∠AGF=105°, ∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,

　∴∠AGB=60°, ∠GBN=30°, ∠ABM=∠ MAB=15°,

　∴∠AMN=30°,

　∴AM=BM=2x, MN=x,

En Rt△ABN, ∵ AB2=AN2 BN2，

　∴

1=x2 (2x x)2,

La solución es x=,

　∴BN=,

　∴BG=BN÷cos30°=.

Comentarios: Esta pregunta prueba las propiedades de los cuadrados, la determinación y las propiedades de los rectángulos, las propiedades del triángulo rectángulo de 30 grados del teorema de Pitágoras, etc. La clave para resolver el problema es aprender a agregue líneas auxiliares de uso común y aprenda a usar parámetros para construir ecuaciones para resolver problemas, que es un tipo de pregunta de prueba común en el examen de ingreso a la escuela secundaria.

22． En el sistema de coordenadas plano rectangular, sea la función cuadrática y1=(x a)(x﹣a﹣1), donde a≠0.

(1) Si la gráfica de la función y1 pasa por el punto (1, -2), encuentre la expresión de la función y1

(2) Si la función lineal y2= ax b La imagen y la imagen de y1 pasan por el mismo punto en el eje x y exploran la relación que satisfacen los números reales a y b;

(3) Puntos conocidos P (x0, m ) y Q (1, n) En la gráfica de la función y1, si m

Análisis (1) Según el método del coeficiente indeterminado, se puede obtener la fórmula analítica de la función;

(2) Según los puntos en el gráfico de la función que satisfacen la fórmula analítica de la función, se puede obtener la respuesta

(3) Según las propiedades de la función cuadrática, se puede obtener la respuesta.

Solución: (1) La gráfica de la función y1 pasa por el punto (1, -2), y obtenemos

(a 1)(-a) = -2,

Resolver para obtener a=-2, a=1,

La expresión de la función y1 y= (x-2) (x 2-1), simplificar, obtener y= x2-x -2;

Simplifique la expresión y=(x 1)(x-2) de la función y1 y obtenga y=x2-x-2,

En resumen : La expresión de la función y1 es y=x2﹣x﹣2;

(2) Cuando y=0, x2﹣x﹣2=0, la solución es x1=﹣1, x2=2,

La intersección de la imagen de y1 y el eje x es (-1, 0) (2, 0),

Cuando y2=ax b pasa por (-1, 0), -a b= 0, es decir, a=b;

Cuando y2=ax b pasa por (2, 0), 2a b=0, es decir, b=-2a;

(3) Cuando P Cuando está en el lado izquierdo del eje de simetría, y aumenta con el aumento de x,

(1, n) y (0, n) son simétricos con respecto al eje de simetría,

Por m

Cuando P está en el lado derecho del eje de simetría, y disminuye a medida que x aumenta,

De m 1.

En resumen: m1.

Comentarios: Esta pregunta examina las características de las coordenadas de los puntos en la gráfica de una función cuadrática. La clave para resolver (1) es utilizar el método del coeficiente indeterminado; la clave para resolver (2) es sustituir. las coordenadas de los puntos en la fórmula analítica de la función. La clave para resolver (3) es utilizar las propiedades de las funciones cuadráticas y discutirlas en categorías para evitar omisiones.

23． Como se muestra en la figura, se sabe que △ABC está inscrito en ⊙O, el punto C está en el arco menor AB (no coincide con los puntos A y B), el punto D es el punto medio de la cuerda BC, DE⊥BC, y la línea de extensión de DE se cruza con AC En el punto E, el rayo AO corta al rayo EB en el punto F, y corta a ⊙O en el punto G. Sea ∠GAB=ɑ, ∠ACB=β, ∠EAG ∠EBA=γ,

(1) Diandian obtuvo los siguientes datos aproximados mediante dibujo y medición:

　ɑ30°40°50°60°

　β120°130°140°150°

　γ150° 140°130°120°

Conjetura: expresión funcional de β con respecto a ɑ, expresión funcional de γ con respecto a ɑ, y da la prueba:

(2) Si γ=135 °, CD=3, el área de △ABE es 4 veces el área de △ABC, encuentre la longitud del radio de ⊙O.

Análisis (1) Del teorema del ángulo circular, podemos obtener β=α 90°, y luego según que D es el punto medio de BC, DE⊥BC, se puede ver que ∠EDC=90 °,

De las propiedades de los ángulos exteriores de un triángulo, podemos obtener ∠CED=α, por lo que podemos saber que los cuatro puntos O, A, E y B forman un círculo. podemos saber: ∠EBO ∠EAG=180°, es decir, γ= -α 180°;

(2) De (1) y γ=135°, podemos saber que ∠BOA=90 °, ∠BCE=45°, ∠BEC=90°, ya que el área de △ABE es △ 4 veces el área de ABC Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, se pueden encontrar las longitudes de AE ​​y AC. , y por lo tanto se puede encontrar la longitud de AB. Entonces el radio r de ⊙O se puede encontrar basándose en el teorema de Pitágoras;

Solución: (1) Conjetura: β = α 90°, γ = -. α 180°

Conecta OB,

∴ Del teorema del ángulo circular: 2∠BCA =360°-∠BOA,

∵OB=OA,

∴∠OBA=∠OAB=α,

∴∠BOA=180°-2α ,

　∴2β=360°﹣(180°﹣2α) ,

∴β=α 90°,

∵D es el punto medio de BC, DE⊥BC,

∴OE es la mediatriz del segmento de recta BC,

∴BE=CE, ∠BED=∠CED, ∠EDC=90°

∵∠BCA=∠EDC ∠CED,

∴β =90° ∠CED,

∴∠CED=α,

∴∠CED=∠ OBA=α,

　∴O, A, E, B círculo *** de cuatro puntos,

　∴∠EBO ∠EAG=180°,

　∴ ∠EBA ∠OBA ∠EAG=180°,

　∴ γ α=180°;

　 (2) Cuando γ=135°, la gráfica es como se muestra en la figura,

　∴α=45°, β=135°,

　∴∠BOA=90°, ∠BCE=45°,

Se puede ver en (1): O, A, E, B son cuatro puntos de un círculo,

　∴∠BEC=90°,

El área de ∵△ABE es 4 veces el área de △ABC,

　∴,

∴,

Supongamos CE=3x, AC=x,

De (1) podemos saber: BC=2CD= 6,

　∵∠BCE=45°,

　∴CE=BE=3x,

　∴Se puede ver en el teorema de Pitágoras: (3x) 2 (3x )2=62，

x=，

∴BE=CE=3，AC=，

∴AE=AC CE=4，

En Rt△ABE,

Se puede ver en el teorema de Pitágoras: AB2=(3)2 (4)2,

∴AB=5,

∵∠BAO=45°,

∴∠AOB=90°,

En Rt△AOB, sea el radio r,

Por puede ser visto desde el teorema de Pitágoras: AB2=2r2,

　∴r=5,

　La longitud del radio de ∴⊙O es 5.

Comentarios: Esta pregunta evalúa preguntas integrales sobre círculos, que involucran el teorema del ángulo circunferencial, el teorema de Pitágoras, la resolución de ecuaciones, las propiedades de las bisectrices perpendiculares, etc. El nivel de comprensión es alto y se requiere que los estudiantes utilicen el conocimientos que han aprendido con flexibilidad.