Preocupaciones sobre los polinomios y la factorización

El punto de partida de este problema es la relación entre la factorización y las raíces de polinomios.

Para cualquier polinomio P(x) y el número complejo a, x-a | si y solo cuando P(a) = 0.

De la hermosa condición polinómica f(x) | f(x^2), se puede deducir que todas las raíces de f(x) en el complejo El rango es f(x La raíz de ^2).

Escrito de la siguiente manera: Si el número complejo a satisface f(a) = 0, entonces f(a^2) = 0.

Además, si f(x) no tiene raíces múltiples, y el resultado anterior es una condición necesaria y suficiente.

Porque f(x) se puede descomponer en el producto de factores lineales que son son primos mutuos en el rango complejo, y cada factor divide a f(x^2).

Entonces su producto f(x) también divide a f(x^2).

Escribe el condición obtenida anteriormente como: Si a es la raíz de f(x), entonces a^2 también es la raíz de f(x).

De a^2 es la raíz de f(x), obtenemos que a^4 es la raíz de f(x), y así sucesivamente, a^ 8, a^16,... son todas raíces de f(x).

Pero para no- polinomio cero f(x), hay como máximo raíces finitas, por lo que hay m lt; hace a^ m = a^n.

Se convierte en a^m·(a^(n-m)- 1) = 0, es decir, a = 0 o a es una raíz unitaria (es decir, un cuadrado entero positivo de una Potencia = 1).

Obtenemos: La raíz de un hermoso polinomio sólo puede ser 0 o una raíz unitaria.

Analicemos nuevamente la raíz unitaria.

Si a es La ecuación x^n = una raíz compleja de 1, entonces se dice que a es una raíz unitaria de grado n (un número puede ser raíz unitaria de diferentes grados al mismo tiempo).

Si a es raíz unitaria de grado n, es fácil Verificar que para cualquier entero k, a ^k también es una raíz unitaria enésima.

Todas las raíces unitarias enésimas corresponden exactamente a n puntos iguales en la circunferencia unitaria del plano complejo: cos(2kπ/n) isin(2kπ/ n), k = 0, 1, ..., n-1.

Recuerde que ζ(n) = cos(2π/n) esin(2π/n), se puede ver que la enésima raíz unitaria se puede escribir como ζ(n)^k, k = 0, 1, ..., n-1.

Si correspondes ζ(n)^k a k, puedes ver la multiplicación de n raíces unitarias. La operación es consistente con la operación de suma de la clase restante de mod n.

Por lo tanto, el cuadrado de la raíz unitaria enésima corresponde a la multiplicación de la clase restante de mod n por 2.

Las observaciones anteriores son suficientes para resolver este problema (de hecho, también incluye muchos resultados no utilizados).

2 Los únicos polinomios hermosos de grado 1 son x y x-1 (o sus no-). múltiplos constantes de cero).

Al multiplicar por una constante distinta de cero para hacer que el primer coeficiente sea 1, supongamos que el hermoso polinomio con grado 1 es x-a.

Dado que a es su raíz, podemos obtener que a^2 también es su raíz. Sustituye a^2-a = 0 y resuelve a = 0, 1.

1 x^2 x 1 es un hermoso polinomio.

Esto se puede verificar directamente, o De x^3-1 = (x-1)(x^2 x 1), sabemos que las dos raíces de x^2 x 1 son ζ(3 ) y ζ(3)^2.

Tenga en cuenta que ζ(3)^3 = 1, ζ(3)^4 = ζ(3), y x^2 x 1 no tiene raíces múltiples, entonces es un hermoso polinomio.

Y x^2 x 1 no es divisible por el hermoso polinomio x o x-1 de grado 1, por lo que no es degradable.

3. x^2 x 1 no es el único polinomio hermoso no degradable de grado 2.

x^2-1 tampoco es degradable, porque aunque x^2-1 = (x-1 )(x 1), x 1 no es un polinomio hermoso.

Estos dos son solo Hay hermosos polinomios no degradables de grado 2.

Supongamos que f(x) es un hermoso polinomio de grado 2, a es una raíz de f(x), hay a^2, a^4 son todas raíces de f(x).

Si a^2 = a, a = 0, 1, x | f(x) o x-1 | f(x).

La otra raíz b de f(x) satisface b^ 2 = a o b^2 = b, entonces f(x) = x^2, (x-1)^2, x(x-1) o x^2-1.

Si a ^ 2 ≠ a, entonces a^4 = a o a^2, la solución es a = ζ(3), ζ(3)^2 o -1.

Entonces f(x) = x^ 2 x 1 o x^2-1.

4. Usamos raíces unitarias para construir un hermoso polinomio no degradable de grado n.

Si a es la raíz de f( x), hay a^2, a^4, a^8,... todas las raíces de f(x).

Esperamos que f(x) tenga n raíces diferentes, sean a , a^2, a^4,..., a^(2^(n-1)), y hacer a^(2^n) = a.

Es deseable que a = ζ(2 ^n-1), en este momento a, a^2, a^4,..., a^(2^(n-1)) no son iguales.

Polinomios con sus raíces f(x) es un hermoso polinomio.

Supongamos que el hermoso polinomio g(x) | f(x), entonces g(x) contiene una cierta raíz a^(2^k) de f(x).

G(x) es un hermoso polinomio, a^(2^(k 1)), a^(2^(k 2)),... son todas raíces. de g(x

Especialmente, a = a^(2^n) también es raíz de g(x), y luego a, a^2, a^4,..., a^(2^(n- 1)) son todas raíces de g(x).

Entonces f(x) | g(x), las dos difieren en un múltiplo constante.

Entonces f(x) no tiene factores polinomiales hermosos no ordinarios que no son degradables.

Cabe señalar que el polinomio hermoso construido de esta manera tiene coeficientes complejos.

Si se limita a coeficientes reales, entonces puede que no exista. No existen hermosos polinomios no degradables, como los de grado 3.

Además, existen muchos métodos de construcción, como (x- 1)(x-(-1))(x-√(-1)) (x-√√(-1))...