Ecuación del flujo de agua subterránea con términos aleatorios de fuente y sumidero
Para ilustrar las características de las ecuaciones estocásticas, primero analizamos la famosa ecuación de P. Lanngevin en física (Zhang, 2007). La ecuación de Langevin es una ecuación estocástica que se utiliza para describir el movimiento browniano. En 1905, Einstein publicó un artículo sobre el movimiento browniano, propuso la ecuación de difusión de la función de distribución de probabilidad de las partículas en movimiento browniano y obtuvo la fórmula para el cambio del desplazamiento promedio con el tiempo. Sobre esta base, Langevin propuso la hipótesis de la fuerza aleatoria, creyendo que el comportamiento dinámico de las partículas con movimiento browniano puede describirse mediante la siguiente ecuación (Zhang, 2007):
Ecuación del movimiento del agua subterránea
Entre ellos: x es el desplazamiento de la partícula; m es la masa de la partícula; γ es el coeficiente de retardo correspondiente a la viscosidad del fluido; F(t) es la fuerza aleatoria generada por la colisión aleatoria (impacto) de las moléculas. (átomos). La ecuación (5.1) es una ecuación de Langevin unidimensional basada en la ley de Newton, que describe el proceso dinámico del movimiento browniano de una sola partícula en forma de ecuación estocástica. Siempre que se conozcan las características estadísticas de la fuerza aleatoria F (t), las características estadísticas de la trayectoria del movimiento browniano se pueden obtener mediante una solución matemática utilizando la ecuación estocástica anterior.
La aleatoriedad de los procesos dinámicos del agua subterránea también se puede describir agregando términos aleatorios de fuente y sumidero en una forma similar a la ecuación de Langevin (Gelher et al., 1974). Los acuíferos freáticos son más susceptibles a influencias estocásticas de procesos de recarga como la infiltración de precipitaciones. Para analizar esta influencia aleatoria, también podríamos linealizar la ecuación de Boussinesq del movimiento unidimensional de la superficie freática y reescribirla como
La ecuación del movimiento del agua subterránea
donde: h es la altura del nivel freático (con respecto al suelo horizontal); Ha es la altura del nivel freático de referencia; W(t) es el término fuente-sumidero con características aleatorias; La ecuación (5.67) es una ecuación estocástica simplificada que describe los cambios dinámicos del nivel del agua subterránea.
Ahora estudiaremos un acuífero freático como se muestra en la Figura 5.2 y estableceremos un modelo matemático de la dinámica estocástica del agua subterránea. Además de la ecuación estocástica (5.67), las condiciones de contorno son las siguientes:
Ecuación del movimiento del agua subterránea
Donde: h0 es una constante que no cambia con el tiempo. Las condiciones de frontera dadas en la ecuación (5.68) son definidas. Sin embargo, si h0 cambia aleatoriamente con el tiempo, también afectará la dinámica del agua subterránea de la capa freática, lo cual no se estudia en este libro. Debido a que es un modelo de flujo inestable, requiere una condición inicial. Pero para un sistema dinámico estocástico, las condiciones iniciales solo afectarán la dinámica inicial del nivel del agua, y la dinámica después de un largo tiempo tiene poco que ver con las condiciones iniciales.
Figura 5.2 Diagrama esquemático de un acuífero freático de recarga estocástica
Si el término fuente-sumidero es un proceso aleatorio estacionario, el valor esperado de w(t)
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es una constante, donde f(w) es la función de densidad de probabilidad de w. Otra característica estadística del proceso aleatorio estacionario w(t) es la función de autocorrelación, es decir,
la ecuación del movimiento del agua subterránea
solo está relacionada con el intervalo de tiempo τ y no tiene nada que ver. Con el tiempo específico t, μw (0) es la varianza de este proceso aleatorio. Como resultado del proceso aleatorio estacionario W anterior, el nivel del agua subterránea H también es un proceso aleatorio estacionario, pero su valor esperado es una función de las coordenadas espaciales, denotadas como hm(x). Calcule el valor esperado de la ecuación (5.67), es decir,
ecuación del movimiento del agua subterránea
Considerando que el valor esperado de un proceso aleatorio estacionario no cambia con el tiempo, existe
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Según la ecuación (5.68), la condición de contorno del valor esperado es
Ecuación del movimiento del agua subterránea
Las ecuaciones (5.72) y (5.73) constituyen el modelo matemático del nivel de agua esperado. Según la fórmula (2.14), existe
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A continuación, la variable aleatoria se expresa como una perturbación basada en el valor esperado, es decir,
Ecuación del movimiento del agua subterránea
Ecuación del movimiento del agua subterránea
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Los valores esperados de los términos de perturbación H δ y W δ son cero.
Sustituyendo la ecuación (5.75) en la ecuación (5.67) y la ecuación (5.68), y considerando la ecuación (5.72) y la ecuación (5.73) al mismo tiempo, entonces tenemos
La ecuación del movimiento del agua subterránea
La transformación de la hoja de Fourier introduce perturbaciones en el nivel del agua y perturbaciones en la fuente-sumidero;
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donde ω es la frecuencia real y el resultado de la transformada de Fourier de la fórmula (5.76) es
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La ecuación característica de la ecuación (5.79) es
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donde a = kha/sy , se pueden obtener dos raíces características, como se muestra a continuación
La ecuación del movimiento del agua subterránea
Por lo tanto, la solución general de la fórmula (5.79) es
El movimiento del agua subterránea ecuación
donde: C1 y C2 es una constante entera. Usando condiciones de contorno, podemos obtener
la ecuación del movimiento del agua subterránea
Por lo tanto,
la ecuación del movimiento del agua subterránea
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La ecuación (5.85) en realidad refleja la relación entre el nivel del agua y el espectro de potencia de perturbación de los términos fuente y sumidero (Gelher et al., 1974). Por ejemplo, cuando x = l, es decir, en la posición límite derecha, la amplitud del espectro de potencia tiene la siguiente relación.
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La relación de amplitud del espectro de potencia obtenido de la ecuación (5.87) cambia con la frecuencia, como se muestra en la Figura 5.3. A medida que aumenta la frecuencia (el período disminuye), la relación de amplitud disminuye, lo que indica que el nivel del agua subterránea tiene una fuerte respuesta a la perturbación fuente-sumidero en el período largo (baja frecuencia), pero no tiene respuesta a la perturbación fuente-sumidero en el período largo. el período corto (alta frecuencia sensible).
Figura 5.3 La relación de amplitud del espectro de potencia cambia con la frecuencia