Los mejores problemas (respuestas) de matemáticas para el primer semestre del tercer grado de la escuela secundaria son las preguntas de la Olimpiada de Matemáticas.
23 Se sabe que la ecuación sobre X tiene dos raíces reales, y la ecuación sobre Y tiene dos raíces reales, y. Cuando, encuentre el rango de valores de m.
8. (Esta pregunta vale 8 puntos)
24 Se sabe que AB es el diámetro del semicírculo O, y el punto C se mueve sobre la línea de extensión de BA (punto). C y el punto A no son Coincidentes), el semicírculo M con diámetro OC corta al semicírculo O en el punto D, y la bisectriz de ∠DCB corta al semicírculo M en el punto E.
(1) Verificación: CD es el tangente del semicírculo O (Figura 1);
(2) Supongamos que EF⊥AB está en el punto f (Figura 2), suponga que EF es igual a la mitad del segmento de línea existente y demuéstrelo;
(3) En lo anterior Bajo la condición, la línea paralela CB que pasa por el punto E intersecta a CD en el punto n. Cuando NA es tangente al semicírculo O (Figura 3), encuentre el valor de la tangente de ∠EOC.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
23. Solución: ∵ La ecuación sobre X tiene dos raíces reales, x1 y x2.
Resolver (1)
La ecuación sobre y tiene dos raíces reales.
La solución es 0≤n≤4.
De la relación entre raíces y coeficientes
Limpiar y tomar
Se puede obtener de la imagen de la función cuadrática
Cuando 2
El rango de m obtenido de ① y ② es
ocho,
24 (1) Prueba: como se muestra en la Figura 1, conecte OD. , OD es un semicírculo El radio de o.
Figura 1
∫OC es el diámetro m del semicírculo.
∴∠CDO=90
∴CD es la tangente del semicírculo o
(2) Adivina:
Prueba 3: Como Como se muestra en la figura, conecte OD y ME, OD y ME se cruzan en el punto h.
∫CE compartió ∠DCB
∴ ∴ME⊥OD, OH
∵EF⊥CO ∴∠MFE=∠MHO=90
∫∠Fuerza electromotriz=∠OMH, ME=MO
∴△MEF≌△MOH
∴EF=OH ∴
(3) Solución: Por ejemplo, en la Figura 3, extienda el punto de intersección OE CD hasta el punto k.
Figura 3
Supongamos OF=x, EF=y, luego OA=2y.
∵NE//CB, EF⊥CB, NA son tangentes al semicírculo o en el punto a
∴El cuadrilátero Afen es un rectángulo.
∴
Igual que la primera prueba de (2), E es el punto medio de OK.
∴N es el punto medio de CK
∴Rt△CEF∽Rt△EOF
∴
∴
Solución
∴tan∠EOC=3
25. (1) Solución: ∫La parábola corta el eje X en los puntos A y b.
La ecuación sobre x tiene dos raíces reales desiguales.
Solución
∵El punto a está a la izquierda del punto b, m >; ∴A(-m, 0), B(2m, 0)
Solución 2: Como se muestra en la Figura 2, pasando por el punto O está OG//AC, que está en el punto g.
Figura 2
∴△CED∽△OGD ∴
dc = múltiple ∴CE=OG
∫og//AC ∴ △bog∽△bae∴
ob = 2m, AB=3m ∴
(3) Opción 1: Como se muestra en la Figura 3.
Figura 3
∵ El punto C está en una parábola (no coincide con el punto A), y el punto C y el punto A están equidistantes del eje Y.
∴C(m, 2m2)
El punto de paso E es el EP alto del borde DC y el punto de paso A es el AQ alto del borde OC.
∴EP//AQ
∴△CEP∽△CAQ
∴
∵
∴
La solución es m=2.
La fórmula analítica de ∴parábola es
Las coordenadas del punto C son (2, 8) y las coordenadas del punto B son (4, 0).
Los puntos D y C son perpendiculares al eje X, y el eje X se cruza con los puntos M y N respectivamente.
∴DM//CN
D es el punto medio de OC
∴
Las coordenadas del punto ∴d son (1, 4).
Supongamos que la fórmula analítica de la recta BE es la siguiente
∴La fórmula analítica de la recta BE es
Solución 2: Como se muestra en la Figura 4 , conecte OE.
Figura 4
D es el punto medio de OC
∴
Lo siguiente es lo mismo que la solución 1 de (3)
23. Como se muestra en la Figura ①, OP es la bisectriz de ∠MON. Tome la línea donde se encuentra OP como eje de simetría y dibuje un par de triángulos congruentes. Consulte este método de triángulos congruentes para responder las siguientes preguntas:
(1) Como se muestra en la Figura ②, en △ABC, ∠ACB es un ángulo recto, ∠B = 60°, AD y CE respectivamente es la bisectriz de ∠BAC y ∠BCA, AD y CE se cruzan en el punto f, juzgue y escriba la relación cuantitativa entre FE y FD;
(2) Como se muestra en la Figura ③, en △ABC , si ∠ACB no es un ángulo recto y otras condiciones en (1) permanecen sin cambios, ¿sigue siendo válida su conclusión en (1)? En caso afirmativo, pruebe; en caso contrario, explique por qué.
24. Se sabe que la parábola y=ax2 bx c corta al eje Y en el punto A (0, 3), y corta al eje X en los puntos B (1, 0). y C (5, 0).
(1) Encuentra la fórmula analítica de esta parábola;
(2) Si el punto D es la bisectriz del segmento OA, encuentra la fórmula analítica de la recta DC
p>
(3) Si un punto en movimiento P comienza desde el punto medio m de OA, primero alcanza un punto en el eje X (establecido como punto E), luego alcanza un punto en el eje de simetría parabólica (establecido como punto F), y finalmente se mueve al punto A. Encuentre las coordenadas del punto E y el punto F que hacen que la ruta total del punto P sea la más corta, y encuentre la longitud de esta ruta total más corta.
25. Damos la siguiente definición: Si las dos diagonales de un cuadrilátero son iguales, se llama cuadrilátero equidiagonal. Por favor responda las siguientes preguntas:
(1) Escriba los nombres de dos formas de cuadriláteros equidiagonales entre los cuadriláteros especiales que ha aprendido;
(2) Explore: Cuando los ángulos agudos de dos diagonales en un cuadrilátero equidiagonal miden 60°, demuestra la relación entre la suma de los dos lados que miran al ángulo de 60 grados y una de las diagonales, demostrando tu conclusión.
23. Solución: (1) La relación cuantitativa entre Fe y FD es Fe = FD.
(2)A: La conclusión en (1) Fe = FD sigue siendo válida.
Prueba 1: Como se muestra en la siguiente figura, intercepte AG = AE en AC y conecte FG.
Porque ∠ 1 = ∠ 2, entonces AF es el hombre.
Demuestra que △AEF≔△AGF
Entonces ∠ AFE = ∠ AFG, Fe = FG.
Cuando ∠B = 60°, AD y CE son las bisectrices de ∠BAC y ∠BCA respectivamente.
Disponible ∠ 2 ∠ 3 = 60
Entonces ∠ AFE = ∠ CFD = ∠ AFG = 60.
Entonces ∠ CFG = 60.
Si ∠ 3 = ∠ 4 y FC comparte * * * aristas, entonces se puede obtener △CFG≔△CFD.
Entonces fg = FD
So Fe = FD
24. Solución: (1) Según el significado de la pregunta, C = 3.
Por lo tanto
Resuelve
Entonces la fórmula analítica de la parábola es
(2) Según el significado de la pregunta, la las bisectrices de OA son (0,1) y (0,2).
Supongamos que la fórmula analítica de la recta CD es
Cuando las coordenadas del punto D son (0, 1), la fórmula analítica de la recta CD es
Cuando las coordenadas del punto D son Cuando es (0, 2), la fórmula analítica de la línea recta CD es
(3) Como se muestra en la figura, del significado de la pregunta, podemos obtener
el punto m con respecto al eje x. El punto de simetría es
El punto de simetría del punto A respecto al eje de simetría de la parábola es A' (6, 3).
Enlace A'M '
Según la simetría axial y el segmento de recta más corto entre dos puntos, la longitud de A'M ' es el requisito.
La longitud del camino total más corto del movimiento del punto P
Por lo tanto, la intersección de A'M' y el eje X es el punto de E, y la intersección de A'M' y la recta X = 3 es el punto de F..
La fórmula analítica de la recta A'M' se puede obtener a partir de la siguiente fórmula
Las coordenadas del punto E y del punto F son (2, 0) y (3, 0) respectivamente.
Del teorema de Pitágoras, podemos encontrar que
Por lo tanto, la longitud del camino total más corto (me ef fa) del punto P es.
25. Solución: (1) Omitido.
(2) Conclusión: Cuando el ángulo agudo entre las dos diagonales en un cuadrilátero equidiagonal es de 60°, la suma de los dos lados que miran al ángulo de 60 grados es mayor o igual a una longitud de la diagonal. .
Se sabe que en el cuadrilátero ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el punto O, AC = BD.
Y ∠ aod = 60.
Verificación: BC AD ≥ AC
Demuestre que la intersección D es DF‖AC, y DE se intercepta en DF de modo que DE = AC.
Suma CE y BE
Entonces ∠ edo = 60, el cuadrilátero ACED es un paralelogramo.
Entonces △BDE es un triángulo equilátero, CE = AD.
Entonces de = be = AC
①Cuando BC y CE no están en línea recta (como se muestra a continuación)
En △BCE, hay BC CE > SER .
Entonces BC ad > AC
②Cuando BC y CE están en la misma línea recta (como se muestra a continuación)
Entonces BC ce = be
Por lo tanto BC ad = AC.
Combinando ① y ②, obtenemos BC AD ≥ AC.
Es decir, cuando el ángulo agudo entre las dos diagonales de un cuadrilátero equidiagonal es de 60°, la suma de los dos lados que miran al ángulo de 60 grados es mayor o igual a la longitud de uno de los diagonales.
23. Como se muestra en la figura, es bien sabido que
(1) Coloque el punto medio y la suma de los dos puntos (respectivamente en los lados).
Afuera), enlace , , escrito de manera que la gráfica tenga solo dos lados opuestos.
Condiciones correspondientes para triángulos con productos iguales, y demuestran que las áreas son iguales
Triángulos;
(2) Según las condiciones correspondientes que hacen (1) verdadero,
p>
Prueba
23 Como se muestra en la figura, es bien sabido que
(1) Coloque el punto medio y. (de los dos puntos en los lados respectivamente.
afuera), enlace y escriba de modo que solo haya dos lados opuestos en esta figura.
Condiciones correspondientes para triángulos con productos iguales, y demuestran que las áreas son iguales
Triángulos;
(2) Según las condiciones correspondientes que hacen (1) verdadero,
p>
Prueba
Solución:
La condición correspondiente para (1) es: BD = CE≠DE;
Dos pares de triángulos con áreas iguales Son △ABD y △ACE, △ABE y △ACD.
Prueba 2: Como se muestra en la figura, los puntos A y E son líneas paralelas de CB y CA. Las dos líneas se cruzan en el punto F, EF y AB se cruzan en el punto G, y BF está conectado.
Entonces el cuadrilátero FECA es un paralelogramo, entonces FE = AC, AF = CE.
Porque BD = CE
Entonces BD = AF
Entonces el cuadrilátero FBDA es un paralelogramo.
Entonces FB = AD
En la era △, AG EG >AE.
En △BFG, BG FG >FB.
AG EG BG FG >AE FB se puede deducir.
Entonces AB AC >AD AE
24. En el sistema de coordenadas cartesiano plano, la parábola pasa por dos puntos.
(1) Encuentre la fórmula analítica de esta parábola;
(2) Suponga que el vértice de la parábola es , traslade la línea recta hacia abajo a lo largo del eje dos unidades y obtenga una línea recta, que La línea recta cruza el eje de simetría de la parábola en este punto, y encuentre la fórmula analítica de la línea recta
(3) Bajo la condición de (2), encuentre las coordenadas; del punto que es igual a la distancia desde la recta.
Solución: (1) Se puede obtener del significado de la pregunta.
Por lo tanto, la fórmula analítica de la parábola es:
(2) Sabemos que la coordenada del vértice de la parábola es B(), entonces C(), la recta pasa por a través del origen. Suponiendo que la fórmula analítica de una línea recta es, entonces tenemos. Por tanto, la fórmula analítica de la recta es.
(3) Hay cuatro puntos que equidistan de las rectas OB, OC y BC.
Según el teorema de Pitágoras, OB=OC=BC=2, entonces △OBC es un triángulo equilátero, el cuadrilátero ABCO es un rombo y ∠BCO = 60°, conectando AC y el eje X en punto M. Es fácil demostrar que las distancias desde el punto M a OB, OC y BC son iguales. Como el punto A está en la bisectriz de ∠ BCO, no es difícil llegar a BC y CO
Al mismo tiempo, no es difícil calcular la distancia del punto A a OB, por lo que el punto A está también uno de ellos. De manera similar, no es difícil imaginar que la izquierda y la parte inferior se pueden convertir en rombos que sean congruentes con ABCO (como se muestra en la figura, donde △OBC es la mitad del nuevo rombo. En este momento, debe haber dos puntos). cuyas distancias a las rectas OB, OC y BC son iguales.
Las coordenadas de estos cuatro puntos son: m(), a (0, 2), (0, 2), ().
25. Sabemos que un triángulo con dos lados iguales se llama triángulo isósceles. De manera similar, definimos un cuadrilátero con al menos un conjunto de lados iguales como cuadrilátero equilátero.
(1) Por favor escribe el nombre de la figura que es un cuadrilátero equilátero entre los cuadriláteros especiales que has aprendido.
(2) Como se muestra en la figura, en el medio, los puntos y los puntos están respectivamente arriba y arriba, y se establecen y se cruzan entre sí. Si, escribe un cuadrilátero equilátero en la imagen. Adivina qué cuadrilátero de la imagen es un cuadrilátero equilátero;
(3) ¿Si no es igual a 60 pulgadas? Ángulos agudos, puntos y están respectivamente Explora si hay un cuadrilátero equilátero en la figura que cumpla las condiciones anteriores y demuestra tu conclusión.
Solución:
(1) Paralelogramo, trapecio isósceles, etc. puede cumplir con los requisitos.
(2) El ángulo igual a ∠A es ∠BOD (o ∠COE).
El cuadrilátero DBCE es un cuadrilátero equilátero.
③En este momento, DBCE tiene un cuadrilátero equilátero.
Prueba 1: Como se muestra en la figura, CG⊥BE está en el punto g y BF⊥CD está en el punto f.
∠∠DCB =∠EBC =∠A, BC es el macho.
∴△BGC≌△CFB
∴BF=CG
∠∠BDF =∠ABC ∠DCB =∠Abe∠EBC ∠DCB =∠A Ser ∠A
∠GEC =∠Abe∠A
∴△BDF≌△CEG
∴BD=CE
Por lo tanto, Cuadrilátero DBCE es un cuadrilátero equilátero.
Prueba 2: Como se muestra en la figura, tome un punto f en BE tal que BF=CD y conecte CF.
Es fácil demostrar que △BCD≔△CBF , entonces BD=CF, ∠FCB= ∠DBC.
∠∠CFE =∠FCB ∠CBF =∠DBC ∠CBF =∠Abe2∠CBF =∠Abe∠A
∠CEF =∠Abe∠A
∴CF=CE
∴BF=CE
Por lo tanto, el cuadrilátero DBCE es un cuadrilátero equilátero.