Resumen de fórmulas matemáticas de la Edición de Educación Popular de las escuelas secundarias....
Conceptos, fórmulas y teoremas de uso común
Los números enteros (incluidos: enteros positivos, 0, enteros negativos) y fracciones (incluidos: decimales finitos y decimales recurrentes infinitos) son números racionales <. /p>
Por ejemplo: -3,,0.231,0.737373...,,. Los decimales infinitos no recurrentes se llaman números irracionales. Por ejemplo: π, -,0.1010010001...(dos unos seguidos de uno más. 0). Los números racionales y los números irracionales se denominan colectivamente números reales.
Valor absoluto: a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=-a.
Por ejemplo: 丨-丨=;丨3.14-π丨=π-3.14.
3. Un número aproximado, comenzando desde el primer número de la izquierda que no es 0, hasta el último número, todos. A los números se les llama número aproximado Cifras significativas Por ejemplo: 0,05972 tiene una precisión de 0,001 para obtener 0,060. El resultado tiene dos cifras significativas 6,0.
4. Escribe un número en la forma ±a×. 10n (donde 1≤a<10,n es un número entero), esta notación se llama notación científica.
Por ejemplo: -40700=-4,07×105, 0,000043=4,3×10-5.
5. Cada vez que el punto decimal de la raíz cuadrada se mueve 2 lugares, el punto decimal de la raíz cuadrada aritmética se mueve 1 lugar en la misma dirección; cada vez que el punto decimal del radicando se mueve 3 lugares, el decimal; punto de la raíz cúbica se mueve 1 lugar en la misma dirección.
Por ejemplo: si se conoce = 0,4858, entonces = 48,58 si se conoce = 1,558, entonces = 0,1588.
6. Multiplicación y división de números enteros:
① Multiplica y divide varios monomios, y los coeficientes Multiplica y divide con coeficientes, y combina potencias con la misma base para multiplicar y dividir.
②Multiplica un monomio por un polinomio, multiplica el monomio por cada término del polinomio.
③Multiplica el polinomio por el polinomio, Multiplica cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio.
④ Divide un polinomio entre un monomio y divide cada término del polinomio entre el monomio.
7. Propiedades operativas de la potencia:
am×an=am+n.
am÷an=am－n.
(am)n=amn .
(ab)n=anbn.
()n=n.
a-n=n, especialmente: ()-n=() n.⑦a0=1(a≠0).
Por ejemplo: a3×a2 =a5, a6÷a2=a4, (a3)2=a6, (3a3)3=27a9, (-3) -1=-,5-2==,()-2=()2=,(- 3.14)0=1,(-)0=1.
8. Fórmula de multiplicación (a la inversa. Esta es la fórmula para factorizar):
①(a+b)(a-b). )=a2-b2.
②(a±b)2=a2±2ab+ b2.
③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 .
④(a-b)(a2+ab+b2)=a3- b3;a2+b2=(a+b)2-2ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab .
9. El principio para elegir el método de factorización es: primero vea si puede encontrar factores comunes. En ausencia de factores comunes: use la fórmula de diferencia de cuadrados o la fórmula de diferencia de cubos. binomios, use el método de multiplicación cruzada para trinomios (especialmente use la fórmula del cuadrado perfecto) y para tres o más términos Use el método de descomposición por agrupación Nota: La factorización debe realizarse hasta que cada factor polinómico ya no pueda descomponerse.
10. Operaciones con fracciones: La multiplicación y la división primero deben descomponer el numerador y el denominador en factores y revertir la fórmula de la división, reducir la fracción y luego multiplicar para la suma y la resta, primero se debe factorizar el denominador y luego dividirlo; (el denominador no se puede eliminar. Nota: el resultado debe convertirse a la fracción más simple.
11 .Fórmula radical cuadrática:
①()2=a(a≥0). ),
②=丨a丨,
③=×,
p>④=(a>0,b≥0).
Por ejemplo: ①(3)2=45.②=6.③Cuando a<0, =-la raíz cuadrada de a.④ =La raíz cuadrada de 4=±2.
12. Ecuación cuadrática de una variable: Para la ecuación: ax2+bx+c=0:
Encontrar
La fórmula de la raíz es x=, donde =b2-4ac se llama discriminante de la raíz. Cuando Δ>0, la ecuación tiene dos raíces reales desiguales cuando Δ=0, la ecuación tiene raíces reales iguales cuando Δ< Cuando 0; , la ecuación no tiene raíces reales Nota: Cuando Δ≥0, la ecuación tiene raíces reales.
Si la ecuación tiene dos raíces reales x1 y x2, entonces
x1+x2. =-,x1x2=, y el trinomio cuadrático ax2+bx+c se puede descomponer en a(x-x1)(x-x2).
③La cuadrática de una variable con a y b como raíces. la ecuación es x2-(a+b)x+ab=0.
13 Se debe verificar la resolución de ecuaciones fraccionarias (eliminando el denominador o cambiando elementos) y ecuaciones irracionales (cuadrando ambos lados o cambiando elementos). La forma es la siguiente El sistema de ecuaciones de: se resuelve mediante el método de sustitución; el sistema de ecuaciones de la forma: primero se descompone en dos ecuaciones lineales, luego estas dos ecuaciones se combinan con otra ecuación para formar dos sistemas de ecuaciones, y luego se utiliza el método de sustitución. Resuelve estos dos sistemas de ecuaciones por separado.
14. Si ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo, el signo de desigualdad debe cambiar de dirección.
15. Sistema de coordenadas cartesiano plano:
①Las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son como se muestran en la figura.
②El punto en el eje horizontal (x- eje), la ordenada es 0; el punto en el eje vertical (eje y), la abscisa es 0.
③Dos puntos que son simétricos con respecto a la abscisa tienen la misma abscisa (las ordenadas son números opuestos entre sí);
Dos puntos que son simétricos con respecto a la ordenada, las coordenadas verticales son las mismas (las abscisas son números opuestos entre sí);
Para dos puntos que son simétricas con respecto al origen, la abscisa y las coordenadas verticales son números opuestos entre sí.
16. Función lineal La imagen de y=kx+b(k≠0) es una línea recta (b es la ordenada). de la intersección de la línea recta y el eje y). Cuando k>0, y aumenta con el aumento de x (la línea recta va de izquierda a derecha cuando k<0, y disminuye a medida que x aumenta); (la línea recta disminuye de izquierda a derecha). Especial: cuando b=0, y=kx también se llama función proporcional (y es directamente proporcional a x), la gráfica debe pasar por el origen.
17. La gráfica de la función proporcional inversa y=(k≠0) se llama hipérbola. Cuando k>0, la hipérbola está en el primer y tercer cuadrante (de izquierda a derecha (decreciente); cuando k<0, la hipérbola está en el segundo y cuarto cuadrante (subiendo de izquierda a derecha). Por lo tanto, su aumento y disminución es opuesto al de una función lineal.
18. bx+c(a≠0) se llama parábola (c es la ordenada de la intersección de la parábola y el eje y).
Cuando a>0, la apertura es hacia arriba cuando a<; 0, la apertura es hacia arriba y hacia abajo.
La coordenada del vértice es (-,) y el eje de simetría es la línea recta x=-.
Especial: la coordenada del vértice de la parábola y=a(x-h)2+k es (h, k), y el eje de simetría es la recta x=h.
Nota: Cómo encontrar la expresión analítica
①Si se conocen las coordenadas de los tres puntos, configúrelo en la forma general y=ax2+bx+c;
②Se conocen las coordenadas del vértice (h, k), luego configúrelo como la fórmula del vértice y=a(x-h)2+k;
③ Dadas las coordenadas (x1,0) y (x2,0) de los dos puntos de intersección de la parábola y el eje x, establezca la fórmula de intersección y=a(x-x1)(x-x2).
19. La relación posicional entre la parábola y el eje x: Para la parábola y=ax2+bx+c
①Cuando Δ<0, no tiene intersección con x.
②Cuando Δ=0, solo hay un punto de intersección con el eje x (tangencial al eje x).
③Cuando Δ>0, tiene dos puntos de intersección con el eje x (x1,0) y (x2,0), donde x1 y x2 son las dos raíces de la ecuación ax2+bx+c =0.
20. Estadísticas preliminares: (1) Concepto:
La totalidad de los objetos a investigar se llama global, y a cada uno de ellos se le llama objeto de investigación. individuo A una parte de los individuos extraídos de la población se le llama muestra de la población, y al número de individuos de la muestra se le llama tamaño de muestra.
En un conjunto de datos, el número que aparece. con mayor frecuencia (a veces más que a), se denomina moda de este conjunto de datos.
Organiza un conjunto de datos en orden de tamaño y llama al número del medio (o al promedio de dos números) mediana de este conjunto de datos Número de dígitos.
(2) Fórmula: Supongamos que hay n números x1, x2,...,xn, entonces:
①Promedio = (.
x1+x2+…+xn).
②Varianza S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2 (se usa cuando es un número entero)
③S2=[(x12+x22+…+xn2)-n()2]. Nota: Utilice esta fórmula cuando haya pocos dígitos en cada dato o el promedio sea una fracción.
④Si Reste un número apropiado a de cada uno de los n números x1, , media = a+, Cuanto mayor sea la varianza, mayor será la fluctuación de este conjunto de datos. Por lo general, la varianza muestral se utiliza para estimar la varianza poblacional y la media muestral. se utiliza para estimar la media poblacional. La raíz cuadrada aritmética de la varianza se llama desviación estándar
(3) Frecuencia: ① Divide un conjunto de números en varios grupos, distancia del grupo = (valor máximo - mínimo). valor) ÷ número de grupos (al encontrar el número de grupos, use el método final
para obtener un número entero), en este momento, el número de datos que caen en un determinado grupo se llama frecuencia de este grupo, y la relación entre la frecuencia de cada grupo y el número total de datos
se llama frecuencia de este grupo. Por lo tanto, cada grupo La suma de las frecuencias es igual a 1. En la distribución de frecuencia. histograma, el área de cada rectángulo pequeño es igual a la frecuencia del grupo correspondiente. La suma de las áreas de cada rectángulo pequeño es igual a 1.
21. Función trigonométrica de ángulo agudo:
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①Supongamos que ∠A es cualquier ángulo agudo de RtΔ, entonces el seno de ∠A: sinA=, el coseno de ∠A: cosA=, la tangente de ∠A: tanA=, y la cotangente de ∠A: cotA= .
Y sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin2A+cos2A=1.0
②Fórmula del coángulo: sin(900-A)=cosA,cos(900-A )=sinA,tg (900-A)=ctgA,ctg(900-A)=tgA.
③Valores de funciones trigonométricas de ángulos especiales: sin300=cos600=, sin450=cos450=, sin600= cos300=, sin00=
cos900=0, sin900=cos00=1, tg300=ctg600=, tg450=ctg450=1, tg600=ctg300=, tg00=ctg900=0.
④Pendiente i de la pendiente ==.Supongamos que el ángulo de la pendiente es α, entonces i=tgα=.
22. Triángulo:
(1) En un triángulo: Los lados equiláteros corresponden a ángulos iguales, y ángulos iguales corresponden a ángulos iguales.
(2 Los métodos para demostrar que dos formas triples son congruentes son: SAS, AAS, ASA, SSS, HL.
(3) En RtΔ, la línea media de la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
(4) Los métodos para demostrar que un triángulo es un triángulo rectángulo son:
①Primero demuestra que hay un ángulo igual a 900.
②Primero demuestra que el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
③Primero demuestra que la línea media de un lado es igual a la mitad de este lado.
④El triángulo La línea mediana es paralela al tercer lado e igual a la mitad del tercer lado.
⑤En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo del vértice coincide con la línea media y la altura de la base.
23. Cuadrilátero:
(1) La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a (n-2)1800, y la suma de los ángulos exteriores es igual a 3600.
(2) Propiedades de los paralelogramos: Los lados opuestos son paralelos e iguales; son iguales; los ángulos adyacentes son complementarios; las diagonales se bisecan.
(3) Los métodos para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo son:
① Primero, demuestra que dos conjuntos de opuestos los lados son paralelos.
②Primero demuestra que dos conjuntos de lados opuestos son iguales.
③Primero demuestra que un conjunto de lados opuestos son paralelos e iguales.
④Primero Demuestre que las dos diagonales se bisecan entre sí.
⑤Demuestre que las dos diagonales son iguales.
(4) Las diagonales de un rectángulo son iguales y se bisecan entre sí las diagonales de a; los rombos son iguales. Las líneas se bisecan perpendicularmente y los cuatro lados son iguales.
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(5) Los métodos para demostrar que un cuadrilátero es un rectángulo son:
① Primero prueba que tiene tres ángulos rectos.
② Primero prueba que es un paralelogramo, y luego demostrar que uno de sus ángulos es recto o las diagonales son iguales.
(6) Los métodos para demostrar que un cuadrilátero es un rombo son:
① Primero demuestra que sus cuatro lados son iguales.
② Primero demuestra que es un paralelogramo, y luego demuestra que tiene un conjunto de lados adyacentes que son iguales o que las diagonales son perpendiculares entre sí.
(7) Un cuadrado es a la vez un rectángulo y un rombo, y tiene las características de un rectángulo y un rombo. Todas las propiedades.
(8) La línea mediana del trapezoide es paralela. a las dos bases e igual a la mitad de la suma de las dos bases.
(9) Las figuras axisimétricas incluyen: segmentos de línea, ángulos, triángulo isósceles, trapezoide isósceles, rectángulo, rombo, cuadrado, polígono regular, círculo.
(10) Las figuras con simetría central incluyen: segmento de recta, paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado y el número de lados es un número par. Polígonos regulares, círculos.
24 Los métodos para demostrar que dos triángulos son semejantes son:
Primero demuestra que los dos ángulos correspondientes son iguales.
Primero demuestra que los dos lados corresponden a Proporcional y los ángulos son iguales. .
Está demostrado que los tres lados son proporcionales.
Está demostrado que la hipotenusa y un lado rectángulo son proporcionales Las propiedades de los triángulos semejantes: la proporción alta correspondiente. , La razón de las bisectrices de los ángulos correspondientes, la razón de las líneas medias correspondientes y la razón de los perímetros son todas iguales a la razón de similitud. La razón de áreas es igual al cuadrado de la razón de similitud.
25. Teorema de corte paralelo: ① Figura 1, DE ∥BC=.
②Como se muestra en la Figura 2, si AB∥CD∥EF, entonces =,=.
26. Teorema de proyección: En la Figura 3, en ΔABC, si ∠ACB= 900,
CD⊥AB, entonces: ①AC2=AD·AB.
(1) Teorema del diámetro perpendicular: Si una línea recta tiene dos de las siguientes cinco propiedades: ① pasa por el centro del círculo; ② es perpendicular a la cuerda; ; ③ biseca la cuerda; ④ biseca la cuerda El arco menor de .
(2) Los arcos entre dos cuerdas paralelas son iguales.
(3) En el mismo círculo o círculos iguales, si dos ángulos centrales, dos arcos y dos Si un conjunto de cantidades en la distancia entre el centro de la cuerda de una cuerda o dos cuerdas es igual, entonces los otros tres conjuntos de cantidades correspondientes a él son todos iguales respectivamente.
(4) El grado del ángulo central de un círculo es igual al grado del arco al que corresponde Grado.
(5) El ángulo circunferencial subtendido por un arco es igual a la mitad del ángulo central subtendido por él.
(6) El ángulo circunferencial es igual al grado del arco subtendido por él.
(7) El ángulo tangente a. una cuerda es igual a la mitad del grado del arco que encierra.
(8) Los ángulos circunferenciales subtendidos por el mismo arco o arcos iguales son iguales.
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(9) En círculos congruentes o círculos iguales, los arcos subtendidos por ángulos circunferenciales iguales son iguales.
(10).La cuerda subtendida por un ángulo circunferencial de 900 es el diámetro.
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(11) Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en un círculo son complementarios, y el ángulo externo es igual a su ángulo opuesto interno.
28. La relación posicional entre una recta y un círculo:
(1 ) Si el radio de ⊙O es r y la distancia del centro del círculo a la recta L es d, entonces:
①d< rLa recta L corta a ⊙O.
②d=rLa recta L y ⊙O son tangentes.
③d>rLa recta L está separada de ⊙O.
(2) Teorema de determinación de la línea tangente: La línea recta que pasa por el extremo exterior del radio y es perpendicular a este radio es La línea tangente de un círculo. Por el contrario: el radio de la línea tangente que pasa por el punto tangente. perpendicularmente.
(3) El teorema de la longitud de la línea tangente, el teorema del ángulo tangente de la cuerda, el teorema de la cuerda que se cruza y su corolario, el teorema de la línea de corte y su corolario.
(4) El centro de la circunferencia inscrita de un triángulo se llama incentro del triángulo. El incentro del triángulo es el punto de intersección de las bisectrices de los tres ángulos interiores. El centro de la circunferencia circunscrita del triángulo se llama circuncentro del triángulo. triángulo. El circuncentro del triángulo es el centro de los tres lados.
(5) El radio del círculo inscrito de RtΔ R dentro de =, el radio del círculo inscrito de. cualquier polígono R dentro =.
(6) Fuera del círculo La suma de un conjunto de lados opuestos de un cuadrilátero es igual a la suma del otro conjunto de lados opuestos
.
29. La relación posicional entre círculos:
Supongamos que los radios de los dos círculos son R y r, y la distancia entre los centros de los círculos es d, entonces:
①d>R +r Los dos círculos están circunscritos.
②d=R+r Los dos círculos están circunscritos.
③R－r ④d=R-r está inscrito en los dos círculos. ⑤d 30. Líneas auxiliares a menudo dibujadas en círculos: Cuando dos círculos se cruzan, a menudo forman una línea tangente común, que es una línea que conecta sus centros. Cuando dos círculos se cruzan , a menudo forman una línea tangente común, que conecta sus centros. Si se conoce la línea tangente, el radio a menudo se dibuja a través del punto tangente. Se conoce el diámetro, y a menudo se dibuja el ángulo circunferencial subtendido por el diámetro. Para resolver problemas relacionados con cuerdas, se encuentra la distancia entre el centro de la cuerda. (6) El punto medio de un arco es siempre conectado al centro de un círculo. 31. Cada vértice biseca la circunferencia de un polígono regular de n lados. Todos los lados son iguales, todos los ángulos son iguales y cada ángulo interior = grado, central. ángulo = ángulo exterior = grados. 32. Fórmula del área: S positivo Δ = × (longitud del lado) 2. S paralelogramo = base × altura . S rombo = base × altura = × (producto de diagonales) ④S círculo = πR2. ⑤C circunferencia del círculo = 2πR ⑥Longitud del arco L=. ⑦Sector S == LR. ⑧Lado del cilindro S = circunferencia de la base × altura. ⑨Lado del cono S = × base circunferencia × barra colectora = πrR y 2πr = (como se muestra en la figura anterior).