Periodicidad y simetría de funciones

Le preguntaste a la persona adecuada, la imagen no es una línea recta, sino una función por partes. Si dibujas el dibujo con cuidado, personalmente llego a una conclusión:

El período de la función periódica simétrica utilizable de la función impar es 4 veces mayor que el de la simétrica (1).

Funciones pares El período de una función periódica simétrica utilizable es el doble que el de una simétrica (2)

Y viceversa. No entraré en la explicación aquí, pero le demostraré la conclusión anterior.

Demuestre que la función de la proposición (1) es simétrica con respecto a x=a, entonces f(2a x)=f(0-x).

Sustituyendo las propiedades de las funciones impares, obtenemos f(x 2a)=f(-x)=-f(x).

Si x se reemplaza por x 2a, f(x 4a)=-f(x 2a)=-(-f(x))=f(x), es decir, f(x 4a) =f( x) es una función periódica con período 4a.

Demuestre que la función de la proposición (2) es simétrica con respecto a x=a, entonces f(2a x)=f(0-x).

F(x 2a)=f(-x)=f(x), es decir, f(x 2a)=f(x) es una función periódica con un período de 2a.

Ahora resuelve tu problema: f(-25)= f(-1)f(80)= f(0)f(11)= f(3)= f(1)(porque la función es simétrica con respecto a x=2).

Debido a que es una función impar y su dominio incluye 0, entonces f(0)=0 (esto es de sentido común. Si el supuesto no es igual a 0, se violará cuando x=0 y y toma dos valores. El principio de que las funciones no pueden ser uno a dos).

Si la función impar no cambia su monotonicidad, también es una función creciente.

Entonces f (-1)

Es decir, f(-25)< f(80) lt f(11)