Historia del desarrollo de funciones
1. El desarrollo vertical del concepto de función
1.1 El concepto temprano de función - función bajo el concepto de geometría
Galileo en el siglo XVII ( G. Galileo, 1564 -1642) En el libro "Dos nuevas ciencias", el concepto de funciones o relaciones entre variables se incluye casi de principio a fin, y la relación entre funciones se expresa en el lenguaje de las palabras y las proporciones. Descartes (francés, 1596-1650) notó la dependencia de una variable de otra variable en su geometría analítica alrededor de 1673, pero no se dio cuenta en ese momento de la necesidad de refinar el concepto general de funciones, por lo que no fue hasta finales del siglo XVII. siglo en que Newton y Leibniz establecieron el cálculo.
1.2 El concepto de función en el siglo XVIII - función bajo el concepto algebraico
No fue hasta 1718 que Bernoulli Johann (Suiza, 1667-1748) la definió claramente basándose en la propuesta de Leibniz. concepto de función Bernoulli entendía el concepto de función: una cantidad compuesta de variables arbitrarias y constantes de cualquier forma Bernoulli componía variables X y constantes de cualquier forma.
A mediados del siglo XVIII, L. Euler (Suiza, 1707-1783) dio un símbolo funcional muy vívido, que todavía se utiliza en la actualidad. La definición dada por Euler es que una función de una variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma por esta variable y algunos números, es decir, constantes. Llamó funciones analíticas a la definición de funciones de John Bernoulli y las dividió en funciones algebraicas (refiriéndose únicamente a operaciones algebraicas entre variables independientes) y funciones trascendentales (funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y potencias irracionales de variables), "funciones arbitrarias" (es decir, funciones que dibujan curvas arbitrarias) también se consideran. No es difícil ver que la definición de función de Euler es más universal y tiene un significado más amplio que la definición de Johann Bernoulli.
1.3 El concepto de función en el siglo XIX: la función correspondiente.
En 1822 Fourier (Método, 1768-1830) descubrió que algunas funciones pueden representarse mediante curvas, una fórmula o múltiples fórmulas, poniendo así fin al debate sobre si el concepto de función puede representarse mediante una fórmula, llevando la comprensión de las funciones a un nuevo nivel. En 1823, Cauchy (método, 1789-1857) dio la definición de función a partir de la definición de variable y señaló que aunque una serie infinita es una forma válida de especificar una función, la función no necesariamente tiene que tener una relación analítica. expresión, pero aún así La idea de que las relaciones funcionales se pueden representar mediante múltiples expresiones analíticas es muy importante.
En 1837, Dirichlet (alemán, 1805-1859) argumentó que cómo se establece la relación entre X e Y es irrelevante. Amplió el concepto de función y señaló: "Para cada valor definido de X dentro de un cierto intervalo, Y tiene uno o más valores definidos, por lo que Y se llama función de X. La definición de función de Dirichlet evita todas las descripciones anteriores de dependencias". en funciones las definiciones son concisas y precisas, y son aceptadas incondicionalmente por todos los matemáticos de una manera completamente clara. En este punto, se puede decir que se ha formado el concepto de función y la definición esencial de función, que es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica.
Después de que la teoría de conjuntos fundada por Cantor (Alemania, 1845-1918) jugara un papel importante en las matemáticas, Veblen (estadounidense, 1880-1960) utilizó "conjunto" y "correspondencia".
1.4 Concepto de función moderna: función bajo la teoría de conjuntos
En 1914, F. Hausdorff definió las funciones como "pares de órdenes" en el Esquema de la teoría de conjuntos. Su ventaja es que evita los conceptos confusos de "variable" y "correspondencia", pero su desventaja es que introduce el concepto confuso de "pares ordenados". En 1921, Kuratowski utilizó el concepto de conjuntos para definir "pares ordenados", es decir, los pares ordenados (a, b) son conjuntos {{a}, {b}}, lo que hace que la definición de Hausdorff sea muy rigurosa. En 1930, la nueva función moderna se definió como: Si siempre hay un elemento Y determinado por el conjunto N correspondiente a cualquier elemento X del conjunto M, entonces se define una función sobre el conjunto M, registrada como y=f(x ).
El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente.
La definición de función ha pasado por más de 300 años de ajustes y cambios, formando la definición moderna de función, pero esto no significa el final de la historia del desarrollo del concepto de función. En la década de 1940, para las necesidades de la investigación física, se descubrió una función llamada función dirac-delta. No es cero en un punto, pero su integral en toda la línea es igual a 1. Esto es cierto en funciones e integrales. Es increíble según la definición original, pero debido a que el concepto de función es amplio, con el desarrollo de otras disciplinas basadas en las matemáticas, el concepto de función seguirá expandiéndose. .