Preguntas de matemáticas para el tercer grado de secundaria

Siete (Esta pregunta vale 7 puntos)

23. Se sabe que: la ecuación sobre x tiene dos raíces reales, la ecuación sobre y tiene dos raíces reales, y . Cuando , encuentre el rango de valores de m.

8. (Esta pregunta vale 8 puntos)

24. Se sabe que: AB es el diámetro de la semicircunferencia O, el punto C se mueve sobre la línea de extensión de BA (el punto C y el punto A no coinciden), la semicircunferencia M con OC como diámetro corta a la semicircunferencia O en el punto D, y la bisectriz de ∠DCB es el semicírculo M que se cruza en el punto E.

(1) Verificar: CD es la tangente del semicírculo O (Figura 1).

(2) Concluir EF⊥AB en el punto F (Figura 2), adivinar que EF es. igual que el existente Qué mitad de los segmentos de línea son iguales, y pruébalo;

(3) Bajo las condiciones anteriores, la línea paralela CB que pasa por el punto E corta a CD en el punto N, cuando NA es tangente al semicírculo O (Figura 3), encuentre el valor tangente de ∠EOC.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

23. Solución: ∵ La ecuación sobre x tiene dos raíces reales x1 y x2

Resolver para obtener ①

∵ La ecuación sobre y tiene dos raíces reales

Solución Obtener 0≤n≤4

Obtener de la relación entre raíces y coeficientes

Ordenar, obtener

Obtener de la gráfica de la función cuadrática

Cuando ②

De ① y ②, el rango de valores de m es

ocho,

24. (1) Prueba: como se muestra en la Figura 1, conecte OD, luego OD es el radio del semicírculo O

Figura 1

∵OC es el diámetro del semicírculo M

∴ ∠CDO=90°

∴CD es la recta tangente de la semicircunferencia O.

(2) Conjetura: .

Prueba 3: Como se muestra en la figura, conecta OD y ME, y OD y ME se cruzan en el punto H

∵CE biseca ∠DCB

∴ ∴ ME⊥OD , OH

∵EF⊥CO ∴∠MFE=∠MHO=90°

∵∠EMF=∠OMH, ME=MO

∴ △MEF≌ △MOH

∴EF=OH ∴

(3) Solución: Como se muestra en la Figura 3, extienda OE e interseque CD en el punto K

Figura 3

Supongamos que OF=x, EF=y, entonces OA=2y

∵NE//CB, EF⊥CB, NA corta el semicírculo O en el punto A

∴Cuadrilátero AFEN Es un rectángulo

∴

Igual que (2) Prueba 1, E es el punto medio de OK

∴N es el punto medio de CK

∴Rt△CEF∽Rt△EOF

∴

∴

Resolver

∴ tan∠EOC=3

25. (1) Solución: ∵ La parábola corta al eje x en dos puntos A y B

∴La ecuación sobre x tiene dos raíces reales desiguales

Solución

∵El punto A está a la izquierda del punto B, y mgt 0, ∴A (-m, 0), B (2m, 0)

Solución 2: Como se muestra en la Figura 2, hágalo. que pasa por el punto O OG//AC intersecta a BE en el punto G

Figura 2

∴△CED∽△OGD ∴

∵DC=DO ∴CE=OG

∵OG//AC ∴△BOG∽△BAE ∴

∵OB=2m, AB=3m ∴

(3) Solución 1: Como se muestra en la Figura 3

Figura 3

∵El punto C está en la parábola (no coincide con el punto A), y las distancias entre los puntos C y A al eje y son iguales

∴C (m , 2m2)

Pase por el punto E para hacer el EP alto en el lado DC, y pase por el punto A para hacer el AQ alto en el lado OC

∴EP//AQ

∴△CEP∽△CAQ

∴

∵

∴

La solución es m=2

∴ La fórmula analítica de la parábola es

Las coordenadas del punto C son (2, 8), y las coordenadas del punto B son (4, 0)

Dibuje el eje x que pasa por los puntos D y C respectivamente. La línea vertical corta el eje x en los puntos M y N

∴DM//CN

∵D es el punto medio de OC

∴

∴Las coordenadas del punto D son (1, 4)

Sea el análisis fórmula de la recta BE be

∴La fórmula analítica de la recta BE es

Solución 2: Como se muestra en la Figura 4, conectando OE

Figura 4

∵D es el punto medio de OC

∴

Lo siguiente es lo mismo que (3) Solución 1

23. Como se muestra en la Figura 1, OP es la bisectriz de ∠MON. Utilice esta figura para dibujar un par de triángulos congruentes con la línea donde se encuentra OP como eje de simetría. Consulte este método para hacer triángulos congruentes y responda las siguientes preguntas:

(1) Como se muestra en la Figura ②, en △ABC, ∠ACB es un ángulo recto, ∠B=60°, AD y CE son respectivamente Las bisectrices de ∠BAC y ∠BCA, AD y CE se cruzan en el punto F. Juzgue y escriba la relación cuantitativa entre FE y FD;

(2) Como se muestra en la Figura △ABC, si ∠ACB no es un ángulo recto y las otras condiciones en (1) permanecen sin cambios, por favor Dígame, ¿sigue siendo válida su conclusión en (1)? Si es cierto, pruébelo; si no es cierto, explique el motivo.

24. Se sabe que la parábola y=ax2 bx c se cruza con el eje y en el punto A (0, 3) y con el eje x en dos puntos B (1, 0) y C (5, 0) respectivamente. .

(1) Encuentre la fórmula analítica de esta parábola;

(2) Si el punto D es un punto de trisección del segmento de línea OA, encuentre la fórmula analítica de la línea recta DC <; /p >

(3) Si un punto en movimiento P comienza desde el punto medio M de OA, primero alcanza un punto en el eje x (establecido como punto E), y luego alcanza un punto en el eje de simetría del parábola (establecida como punto F) y finalmente se mueve al punto A. Encuentre las coordenadas del punto E y el punto F que hacen que la ruta total del movimiento del punto P sea la más corta y encuentre la longitud de esta ruta total más corta.

25． Damos la siguiente definición: Si las dos diagonales de un cuadrilátero son iguales, entonces el cuadrilátero se llama cuadrilátero equidiagonal. Por favor responde las siguientes preguntas:

(1) Escribe los nombres de las dos figuras que son cuadriláteros equidiagonales entre los cuadriláteros especiales que has aprendido;

(2) Explora: Cuando el agudo El ángulo entre las dos diagonales de un cuadrilátero equidiagonal es de 60°, ¿cuál es la relación entre la suma de los dos lados del par de ángulos de 60° y una de las diagonales, y demuestra tu conclusión?

23． Solución: (1) La relación cuantitativa entre FE y FD es FE=FD.

(2) Respuesta: La conclusión en (1) FE=FD sigue siendo válida.

Prueba 1: Como se muestra en la siguiente figura, intercepte AG=AE en AC y conecte FG

Porque ∠1=∠2, AF es un lado común

Se puede demostrar que △AEF≌△AGF

Entonces ∠AFE=∠AFG, FE=FG

De ∠B=60°, AD y CE son ∠BAC y ∠BCA respectivamente bisectriz de °

De ∠3=∠4 y FC es el lado común, podemos obtener △CFG≌△CFD

Entonces FG=FD

Entonces FE ＝FD

24. Solución: (1) Según el significado de la pregunta, c=3

Entonces

La solución es

Entonces la fórmula analítica de la parábola es

(2 ) Según el significado de la pregunta, los tres puntos iguales de OA son (0, 1) y (0, 2).

Sea la fórmula analítica de la recta CD sea:

Cuando el punto D Cuando las coordenadas son (0, 1), la fórmula analítica de la recta CD es

Cuando las coordenadas del punto D son (0, 2) , la fórmula analítica de la línea recta CD es

(3 ) Como se muestra en la figura, del significado de la pregunta, podemos obtener

El punto de simetría del punto M con respecto a la El eje x es

El punto de simetría del punto A con respecto al eje de simetría de la parábola es A' (6, 3)

Conecta A'M'

Según la simetría axial y el segmento de recta más corto entre dos puntos, podemos saber que la longitud de A'M' es la deseada.

El movimiento del punto P La longitud del camino total más corto

Por tanto, el punto de intersección de A'M' y el eje x es el punto deseado E, y el punto de intersección con la recta x=3 es el punto deseado F.

La fórmula analítica de la recta A'M' se puede obtener como

Las coordenadas del punto E son (2, 0) y las coordenadas del punto F son (3, )

Se puede obtener del teorema de Pitágoras

Entonces la longitud del camino total más corto (ME+EF+FA) del movimiento del punto P es.

25． Solución: (1) Omitido.

(2) Conclusión: Cuando el ángulo agudo entre las dos diagonales en un cuadrilátero equidiagonal es de 60°, la suma de los dos lados opuestos al ángulo de 60° es mayor o igual a una diagonal de largo.

Conocido: En el cuadrilátero ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el punto O, AC=BD

y ∠AOD=60°

Verificar: BC＋AD ≥AC

Prueba: Construir DF‖AC a través del punto D, interceptar DE en DF, de modo que DE=AC

Conectar CE y BE

Por lo tanto ∠ EDO =60°, el cuadrilátero ACED es un paralelogramo

Entonces △BDE es un triángulo equilátero, CE=AD

Entonces DE=BE=AC

①Cuándo Cuándo BC y CE no están en la misma línea recta (como se muestra a continuación)

En △BCE, hay BC＋CE＞BE

Entonces BC＋AD＞AC

② Cuando BC Cuando está en la misma línea recta que CE (como se muestra a continuación)

Entonces BC＋CE＝BE

Por lo tanto BC＋AD＝AC

Combinando ① y ② , obtenemos BC＋AD≥AC .

Es decir, cuando el ángulo agudo entre las dos diagonales de un cuadrilátero equidiagonal es de 60°, la suma de los dos lados opuestos al ángulo de 60° es mayor o igual a la longitud de una de las diagonales .

23. Como se muestra en la figura, se sabe

(1) Seleccione dos puntos en el costado (excepto el punto medio de

) , y conecta , , escribe las condiciones correspondientes que hacen que esta figura solo tenga dos triángulos con áreas iguales

áreas, y expresa los triángulos con áreas iguales;

( 2) Por favor demuestra basado en las condiciones correspondientes que hacen que (1) sea verdadero.

23 Como se muestra en la figura, se sabe

(1) Pruébelo en Tome dos puntos, (excepto. para el punto medio de

) de los lados, conéctelos y escriba las condiciones correspondientes que hacen que esta figura solo tenga dos triángulos con productos iguales en lados opuestos

, y exprese el triángulos con áreas iguales

;

(2) Demuéstrelo basándose en las condiciones correspondientes que hacen que (1) sea verdadero.

Solución:

(1) La condición correspondiente es: BD = CE ≠ DE;

Los dos pares de triángulos con áreas iguales son: △ABD y △ACE, △ABE y △ACD.

Prueba 2: Como se muestra en la figura, dibuje líneas paralelas de CB y CA a través de los puntos A y E respectivamente. Las dos líneas se cruzan en el punto F, EF y AB se cruzan en el punto G, conectando BF. El cuadrilátero FECA es un paralelogramo, entonces FE = AC, AF = CE.

Porque BD = CE

entonces BD = AF

Entonces el cuadrilátero FBDA es paralelo Cuadrilátero

Entonces FB = AD

En △AGE, AG EG >AE

En △BFG, BG FG >FB

It se puede deducir que AG EG BG FG ＞AE FB

Entonces AB AC ＞AD AE

24 En el sistema de coordenadas plano rectangular, la parábola pasa por dos puntos.

(1) Encuentre la fórmula analítica de esta parábola;

(2) Suponga que el vértice de la parábola es un punto, encuentre la fórmula analítica de la línea recta;

(3) Bajo la condición de (2), encuentre las coordenadas del punto con la misma distancia a la línea recta, , .

Solución: (1) Se puede obtener del significado de la pregunta

Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola es: .

(2) Se puede observar que la coordenada del vértice de la parábola es B ( ), por lo que C ( ), y la recta pasa por el origen. Supongamos que la fórmula analítica de una recta es, entonces tenemos. Por lo tanto, la fórmula analítica de una recta es.

(3) Hay cuatro puntos que son equidistantes. de las líneas rectas OB, OC y BC.

Del teorema de Pitágoras se puede ver que OB=OC=BC=2, por lo que △OBC es un triángulo equilátero, el cuadrilátero ABCO es un rombo y ∠BCO=60° Conecte AC y el eje x en el punto M. Es fácil demostrar que el punto M es de OB y ​​OC, BC están a distancias iguales. Dado que el punto A está en la bisectriz de ∠BCO, sus distancias a. BC y CO son iguales.

Al mismo tiempo, no es difícil calcular la distancia del punto A al OB, por lo que el punto A también se puede contar como uno de ellos. No es difícil pensar que se puede dibujar un rombo congruente con ABCO hacia la izquierda y hacia abajo respectivamente (como se muestra en la figura, donde △OBC es la mitad del nuevo rombo. En este momento, debe haber dos puntos).

Se encuentra que las distancias de éste a las rectas OB, OC y BC son iguales.

Las coordenadas de estos cuatro puntos son: M ( ), A (0, 2), (0, - 2), ( ).

25. Sabemos que un triángulo con dos lados iguales se llama triángulo isósceles, de manera similar, definimos que un cuadrilátero con al menos un conjunto de lados opuestos iguales se llama equilátero. cuadrilátero.

(1) Por favor, escribe el nombre de una figura que sea un cuadrilátero con lados opuestos iguales entre los cuadriláteros especiales que hayas aprendido;

(2) Como se muestra en la figura , en, los puntos y están en, respectivamente, sea, se interseca con, si, escriba un ángulo en la figura que sea igual a y, y adivine qué cuadrilátero de la figura es un cuadrilátero con lados opuestos iguales;

(3) En, si no es igual a 60? Los ángulos agudos, los puntos y están en y respectivamente, y, explora: si hay un cuadrilátero con lados opuestos iguales en la figura que cumpla con las condiciones anteriores, y prueba tu conclusión.

Solución:

(1 ) Paralelogramo, trapezoide isósceles, etc. que cumplan las condiciones son suficientes.

(2) El ángulo igual a ∠A es ∠BOD (o ∠COE)

El cuadrilátero DBCE es un cuadrilátero de lados iguales.

(3) En este momento, existe un cuadrilátero con lados opuestos iguales DBCE.

Prueba 1: Como se muestra en la figura, sea CG⊥BE interseque a CD en el punto G, y deje que BF⊥CD interseque a CD. Extienda la línea en el punto F.

∵∠DCB=∠EBC= ∠A, BC es el lado común

∴△BGC≌△CFB

∴BF=CG

∵∠BDF= ∠ABC ∠DCB=∠ABE ∠EBC ∠DCB=∠ABE ∠A

∠GEC=∠ABE ∠A

∴△BDF≌△CEG

∴BD=CE

Por lo tanto, el cuadrilátero DBCE es un cuadrilátero con lados opuestos iguales.

Prueba 2: Como se muestra en la figura, en BE Tome un punto F desde arriba, entonces que BF=CD, conecta CF.

Es fácil demostrar que △BCD≌△CBF, entonces BD=CF, ∠FCB=∠DBC

∵∠CFE= ∠. FCB ∠CBF=∠DBC ∠CBF=∠ABE 2∠CBF=∠ABE ∠A

∠CEF=∠ABE ∠A

∴CF=CE

∴BF=CE

Por lo tanto, el cuadrilátero DBCE es un cuadrilátero con lados opuestos iguales.