Secundaria 6
En términos generales, la relación entre dos variables x e y se puede expresar como una función de la forma y = kx (donde k es una constante, k≠0), entonces y es llamada función proporcional x.
La función proporcional es una función lineal, pero una función lineal no es necesariamente una función proporcional. La función proporcional es una forma especial de función lineal, es decir, en la función lineal y = kx + b, si b = 0, la llamada "intercepción del eje y" es cero, es una función proporcional. La relación de la función proporcional se expresa como: y=kx (k es el coeficiente proporcional).
Cuando k > 0 (uno o tres cuadrantes), cuanto mayor es k, más cerca está la imagen del eje Y. El valor de la función y aumenta a medida que aumenta la variable independiente x.
Cuando k < 0 (24 cuadrantes), cuanto menor es k, más cerca está la imagen del eje Y. A medida que aumenta el valor de la variable independiente x, el valor de y disminuye gradualmente.
[Editar este párrafo] Propiedades de la función de proporción
1. Dominio: R (conjunto de números reales)
2. números reales).... .Ampliar el concepto de funciones de escala a lo largo del texto.
En términos generales, la relación entre dos variables x e y se puede expresar como una función de la forma y = kx (donde k es una constante, k≠0), entonces y se llama función proporcional de incógnita.
Las funciones proporcionales son funciones lineales, pero las funciones lineales no son necesariamente funciones proporcionales. La función proporcional es una forma especial de función lineal, es decir, en la función lineal y = kx + b, si b = 0, la llamada "intersección del eje y" es cero, es una función proporcional. La relación de la función proporcional se expresa como: y=kx (k es el coeficiente proporcional).
Cuando k > 0 (uno o tres cuadrantes), cuanto mayor es k, más cerca está la imagen del eje Y. El valor de la función y aumenta a medida que aumenta la variable independiente x.
Cuando k < 0 (24 cuadrantes), cuanto menor es k, más cerca está la imagen del eje Y. A medida que aumenta el valor de la variable independiente x, el valor de y disminuye gradualmente.
[Editar este párrafo] Propiedades de la función de proporción
1. Dominio: R (conjunto de números reales)
2. números reales)
p>3. Verificación de paridad: función impar
4 Monotonicidad: cuando k & gt0, la imagen se ubica en el primer y tercer cuadrante, y y aumenta con. el aumento de x (aumenta monótonamente); cuando k < 0, la imagen se ubica en el segundo y cuarto cuadrante, y y disminuye (disminuye monótonamente) a medida que x aumenta.
5. Periodicidad: No es una función periódica.
6. Eje de simetría: recta, sin eje de simetría.
[Editar este párrafo] Solución a la función de resolución proporcional
Supongamos que la fórmula analítica de la función proporcional es y=kx(k≠0), y traiga las coordenadas de la función proporcional apunta a la fórmula anterior Una vez que se obtiene k, se puede obtener la fórmula analítica de la función de proporción.
Además, si desea encontrar las coordenadas de intersección de la función de proporción y otras funciones, puede combinar las dos ecuaciones de funciones de resolución conocidas y encontrar sus valores x e y.
[Editar este párrafo] Imagen de la función de proporción
La imagen de la función de proporción es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0, 0) y el punto fijo (x , kx). Su pendiente es k y sus intersecciones horizontal y vertical son ambas 0.
[Editar este párrafo] Práctica de la imagen de la función proporcional
1. Tome un valor dentro del rango permitido de X y calcule el valor de Y según la fórmula analítica.
2. Dibujar un punto basándose en los valores de X e Y obtenidos en el primer paso.
3. La línea recta entre el punto dibujado en el paso 2 y el origen.
[Editar este párrafo] Aplicación de la función proporcional
El poder de la función proporcional en problemas de programación lineal también es infinito.
Por ejemplo, el problema de la pendiente depende del valor de k. Cuanto mayor es k, mayor es el ángulo entre la imagen de la función y el eje X, y viceversa.
Además, y=kx es el eje de simetría de la imagen de y = k/x.
① Proporción: Dos cantidades relacionadas. Si una cambia, la otra cambiará en consecuencia. Si la razón (es decir, el cociente) de los dos números correspondientes a estas dos cantidades es cierta, las dos cantidades se denominan cantidades proporcionales y la relación entre ellas se denomina relación proporcional. ① Representado por letras: si las letras X e Y se usan para representar dos cantidades relacionadas, y K se usa para representar su relación, la (determinada) relación proporcional se puede usar de la siguiente manera.
(2) La ley del cambio de dos cantidades relacionadas en proporción directa: para proporción directa, y = kx (k & gt; 0), en este momento, Y y X se expanden y contraen al mismo tiempo tiempo, y la proporción permanece sin cambios.
Por ejemplo, si la velocidad de un automóvil por hora permanece sin cambios, ¿la distancia recorrida es proporcional al tiempo invertido?
Los fabricantes anteriores están todos determinados, por lo que el dividendo y el divisor representan dos cantidades relacionadas, que son directamente proporcionales. Nota: Al juzgar si dos cantidades relacionadas son proporcionales, preste atención a estas dos cantidades relacionadas. Aunque también son una cantidad que cambia a medida que cambia la otra, la proporción de los dos números a los que corresponden no es necesariamente cierta, por lo que no pueden ser directamente proporcionales. Como la edad y el peso de una persona.
[Editar este párrafo] Definición de función proporcional inversa
En términos generales, si se puede utilizar la relación entre dos variables X e Y Y = K/X (donde K es una constante , k ≠0), entonces se dice que Y es la función proporcional inversa de X.
Debido a que y=k/x es una fracción, el rango de valores de la variable independiente X es X≠0 . Y y=k/x a veces se escribe como xy=k o y=kx-1.
[Editar este párrafo] Expresión de función proporcional inversa
Y = k/x donde x es la variable independiente e y es la función de x.
y=k/x=k 1/x
xy=k
y=k x^-1
Y=k \x(k es una constante (k≠0, x no es igual a 0).
[Editar este párrafo] El rango de valores de la variable independiente de la función proporcional inversa
①k≠0; ②General En este caso, el rango de valores de la variable independiente >La gráfica de la función proporcional inversa es una hipérbola.
Las curvas se acercan al eje X y al eje Y , pero no se cruzará con (K≠0).
[Editar este párrafo] Propiedades de la función inversa
Cuando k & gt0, las imágenes se ubican en el. primer y tercer cuadrante respectivamente; cuando k < 0, las imágenes se ubican en el segundo y cuarto cuadrante respectivamente
2. Cuando k & gt0. < 0, en el mismo cuadrante, y aumenta a medida que aumenta x
k & gt0, ambas funciones son funciones sustractivas en x0, k & lt0, ambas funciones son funciones crecientes en x0
.El dominio es x≠0; el rango es y≠0
3. Debido a que en y=k/x(k≠0), X no puede ser 0 e Y no puede ser 0. por lo que la imagen de la función proporcional inversa no puede cruzarse con el eje X o el eje Y.
4 En la imagen de la función proporcional inversa, tome dos puntos cualesquiera P y Q. Los puntos de intersección P y Q. son líneas paralelas al eje X y al eje Y respectivamente. El área del rectángulo encerrado por los ejes de coordenadas es S1 y S2 es S1 = S2 = k |
5. de la función proporcional inversa no solo es una figura axialmente simétrica, sino también una figura centralmente simétrica. Tiene dos ejes de simetría y=x y=-x (es decir, el primero y el tercero, la bisectriz de los cuatro cuadrantes), el centro. de simetría es el origen de coordenadas.
6. Si la función proporcional directa y=mx y la función proporcional inversa y=n/x se cruzan en dos puntos A y B (los signos de my n). Lo mismo), entonces los dos puntos A y B son simétricos con respecto al origen
7 Supongamos que hay una función proporcional inversa y=k/x y una función lineal y=mx+n en el plano. Punto de intersección, B2+4k m ≥ (no menos que) 0.
8. Función proporcional inversa y=k/x: asíntota del eje X y del eje Y
[ Edite esto. Sección] Ejemplos de aplicación de funciones proporcionales inversas
Ejemplo 1 Hay un punto P(m, n) en la imagen de la función proporcional inversa y sus coordenadas están en la ecuación cuadrática de una variable. t2-3t+k=0 con respecto a t La distancia entre P y el origen es raíz cuadrada 13.
Análisis:
Encontrar la función de resolución proporcional inversa es encontrar K , entonces necesitamos enumerar una ecuación sobre K.
Solución: ∫m, n son las dos ecuaciones t2-3t+k=0 con respecto a t.
PO=raíz número 13,
∴ m2+n2=13,
∴(m +n)2-2mn=13,
∴ 9-2k=13.
∴ k=-2
Cuando k=-2, △ = 9+8 > 0,
∴ k=-2 cumple con los requisitos,
Ejemplo 2 Una línea recta corta una hipérbola ubicada en el segundo cuadrante en dos puntos A y A1. Traza una perpendicular a través del punto A al eje X y al eje Y. Los pies verticales son B y C respectivamente. El área del ángulo recto ABOC es 6. Encuentra:
(1) Expresiones analíticas de rectas e hipérbolas;
(2) Coordenadas del punto A y del punto A1.
Análisis: El lado AB y el lado AC del rectángulo ABOC son los segmentos de línea vertical desde el punto A hasta el eje X y el eje Y, respectivamente.
Supongamos que las coordenadas del punto A son (m, n), entonces AB=|n|, AC=|m|,
Según la fórmula del área del rectángulo | | = 6.
Ejemplo 3: Como se muestra en la figura, hay dos puntos A y C perpendiculares al eje X, con pies verticales B y D respectivamente, que conectan OC y OA. Suponga que OC y AB se cruzan en E, el área de △AOE es S1 y el área del cuadrilátero BDCE es S2. Intente comparar los tamaños de S1 y S2.
[Editar este párrafo] Términos matemáticos
Pronunciación y
Explica el concepto básico de función: Generalmente hablando, en un proceso de cambio, existen dos Variables X e Y, para cada valor determinado de X, Y tiene un valor determinado único que le corresponde, entonces decimos que X es una variable independiente e Y es función de cualquier constante, k no es igual a 0). Cuando b = 0, y es una función proporcional de x, y la función proporcional es un caso especial de funciones lineales. Se puede expresar como y=kx.
[Editar este párrafo] Definición básica
Variable: una cantidad cambiante
Constante: una cantidad constante
Las variables independientes x y La función lineal y de x tiene la siguiente relación:
Y=kx+b (k es cualquier constante distinta de cero, b es cualquier constante)
Cuando x toma un valor, y tiene Y solo hay un valor correspondiente a x. Si hay dos o más valores correspondientes a x, no es una función lineal.
x es la variable independiente, y es la variable dependiente, k es una constante e y es una función lineal de x.
Específicamente, cuando b=0, y es una función proporcional de x, es decir: y=kx (k es una constante, pero K≠0) La imagen de la función proporcional pasa por el origen.
Dominio: El rango de valores de la variable independiente debe hacer que la función sea significativa;
[Editar este párrafo] Atributos relacionados
Atributos funcionales
1. El valor de cambio de y es proporcional al valor de cambio correspondiente de X y la relación. es k.
Es decir: y=kx+b(k≠0) (k no es igual a 0, k y b son constantes).
2. Cuando x=0, b es la función en el eje Y y las coordenadas son (0, b).
3.k es la pendiente de la función lineal y=kx+b, k = tan θ (el ángulo θ es el ángulo entre la imagen de la función lineal y la dirección positiva del eje X, θ ≠90°).
Dar forma, tomar, imaginar, intersectar, restar.
4. Cuando b=0 (es decir, y=kx), la imagen de la función lineal se convierte en una función proporcional, que es una función lineal especial.
5. Propiedades de la imagen de función: cuando k es igual y b no es igual, las imágenes son paralelas; cuando k es diferente y b es igual, las imágenes se cruzan cuando k es un recíproco negativo; dos rectas son perpendiculares cuando Cuando k y b son iguales, las dos rectas coinciden.
Propiedades de la imagen
1. Práctica y gráficos: a través de los siguientes tres pasos.
(1) Lista
(2) Puntos de seguimiento [Generalmente tome dos puntos y determine una línea recta desde los dos puntos]
(3) Conexión Puede crear una imagen de una función: una línea recta. Entonces, la gráfica de una función lineal solo necesita conocer 2 puntos y conectarlos en una línea recta. (Por lo general, los puntos de intersección de la imagen de la función y los ejes X e Y son -k puntos b y 0, 0 y b respectivamente).
2. x, y) satisface la ecuación: y=kx+b(k≠0). (2) La coordenada de la función lineal que intersecta al eje Y siempre es (0, b), y la imagen de la función proporcional que siempre intersecta al eje X en (-b/k, 0) está en el origen .
3. Una función no es un número, se refiere a la relación entre dos variables en un determinado proceso de cambio.
4. El cuadrante donde se ubican k, B y la gráfica de la función:
Cuando y=kx (es decir, b es igual a 0, y es proporcional a x):
Cuando k > 0, la recta debe pasar por el primer y tercer cuadrante, y y aumenta a medida que x aumenta;
Cuando k < 0, la recta debe pasar por el segundo y cuarto cuadrantes, y disminuye a medida que x aumenta.
Cuando y=kx+b:
Cuando k & gt0, b & gt0, entonces la imagen de esta función pasa por el primer, segundo y tercer cuadrante.
Cuando k & gt0, b & lt0, entonces la gráfica de esta función pasa por el primer, tercer y cuarto cuadrante.
Cuando k0, la imagen de esta función pasa por el primer, segundo y cuarto cuadrante.
Cuando k < 0, b & lt0, entonces la gráfica de esta función pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Cuando b > 0, la recta debe pasar por el primer y segundo cuadrante;
Cuando b < 0, la recta debe pasar por el tercer y cuarto cuadrante.
Específicamente, cuando b=0, la recta que pasa por el origen o (0, 0) representa la imagen de la función de proporción.
En este momento, cuando k > 0, la línea recta solo pasa por el primer y tercer cuadrante, pero no por el segundo y cuarto cuadrante. Cuando k < 0, la línea recta solo pasa por el segundo y cuarto cuadrante, pero no por el primero y el tercer cuadrante.
4. Relación posicional especial
Cuando dos líneas rectas en el sistema de coordenadas cartesianas planas son paralelas, el valor k en la función de resolución (es decir, el coeficiente del primer término) es igual.
Cuando dos rectas en el plano sistema de coordenadas cartesiano son perpendiculares entre sí, el valor de k en la función de resolución es el recíproco negativo (es decir, el producto de los dos valores de k es -1).
[Editar este párrafo] Expresión
Tipo analítico
①ax+by+c=0【Fórmula general】
②y=kx +b[oblicuo]
(k es la pendiente de la línea recta, b es la intersección longitudinal de la línea recta, la función de proporción b=0)
③y-y1= k(x-x1 )[Pendiente del punto]
(k es la pendiente de la recta, (x1, y1) es el punto por el que pasa la recta)
④ (y-y 1)/(y2-y 1)= (x-x 1)/(x2-x 1) [Fórmula de dos puntos]
((x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos en una línea recta)
⑤x/a-y/b=0[Tipo de intersección]
(A y B son las intersecciones de la línea recta en el eje X y el eje Y eje respectivamente)
Limitaciones de las expresiones analíticas:
①Más requisitos (3);
② y ③ no pueden expresar líneas rectas sin pendiente (líneas rectas paralelas al Eje X);
④Parámetros Demasiados, el cálculo es demasiado complicado
⑤ No se pueden representar líneas rectas paralelas al eje de coordenadas y líneas rectas que pasan por puntos.
Ángulo de inclinación: El ángulo entre el eje X y la recta (el ángulo formado por la recta y la dirección positiva del eje X) se denomina ángulo de inclinación de la recta. Supongamos que la inclinación de la línea recta es a, entonces la pendiente de la línea recta es k=tg(a)
[Editar este párrafo] Fórmulas de uso común
1. Valor k de la imagen de la función: (y1 -y2)/(x1-x2).
2. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje X: |x1-x2|/2.
3. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje Y: |y1-y2|/2.
4. Encuentra la longitud de cualquier segmento de recta: √ (x1-x2) 2+(y1-y2) 2 (Nota: la suma de los cuadrados de (x1-x2) y (y1-y2). ) debajo del signo raíz).
5. Utiliza una función lineal para encontrar las coordenadas de intersección de las dos imágenes: Resuelve las dos funciones.
Dos funciones lineales y1 = k 1x+y 1 = y2 = k2x+b2 de modo que y1x+b1 = k2x+b2 reemplazan el valor de la solución de x=x0 de nuevo a y 1 = k, y0) es y1 =k1x+b1 y y2 = k2x+B2 coordenadas de intersección.
6. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento de línea que conecta dos puntos cualesquiera: [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]
7. dos puntos La primera función de resolución del punto: (x-x 1)/(x 1-x2)=(y-y 1)/(y 1-y2) (donde el denominador es 0 y el numerador es 0).
x y
++ está en el primer cuadrante
+- está en el cuarto cuadrante
-+ está en el segundo cuadrante
-En el tercer cuadrante
8. Si dos rectas y 1 = k 1x+b 1‖Y2 = K2x+B2, entonces k1=k2, b1≠b2.
9. Si dos rectas y 1 = k 1x+b 1⊥y2 = k2x+B2, entonces k1×k2=-1.
10.
Y=k(x-n)+b significa desplazar n unidades hacia la derecha.
Y=k(x+n)+b significa desplazar n unidades hacia la izquierda.
Fórmula: restar a la derecha y sumar a la izquierda (para y=kx+b, solo cambiar k)
Y=kx+b+n significa trasladar n unidades hacia arriba.
Y=kx+b-n es una traslación descendente de n unidades.
Fórmula: aumentar o disminuir (para y=kx+b, solo cambiar b)
[Editar este párrafo] Aplicaciones relacionadas
Aplicaciones en la vida
p>
1. Cuando el tiempo t es constante, la distancia s es una función lineal de la velocidad v..s=vt.
2. es constante, la cantidad de agua en la piscina g es función lineal del tiempo de bombeo t, estableciendo el volumen de agua original s en la piscina. g = S-pies.
3. Cuando la longitud original b del resorte (la longitud sin peso) es constante, la longitud y del resorte después de colgar el peso es una función lineal del peso x, es decir y = kx + b (k es cualquier número positivo).
Preguntas matemáticas
Primero, determine el rango de valores del coeficiente de letras
Ejemplo 1 Si se conoce la función de proporción, entonces cuando k
Solución: Según la definición y las propiedades de la función de proporción, m
En segundo lugar, compare el tamaño del valor X o el valor Y.
Ejemplo 2. Se sabe que los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos en la imagen de la función lineal y=3x+4, Y1 >: Y2, entonces la relación entre x1 y x2 es ().
A.x 1>x2 b.x 1<X2c.x1 = X2D. No puedo estar seguro.
Solución: Según el significado de la pregunta, k = 3 & gt0, y y 1 >; ", x 1 >; x2. Entonces elige a.
En tercer lugar, determine la posición de la imagen de la función
Ejemplo 3. La función lineal y=kx+b satisface kb > 0, y y disminuye a medida que x aumenta, entonces la imagen de esta función no pasa ().
A. El primer cuadrante b. El segundo cuadrante
C. El tercer cuadrante d. El cuarto cuadrante
Solución: A través de kb & gt0, sabemos. k y b tienen el mismo número. Debido a que y disminuye a medida que x aumenta, k
Ejemplo típico
Ejemplo 1. Un resorte de 12 cm sin un objeto suspendido se estirará después de suspender un objeto. La longitud del alargamiento es proporcional a la masa del objeto suspendido. Si se suspende un objeto de 3 kg y la longitud total del resorte es de 13,5 cm, encuentre la relación funcional entre la longitud total del resorte y la masa del objeto suspendido x (kg). Si la longitud total máxima del resorte es
Análisis: este problema ha pasado de ser un problema cualitativo en física a un problema cuantitativo en matemáticas, y también es un problema práctico. El núcleo es que la longitud total del resorte es la suma de la longitud sin carga y la longitud de alargamiento después de la carga. El rango de valores de la variable independiente se puede manejar mediante longitud total máxima → alargamiento máximo → masa máxima y pensamiento práctico.
Solución: Desde la perspectiva del problema, establezca la función en y=kx+12.
Entonces 13,5=3k+12, k=0,5.
La función de resolución es y=0,5x+12.
De 23=0,5x+12: x=22.
∴El rango de valores de la variable independiente x es 0≤x≤22.
Ejemplo 2 Una escuela necesita grabar algunos CD de computadora. Si se graba en una empresa de informática, cada CD costará 8 yuanes. Si lo grabas tú mismo, además de alquilar una grabadora por 120 yuanes, cada CD te costará 4 yuanes. ¿Deben grabarse estos discos en una empresa de informática o usted mismo?
Esta pregunta necesita considerar el rango de x.
Solución: Supongamos que el coste total sea Y yuanes y queme X copias.
Empresa de informática: Y1=8X
Escuela: Y2=4X+120
Cuando X=30, Y1=Y2.
Cuando, las imágenes y las propiedades son puntos de conocimiento de nivel C en las explicaciones del examen de ingreso a la escuela secundaria, especialmente la búsqueda de funciones analíticas basadas en las condiciones de las preguntas y el uso del método de coeficiente indeterminado son puntos de conocimiento de nivel D en Explicaciones del examen de ingreso a la escuela secundaria. A menudo se combina con funciones proporcionales inversas, funciones y ecuaciones cuadráticas, ecuaciones y desigualdades, y aparece en las preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria en forma de preguntas de opción múltiple, preguntas para completar espacios en blanco y preguntas analíticas, que representan aproximadamente 8 puntos. Para resolver tales problemas, a menudo se utilizan métodos como la discusión de clasificación, la combinación de números y formas, ecuaciones y desigualdades.
Ejemplo 3 Si el rango de valores de X en la función lineal y=kx+b es -2≤x≤6, entonces el rango de valores del valor de la función correspondiente es -11≤y≤9. Encuentre la expresión analítica de esta función.
Solución:
(1) Si k > 0, el sistema de ecuaciones puede ser -2k+b=-11.
6k+b=9
Si k=2.5 b=-6, entonces la relación funcional en este momento es y = 2.5x-6.
(2) Si k < 0, el sistema de ecuaciones puede ser -2k+b=9.
6k+b=-11
Si k=-2.5 b=4, entonces la función de resolución en este momento es y=-2.5x+4.
La clave para los puntos de cocción
Esta pregunta evalúa principalmente la comprensión de los estudiantes sobre las propiedades de las funciones. Si K > 0, Y aumentará a medida que X aumente; si k < 0, y disminuirá a medida que x aumente.
Definición y expresión de definición
En términos generales, existe la siguiente relación entre la variable independiente x y la variable dependiente y:
Fórmula general: 1:y = ax ^ 2; +bx+c (a≠0, a, b, c son constantes), entonces y se llama función cuadrática de x.
Cuenta. Coordenadas de vértice (-b/2a, (4ac-b 2)/4a)
2 Tipo de vértice: y = a (x-h) 2+k o y = a (x+m) 2+k. (Las dos fórmulas son esencialmente iguales,
pero ambas son la primera fórmula en los libros de texto de la escuela secundaria)
3. Punto de intersección (con el eje X): y=a. (x-x1) (x-x2)
Conceptos importantes: (a, b, c son constantes, a≠0, a determina la dirección de apertura de la función, a > 0, la dirección de apertura es hacia arriba, a
El lado derecho de la expresión de la función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático
x es la variable independiente e y es la función cuadrática de x.
X1, x2 = [-. b (b 2-4ac) bajo el signo de la raíz]/2a (es decir, la fórmula para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática)
También hay cruces métodos de multiplicación y colocación para encontrar la raíz.
[Editar este párrafo] Imagen de la función cuadrática
En el sistema de coordenadas plano rectangular, dibuja la imagen del cuadrado de la función cuadrática y. =2x.
Se puede ver que la imagen de la función cuadrática es una recta. La parábola interminable. Diferentes gráficas de funciones cuadráticas.
Si la gráfica dibujada es precisa, la. La función cuadrática debe traducirse usando la fórmula general.
Nota: Debe haber una imagen de 1 por sí sola, con un nombre de función al lado.
Dibuja el eje de simetría. e indique la coordenada donde X=
3 intersecta el eje X, y la coordenada donde intersecta el eje Y, las coordenadas del vértice
[Editar este párrafo. ] Propiedades de la parábola
1. El eje de simetría de una parábola es la recta x = -b/2a.
La única intersección entre el eje de simetría y la parábola es el vértice p de. la parábola.
Especialmente cuando b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y (es decir, la recta x=0). La parábola tiene un vértice P con. coordenadas P (-b/2a, (4ac-b 2)/4a)
Cuando -b/2a=0, p está en el eje y Cuando δ = b 2-4ac = 0. , P está en el eje X.
3. El coeficiente cuadrático A determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.
Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba; cuando a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Cuanto mayor |a|, menor será la apertura de la parábola.
4. Tanto el coeficiente lineal b como el coeficiente cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría.
Cuando a y b tienen el mismo signo (es decir, AB > 0), el eje de simetría está a la izquierda en el eje Y porque si el eje de simetría está a la izquierda, el eje de simetría; es menor que 0, es decir, -b/2a
p>Cuando los signos de A y B son diferentes (es decir, AB < 0), el eje de simetría está a la derecha del eje Y . Debido a que el eje de simetría está a la derecha, es mayor que 0, es decir -b/2a > 0, por lo que b/2a debe ser menor que 0, por lo que a y b deben tener signos diferentes.
Se puede registrar simplemente como que la izquierda y la derecha son iguales, es decir, cuando los signos de A y B son iguales (es decir, AB > 0), el eje de simetría está a la izquierda en el Eje Y; cuando los signos de a y b son diferentes.
(es decir, ab < 0), el eje de simetría está en el lado derecho del eje y.
De hecho, B tiene su propio significado geométrico: la función analítica (función lineal) de la recta tangente de la parábola en la intersección de la parábola y el eje Y.
El valor de la pendiente k. Se puede obtener tomando la derivada de una función cuadrática.
5. El término constante c determina el punto de intersección de la parábola y el eje Y.
La parábola intersecta al eje y en (0, c)
6 El número de intersecciones de la parábola y el eje X
Cuando δ. = b 2-4ac > 0 Cuando , la parábola tiene dos puntos de intersección con el eje X.
Cuando δ = b 2-4ac = 0, la parábola tiene 1 punto de intersección con el eje X.
_______
Cuando δ = b 2-4ac < 0, la parábola no tiene intersección con el eje X. El valor de x es el recíproco del número imaginario (x =-b√b^2-4ac, multiplicado por.
El número imaginario I, toda la ecuación se divide por 2a)
Cuando a & gt0 , la función obtiene el valor mínimo f(-b/2a)= 4ac-B2/4a en x= -b/2a; x & gt-b/2a} es una función creciente; la apertura de la parábola es hacia arriba; el rango de valores de la función es {y | y ≥ 4ac-b 2/4a}, y viceversa.
Cuando b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y. En este momento, la función es una función par y la expresión analítica se transforma en y = ax ^ 2+c (a≠0).
7. Forma de valor especial
① Cuando x = 1, y=a+b+c.
②Cuando x =-1, y=a-b+c.
③Cuando x = 2, y=4a+2b+c.
④Cuando x =-2, y=4a-2b+c.
8. Dominio: r
Rango: (corresponde a la expresión analítica y solo analiza el caso en el que A es mayor que 0. Se pide a los lectores que infieran si A es menor que 0. 0) ① [(4ac-b 2 )/4a,
Infinito positivo); ②[t, infinito positivo]
Paridad: función par
Periodicidad : Ninguna
Fórmula analítica:
①y = ax2+bx+c[fórmula general]
⑴a≠0
(2) A > 0, la parábola se abre hacia arriba ;A < 0, la parábola se abre hacia abajo;
⑶Punto extremo: (-b/2a, (4ac-B2)/4a);
⑷δ=b^2- 4ac,
δ> 0, la imagen cruza el eje x en dos puntos:
([-b-√δ]/2a, 0) y ([-b+√δ] /2a, 0);
δ= 0, la imagen se cruza con el eje x en un punto:
(-b/2a, 0);
δ < 0, la imagen no tiene intersección con el eje X;
②y = a(x-h)2+k[vertex]
El punto extremo correspondiente en este momento es (h, k), donde h=-b/2a, k =(4ac-B2)/4a;
③y=a(x-x1)(x -x2)[Intersección (bisección)](a≠0)
Eje de simetría X=(X1+X2)/2Cuando a>: 0 y X≥(X1+X2)/2, y aumenta con el aumento de Cuando ≤(X1+X2)/2, y sigue Sustituya X e Y para obtener la fórmula analítica (generalmente conectada mediante una ecuación cuadrática)
Uso).
[Editar este párrafo] Funciones cuadráticas y ecuaciones cuadráticas
En particular, funciones cuadráticas (en adelante funciones) y = ax 2+bx+c,
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Cuando y=0, la función cuadrática es una ecuación cuadrática de una variable (en lo sucesivo, la ecuación) alrededor de x.
Es decir, ax ^ 2+bx+c = 0.
En este momento, si la gráfica de la función intersecta el eje X significa si la ecuación tiene raíces reales.
La abscisa de la intersección de la función y el eje X es la raíz de la ecuación.
1. Función cuadrática y = ax ^ 2;, y=a(x-h)^2;, y = a (x-h) 2+k, y = ax 2+bx+c (varios, a ≠0) tienen la misma forma, pero diferentes posiciones. Sus coordenadas de vértice y ejes de simetría son los siguientes:
Fórmula analítica
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
Coordenadas de vértice
(0,0)
(0,K)
(h,0)
(h, k )
(-b/2a,4ac-b^2/4a)
Eje de simetría
x=0
x= 0
x=h
x=h
x=-b/2a
Cuando h & gt0, y = a( La imagen de x-h)2; se puede representar mediante la parábola y = ax ^ 2; mueve h unidades paralelas a la derecha,
Cuando h < 0, se obtiene moviendo |h| paralelo a la izquierda.
Cuando h & gt0, k & gt0, parábola y = ax ^ 2; mueve H unidades paralelas a la derecha y luego mueve K unidades hacia arriba, puedes obtener y = a (x-h) 2+k. La imagen de Mueve | k unidades para obtener;
Cuando h0, mueve la parábola paralela a la izquierda |h unidades, y luego muévela hacia arriba K unidades para obtener y=a(x+h)2. +k Imagen;
Cuando h < 0, k & lt0, mueva la parábola paralela a la izquierda |h unidades, y luego muévala hacia abajo |k unidades para obtener y=a(x-h| )2+ La imagen de k; al trasladar una parábola hacia arriba o hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, se puede abreviar como "arriba más abajo, izquierda más derecha menos".
Así que estudia la imagen de la parábola Y = AX ^ 2+BX+C(A≠0), y cambia la fórmula general a Y = A(X-H)2 a través de la fórmula; +k, puede determinar claramente las coordenadas de su vértice, eje de simetría y posición aproximada de la parábola, lo que resulta conveniente para dibujar imágenes.
2. La imagen de la parábola y = ax ^ 2+bx+c(a≠0): cuando a >: 0, la apertura es hacia arriba, cuando a
3. Parábola y = ax ^ 2+bx+c(a≠0), si a > 0, cuando x ≤ -b/2a, y disminuye a medida que x aumenta cuando x ≥ -b/2a, y aumenta a medida que x aumenta, si; a
4. La intersección de la imagen de la parábola y = ax 2+bx+c y el eje de coordenadas:
(1) La imagen debe ser consistente con Y Los ejes se cruzan, y las coordenadas de intersección son (0, c);
(2) Cuando △ = b 2-4ac >; la imagen cruza el eje x en dos puntos A (x?, 0). ) y B(x?0), donde x1, x2 son la ecuación cuadrática ax ^ 2+bx+c = 0.
(a≠0). ¿La distancia entre estos dos puntos AB=|x? -¿incógnita? | =∣△/∣a∣(δ bajo la raíz del valor absoluto de a) Además, la distancia entre cualquier par de puntos simétricos en la parábola puede ser | 2× (-b/2a)-a | es la abscisa de uno de los puntos).
Cuando △ = 0, la imagen tiene solo un punto de intersección con el eje X;
Cuando △0, la imagen cae por encima del eje X. Cuando X es cualquier real. número, hay y & gt0; Cuando a & lt0, la imagen cae por debajo del eje X, y cuando (a <0), entonces cuando x = -b/2a, el valor mínimo (mayor) de y = ( 4ac-b 2)/4a.
La abscisa del vértice es el valor de la variable independiente cuando se obtiene el valor máximo, y la ordenada del vértice es el valor del valor máximo.
6. Utiliza el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de la función cuadrática.
(1) Cuando la condición dada es que la imagen conocida pasa por tres puntos conocidos o tres pares de valores correspondientes de x e y conocidos, la expresión analítica se puede establecer en una forma general. :
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2) Cuando la condición dada son las coordenadas del vértice o el eje de simetría o el valor máximo (mínimo) de la imagen conocida, la fórmula analítica se puede establecer como el vértice: y = a (x-h) 2+k (a ≠ 0).
(3) Cuando las condiciones dadas son las coordenadas de los dos puntos de intersección de la imagen conocida y el eje X, la fórmula analítica se puede establecer en dos fórmulas: y=a(x-x?)( x-x?)(a≠0).
7. El conocimiento de funciones cuadráticas se integra fácilmente con otros conocimientos para producir problemas integrales más complejos. Por lo tanto, las preguntas integrales basadas en el conocimiento de funciones cuadráticas son temas candentes en el examen de ingreso a la escuela secundaria y, a menudo, aparecen en forma de preguntas importantes.