Acerca del modelado numérico avanzado

Es una nueva disciplina desarrollada en los últimos años. Es una ciencia que combina la teoría matemática y los problemas prácticos. Resume problemas prácticos en problemas matemáticos correspondientes y utiliza conceptos, métodos y teorías matemáticas para realizar análisis e investigaciones en profundidad sobre esta base, a fin de caracterizar problemas prácticos desde una perspectiva cualitativa o cuantitativa y proporcionar datos o soluciones precisos para resolver problemas prácticos. Problemas. Orientación confiable.

[Editar este párrafo] 1. Requisitos para establecer un modelo matemático:

1. Ser veraz y completo.

1) Es verdadera, sistemática y completa, y la imagen refleja el fenómeno objetivo

2) Debe ser representativa

3) Por extrapolación; , se puede obtener un prototipo. Se puede obtener información del objeto sobre las razones del objeto prototipo durante el proceso de investigación y experimento del modelo;

4) Debe reflejar los diversos resultados logrados al completar las tareas básicas y debe ser coherente con la situación real.

2. Sencillo y práctico. En el proceso de modelado, es necesario reflejar las cosas esenciales y sus relaciones, y eliminar las cosas no esenciales que tienen poco impacto en reflejar la realidad objetiva, para que el modelo pueda ser lo más simple y operable posible garantizando al mismo tiempo cierta precisión. y los datos se pueden recopilar fácilmente.

3. Adáptate a los cambios. A medida que cambian las condiciones relevantes y se desarrolla la comprensión de las personas, podemos adaptarnos bien a nuevas situaciones ajustando las variables y parámetros relevantes.

Según el propósito de la investigación, se utiliza una estructura (llamada prototipo real o prototipo) para resumir y expresar de manera aproximada las principales características y relaciones principales de los procesos y fenómenos en estudio utilizando el lenguaje matemático formal. La llamada “matematización”” se refiere a la construcción de modelos matemáticos. El método para comprender las cosas mediante el estudio de sus modelos matemáticos se denomina método de modelo matemático, o método MM para abreviar.

El modelo matemático es el producto de la abstracción matemática. Su prototipo puede ser un objeto específico y sus propiedades y relaciones, o puede ser un objeto matemático y sus propiedades y relaciones. Los modelos matemáticos se pueden dividir en sentido amplio y restringido. Los conceptos matemáticos en un sentido amplio, números, conjuntos, vectores y ecuaciones, pueden denominarse modelos matemáticos. En un sentido estricto, sólo los modelos estructurales de relaciones matemáticas que reflejan problemas específicos y sistemas de cosas específicos se pueden dividir aproximadamente en dos categorías: (1) modelos deterministas que describen los fenómenos inevitables de los objetos, y sus herramientas matemáticas son generalmente ecuaciones de sustitución, ecuaciones diferenciales , Ecuaciones integrales y ecuaciones en diferencias, etc. Los modelos matemáticos de deportistas de élite son frecuentemente mencionados en la práctica deportiva. Según las estadísticas de la encuesta, el modelo velocista moderno de clase mundial mide alrededor de 1,80 m de altura, pesa alrededor de 70 kg y puede correr 100 metros en unos 100 segundos o más.

Una ecuación o desigualdad compuesta por letras, números y otros símbolos matemáticos, o un modelo que utiliza gráficos, imágenes, diagramas de bloques y lógica matemática para describir las características de un sistema y sus conexiones internas o con el mundo exterior. Es una abstracción de un sistema real. Los modelos matemáticos son una herramienta poderosa para estudiar y dominar las leyes del movimiento de los sistemas y son la base para analizar, diseñar, predecir o controlar sistemas reales. Existen muchos modelos matemáticos y diferentes métodos de clasificación.

Modelo estático y modelo dinámico El modelo estático se refiere a la relación entre las variables del sistema a describir que no cambia con el tiempo, y generalmente se expresa mediante ecuaciones algebraicas. El modelo dinámico se refiere a una expresión matemática que describe los cambios en las variables del sistema a lo largo del tiempo, generalmente expresada mediante ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias. La función de transferencia de un sistema comúnmente utilizada en la teoría de control clásica también es un modelo dinámico, porque se transforma a partir de la ecuación diferencial que describe el sistema (ver transformada de Laplace).

El modelo de parámetros distribuidos y el modelo de parámetros agrupados utilizan varias ecuaciones diferenciales parciales para describir las características dinámicas del sistema, mientras que el modelo de parámetros agrupados utiliza ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o no lineales para describir las características dinámicas del sistema. . En muchos casos, los modelos de parámetros distribuidos se pueden reducir a modelos de parámetros agrupados de baja complejidad mediante la discretización espacial.

Los modelos de tiempo continuo y los modelos de tiempo discreto en los que las variables de tiempo cambian dentro de un cierto intervalo se denominan modelos de tiempo continuo. Los modelos mencionados anteriormente descritos mediante ecuaciones diferenciales son todos modelos de tiempo continuo. Cuando se trata de modelos de parámetros agrupados, la variable de tiempo también se puede discretizar y el modelo resultante se denomina modelo de tiempo discreto. Los modelos de tiempo discreto se describen mediante ecuaciones en diferencias.

Modelos estocásticos y deterministas Las relaciones entre variables en los modelos estocásticos se dan en forma de valores estadísticos o distribuciones de probabilidad, mientras que las relaciones entre variables en los modelos deterministas son deterministas.

Modelos paramétricos y no paramétricos Los modelos descritos mediante ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales y funciones de transferencia son todos modelos paramétricos. El establecimiento de un modelo paramétrico consiste en determinar los parámetros en una estructura de modelo conocida. Los modelos paramétricos siempre se obtienen mediante análisis teórico. Los modelos no paramétricos son respuestas obtenidas directa o indirectamente del análisis experimental de sistemas reales. Por ejemplo, la respuesta al impulso o la respuesta al escalón de un sistema registrado experimentalmente es un modelo no paramétrico. Los modelos paramétricos se pueden obtener a partir de modelos no paramétricos utilizando varios métodos de identificación de sistemas. Si la estructura del sistema se puede determinar antes del experimento, el modelo de parámetros se puede obtener directamente mediante la identificación experimental.

La relación entre variables en modelos lineales y no lineales es lineal, y se puede aplicar el principio de superposición, es decir, la respuesta de varias entradas diferentes que actúan sobre el sistema al mismo tiempo es igual a la suma de las respuestas de varias entradas actuando solas. Los modelos lineales son simples y ampliamente utilizados. La relación entre cantidades en un modelo no lineal no es lineal y no satisface el principio de superposición. Cuando esté permitido, los modelos no lineales a menudo se pueden linealizar en modelos lineales. El método consiste en expandir el modelo no lineal a una serie de Taylor en la vecindad del punto de trabajo, conservar los términos de primer orden y omitir los términos de orden superior, de modo que se pueda obtener un modelo lineal aproximado.

[Editar este párrafo] 2. Definición de modelo matemático

Actualmente no existe una definición unificada y precisa de modelo matemático, porque diferentes perspectivas pueden tener diferentes definiciones. Pero podemos dar la siguiente definición. "Un modelo matemático es una estructura abstracta y simplificada sobre una parte del mundo real, utilizada para un propósito especial. Específicamente, un modelo matemático es una ecuación o desigualdad establecida con letras, matemáticas y otros símbolos matemáticos, que describe las características de". cosas objetivas y sus expresiones estructurales matemáticas relacionadas internamente, como gráficos, imágenes, diagramas de bloques, etc.

2. Métodos y pasos para establecer modelos matemáticos

En primer lugar, preparación del modelo

En primer lugar, debemos comprender los antecedentes reales del problema. aclare el propósito del modelado y recopile información necesaria, trate de comprender las características del objeto. En segundo lugar, suposiciones del modelo

Basado en las características del objeto y el propósito del modelado, es un paso crucial para realizar simplificaciones necesarias y razonables del problema y hacer suposiciones en un lenguaje preciso. Si se tienen en cuenta todos los factores del problema, se trata sin duda de un comportamiento valiente y de un método muy pobre. Por lo tanto, un excelente modelador puede dar rienda suelta a su imaginación, percepción y juicio, ser bueno para distinguir prioridades e intentar linealizar y homogeneizar los problemas tanto como sea posible para simplificar el método de procesamiento.

En tercer lugar, construcción del modelo

Basado en los supuestos realizados, analice la relación causal del objeto y utilice las leyes inherentes del objeto y las herramientas matemáticas apropiadas para construir ecuaciones entre varias cantidades. u otras estructuras matemáticas. En este momento, entraremos en un vasto mundo de las matemáticas aplicadas, donde hay muchos niños lindos bajo las rodillas de ancianos que son buenos en matemáticas y probabilidad. Son teoría de grafos, teoría de colas, programación lineal, teoría de juegos y muchas otras. Son verdaderamente un gran país con perspectivas únicas. Pero debemos recordar que los modelos matemáticos se construyen para que más personas los entiendan y los apliquen, por lo que cuanto más simple sea la herramienta, más valiosa será.

Cuarto, solución modelo.

Podemos utilizar diversos métodos matemáticos tradicionales y modernos, especialmente tecnología informática, como resolver ecuaciones, hacer dibujos, demostrar teoremas, operaciones lógicas, operaciones numéricas, etc. Resolver un problema práctico a menudo requiere cálculos complejos y, en muchos casos, el funcionamiento del sistema requiere simulación por computadora, por lo que las habilidades de programación y la familiaridad con los paquetes de software matemático son muy importantes.

Quinto, análisis del modelo

Análisis matemático de la solución del modelo. "Mirando horizontalmente, el costado de la cresta se convierte en un pico, con diferentes alturas". La capacidad de realizar un análisis detallado y preciso de los resultados del modelo determina si su modelo puede alcanzar un nivel superior. Recuerde también que en cualquier caso, se requiere análisis de errores y análisis de estabilidad de datos.

La sexta clasificación del modelo matemático:

Según el campo de aplicación del modelo:

Modelo biomatemático

Modelo matemático médico

Modelo matemático geológico

Modelo económico cuantitativo

Modelo sociológico matemático

Modelo físico matemático

Según si hay factores aleatorios se consideran Clasificación:

Modelo determinista

Modelo estocástico

Según se consideran los cambios del modelo:

Modelo estático

Modelos dinámicos

Clasificación según el método discreto o continuo aplicado:

Modelo discreto

Modelo continuo

Según el método de modelización Clasificación de los métodos matemáticos:

Modelo geométrico

Modelo de ecuaciones diferenciales

Modelo de teoría de grafos

Modelo de teoría de planificación

Modelo de cadena de Markov

Basado en la comprensión que tienen las personas del proceso de desarrollo de las cosas:

Modelo de caja blanca:

Se refiere a aquellos modelos con leyes internas claras. Como mecánica, ciencia térmica, electricidad y cuestiones técnicas de ingeniería relacionadas.

Modelo de caja gris:

Se refiere a aquellos problemas cuyas leyes inherentes no son muy claras. Aún queda mucho trabajo por hacer para establecer y mejorar modelos en diversos grados. Como meteorología, economía ecológica y otros campos.

Modelo de caja negra:

Se refiere a algunos fenómenos cuyas leyes inherentes aún no se comprenden bien. Como las ciencias de la vida y las ciencias sociales. Sin embargo, debido a los muchos factores que influyen y las relaciones complejas, también se puede simplificar a un modelo de caja gris para su estudio.