Certificado de Matemáticas de la Olimpiada de la Escuela Secundaria Junior
Si un número es el cuadrado perfecto de otro entero, entonces lo llamamos número cuadrado perfecto, también llamado número cuadrado. Por ejemplo:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
Al observar estos números cuadrados completos, puedes entender sus individuos. características Regularidad de cifras, decenas, sumas de números, etc. Estudiemos algunas propiedades comunes de los números cuadrados perfectos:
Propiedad 1: El último dígito de un número cuadrado completo solo puede ser 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Propiedad 2: La cifra de las unidades del cuadrado de un número impar es un número impar y la cifra de las decenas es un número par.
Demuestra que los números impares deben tener una de las siguientes cinco formas:
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
Después de elevar al cuadrado, obtenemos
(10a+1)= 1020a+1 = 20a(5a+1)+1
(10a+3)= 100 +60a+ 9 = 20a(5a+3)+9
(10a+5)= 10100 a+25 = 20(5a+5a+1)+5
( 10a+ 7)= 10140 a+49 = 20(5a+7a+2)+9
(10a+9)= 10180 a+81 = 20(5a+9a+4)+ 1
Resumiendo, podemos saber que el cuadrado de un número impar, el número unitario es el número impar 1, 5, 9; la cifra de las decenas es un número par.
Propiedad 3: Si la cifra de las decenas de un número cuadrado completo es un número impar, entonces su cifra de unidades debe ser 6, en cambio, si la cifra de unidades de un número cuadrado completo es 6, Entonces; su dígito de las decenas debe ser un número impar.
Demuestra que se sabe que =10k+6, y demuestra que k es un número impar. Debido a que el número unitario de es 6 y el número unitario de m es 4 o 6, podemos establecer m=10n+4 o 10n+6. Reglas
10k+6 =(10n+4)= 10(8n+1)x 16
O 10k+6 =(10n+6)= 10( 12n+3)x 16.
Es decir, k = 18n+1 = 2(5+4n)+1.
O k = 112n+3 = 2(5+6n)+3.
∴·k es raro.
Corolario 1: Si los diez dígitos de un número son todos impares y uno de los dígitos no es 6, entonces el número no debe ser perfectamente cuadrado.
Corolario 2: Si la cifra de las unidades de un número cuadrado completo no es 6, entonces la cifra de las decenas es un número par.
Propiedad 4: El cuadrado de un número par es múltiplo de 4; el cuadrado de un número impar es múltiplo de 4 más 1.
Esto se debe a que (2k+1)= 4k(k+1)+1.
(2k)=4
Propiedad 5: El cuadrado de los números impares es de tipo 8n+1; el cuadrado de los números pares es de tipo 8n o 8n+4.
En la prueba de la propiedad 4, del hecho de que k(k+1) es un número par, se puede concluir que (2k+1) es un número de tipo 8n+1; perspectiva de números pares o impares, (2k) puede ser un número de tipo 8n o 8n+4.
Atributo 6: El número cuadrado debe tener una de las dos formas siguientes: 3k, 3k+1.
Debido a que los números naturales se dividen entre 3, se pueden dividir en tres categorías según el resto: 3m, 3m+1, 3m+2. Después de elevar al cuadrado, obtienes.
(3m)=9=3k
(3m+1)= 9+6m+1 = 3k+1
(3m+2)=9 +12m+4=3k+1
De manera similar, puedes obtener:
Propiedad 7: El cuadrado de un número no divisible por 5 es 5k 1, y el cuadrado de un número no divisible por 5 es 5k 1, y el cuadrado de un número no divisible por 5 es 5k 1 divisible por 5 El cuadrado de es 5k.
Atributo 8: Los números cuadrados tienen una de las siguientes formas: 16m, 16m+1, 16m+4, 16m+9.
Además de las propiedades anteriores de un solo dígito, decenas y restos, también podemos estudiar la suma de todos los dígitos de un número cuadrado completo. Por ejemplo, la suma de 256 dígitos es 2+5+6=13 y 13 es la suma de 256 dígitos. Si sumas 13 dígitos: 1+3=4, 4 también se puede llamar la suma de 256 dígitos. La suma de los dígitos de un número que mencionamos a continuación se refiere a la suma de sus dígitos. Si la suma de los números obtenidos no es un número, se vuelven a sumar los números obtenidos hasta que se convierta en un número. Podemos obtener la siguiente proposición:
La suma de un número es igual al resto de este número dividido por 9.
Tomemos un número de cuatro dígitos como ejemplo para ilustrar esta proposición.
Usemos cuatro dígitos
= 1000 a+100 b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c +d)
= 9(111a+11 b+ c)+(a+b+ c+d)
Obviamente, a+b+c+d es el número de cuatro dígitos dividido por The Resto de 9.
Para números de n dígitos, este método también se puede probar.
La suma de números cuadrados perfectos tiene las siguientes propiedades:
Propiedad 9: La suma de un número cuadrado completo sólo puede ser 0, 1, 4, 7, 9.
Está demostrado que un número entero dividido por 9 sólo puede tener la forma 9K, 9K 1, 9K 2, 9K 3, 9K 4, pero
(9k)=9 (9)+ 0
(9k 1)=9(9 2k)+1
(9k ^ 2)= 9(94k)+4
(9k ^ 3 )= 9(96k)+9
(9k 4)=9(9 8k+1)+7
Además de los atributos anteriores, también existen los siguientes atributos importantes:
p>Propiedad 10: Si B es un número cuadrado total, entonces el número cuadrado total es necesario y suficiente.
Prueba de suficiencia: supongamos que b es un número cuadrado, entonces
==(comunicación)
Necesidad: si es un número cuadrado completo, =, entonces
Propiedad 11: Si el número primo P es divisible por A, pero no divisible por A, entonces A no es un número cuadrado perfecto.
Demuestra que A tiene un factor primo P, pero ningún factor. Se sabe que cuando A se descompone en una fórmula estándar, la potencia de P es 1, y cuando un número cuadrado perfecto se descompone en una fórmula estándar, las potencias de cada factor primo son números pares, lo que indica que A no es un número perfecto. número cuadrado.
Propiedad 12: Los números enteros entre los cuadrados de dos enteros adyacentes no son cuadrados perfectos, es decir, si
& ltk & lt(n+1)
Entonces k no debe ser un número cuadrado completo.
Propiedad 13: Un entero positivo n es un cuadrado perfecto si y sólo si n tiene un número impar de factores (incluidos 1 y n mismo).
(2) Conclusiones importantes
1. Los números enteros con un solo dígito de 2, 3, 7 y 8 no deben ser perfectamente cuadrados;
2. dígitos Un número entero con un número impar y un número par de decenas no debe ser un cuadrado completo;
3. Un número entero con un solo dígito de 6 y un número par de decenas no debe ser un cuadrado completo;
4. Un número entero con la forma 3n+2 no debe ser un número cuadrado completo;
5. Los números enteros con la forma 4n+2 y 4n+3 no deben ser un cuadrado completo. ;
6. Forma Un número entero en la forma 5n 2 no debe ser un número cuadrado completo;
Enteros en la forma 7.8n+2, 8n+3, 8n+ 5, 8n+6, 8n+7 no deben ser un cuadrado completo;
8. Los números enteros cuyas sumas son 2, 3, 5, 6 y 8 no pueden ser números cuadrados completos.
(3) Ejemplo
[Ejemplo 1]: Un número natural menos 45 más 44 sigue siendo un número cuadrado completo. Encuentra este número.
Solución: Sea este número natural X, que se puede encontrar según el significado de la pregunta.
(m, n es un número natural)
(2)-(1) disponible
∴n>m
(
p>
Pero 89 es un número primo y sus factores positivos solo pueden ser 1 y 89, por lo que la solución es n=45. Entonces el número natural es 1981.
[Ejemplo 2]: Demuestre: El producto de cuatro números enteros consecutivos más 1 es igual al cuadrado de un número impar (Concurso de Matemáticas de Kiev de 1954).
Supongamos que son cuatro números enteros consecutivos, donde n es un número entero. Para demostrar que
es el cuadrado de un número impar, simplemente factorízalo en el cuadrado de un número impar.
Está demostrado que si el producto de estos cuatro enteros más 1 es m, entonces
y n(n+1) es el producto de dos enteros consecutivos, por lo que es un número par; y debido a que 2n+1 es un número impar, entonces n(n+1)+2n+1 es un número impar. Esto prueba que m es un número impar al cuadrado.
[Ejemplo 3]: Verificación: 11, 11, 1111, esta secuencia no tiene un número cuadrado completo (1972.
Si el número en la tabla de análisis es un número cuadrado completo número, entonces debe ser el cuadrado de un número cuyo último dígito sea 1 o 9, es decir,
o
se puede derivar una contradicción restando 1 de ambos extremos <. /p >
Demuestra que si, entonces
Debido a que el extremo izquierdo es un número impar y el extremo derecho es un número par, los extremos izquierdo y derecho no son iguales
Debido a que el extremo izquierdo no es igual es un número impar y el extremo derecho es un número par, los extremos izquierdo y derecho no son iguales. En resumen, no puede ser un número cuadrado completo.
Otra prueba es que se conoce por número impar. Si es un número cuadrado perfecto, sólo puede ser el cuadrado de un número impar. Sin embargo, se ha demostrado que la cifra de las decenas del cuadrado de un número impar debe ser un número par, por lo que no es un número cuadrado completo.
[Ejemplo 4]: Cada elemento de la serie de pruebas 49. , 4489 y 444889 es un número cuadrado completo
Certificado
=
=++1
=4+8+. 1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+ 12+1
=(6+1)
Es un número cuadrado completo
[Ejemplo 5]: Consta de 300 2 y varios 0 ¿Es posible que el número entero sea un número cuadrado perfecto
Solución: Sea A un número que consta de 300 2 y varios 0, y la suma de sus números es 600. |600 ∴3|AEste número tiene un factor de 3, por lo que 9 | a. Pero 9 | 600, ∴ es una contradicción
[ Ejemplo 6]: Intenta encontrar un número de cuatro dígitos que sea un número cuadrado completo, y sus dos primeros dígitos sean iguales. Los dos últimos dígitos son iguales (pregunta del Concurso Mundial de Matemáticas para Escuelas Primarias de 1999)
Solución: Sea este número
Si este número es un cuadrado completo, entonces debe ser un múltiplo. de 11. Entonces 11 | A+B, A y B son 0, 1, 2, 9, entonces * * * tenemos (. Hay ocho grupos de posibilidades: 2, 9), (3, 8), (4 , 7), (9, 2).
Comprueba directamente, este número es 7744=88
[Ejemplo 7]: Encuentra todos los números naturales que cumplan las siguientes condiciones: <. /p>
(1) es un número de cuatro dígitos
Si (2) se divide por 22, el resto es 5.
p>(3) es un número cuadrado completo.
Solución: Supongamos que n y n son números naturales. Podemos saber que n es un número impar
11. n+4
o
k = 1
k = 2
k = 3
p>k = 4
k = 5
Entonces este número natural es 1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025.
[Ejemplo 8]: A y B crían N ovejas juntos y el precio de venta de cada oveja es exactamente N yuanes. Después de vender todas las ovejas, la forma en que dividen el dinero es: primero el Partido A recibe 10 yuanes, luego el Partido B recibe 10 yuanes, y así sucesivamente. Al final, quedaron menos de 10 yuanes y le tocó a B tomarlos. ¿Cuánto dinero distribuye el Partido A al Partido B en promedio (la segunda competencia por invitación de matemáticas de la escuela secundaria de la Copa Zu Chongzhi)?
Solución: El precio total de n ovejas es yuanes. Como se puede ver en la pregunta, el yuan contiene un número impar de 10 yuanes, es decir, las decenas del número cuadrado completo son impares. número. Si un número cuadrado perfecto tiene un dígito impar en las decenas, entonces su dígito de las unidades debe ser 6.
Por lo tanto, el último dígito de es 6, es decir, 6 yuanes es el último dígito tomado por B. Por lo tanto, para distribuir equitativamente, A debe proporcionar 2 yuanes a B.
[Ejemplo 9] : Rectángulo Las longitudes de los cuatro lados son todas números enteros menores que 10 (unidad: cm). Estas cuatro longitudes pueden formar un número de cuatro dígitos. Los dígitos de mil y centenas de este número de cuatro dígitos son iguales y estos cuatro dígitos son un número cuadrado completo. Encuentre el área de este rectángulo (Concurso de Matemáticas de Segundo Grado de la Copa Jinyun de 1986).
Solución: Sea las longitudes de los lados del rectángulo x, y, y luego cuatro dígitos.
∵N es un número cuadrado completo, 11 es un número primo ∴x+y se puede dividir entre 11.
Del mismo modo, x+y=11.
∴∴9x+1 es un número cuadrado perfecto y la verificación muestra que x=7 satisface la condición. X+y=11.
[Ejemplo 10]: Encuentra un número de cuatro dígitos para que sea igual a la cuarta potencia de la suma de sus números de cuatro dígitos, demostrando que este número es único.
Solución: Supongamos que el número de cuatro cifras que cumple con el significado de la pregunta es, entonces, ∴ es un número de cinco cifras, y ∴ es un número de tres cifras. Después del cálculo, solo uno es 2401.
[Ejemplo 11]: Encuentra el número natural n de modo que su valor esté formado por los números 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8, 8 y 9.
Solución: Evidentemente. Para facilitar la estimación, ampliamos el rango de variación a, es decir. ∵,∴.
Por otro lado, como se sabe que la suma de los nueve números es múltiplo de 3, entonces yn son ambos múltiplos de 3. De esta forma, n tiene sólo tres posibilidades: 24, 27, 30. Pero 30 tiene seis ceros al final, por lo que 30 no es tan bueno como debería ser. Planificado cuidadosamente
Por lo tanto, el número natural n = 27.
(4) Tema de discusión
1. (Preguntas de la OMI número 27 de 1986)
Supongamos que el entero positivo d no es igual a 2, 5, 13, Demuestre que en Se pueden encontrar dos elementos diferentes A y B en el conjunto {2, 5, 13, d}, por lo que ab -1 no es un número cuadrado perfecto.
2. Encuentra el valor máximo de k.