Composición geométrica "Primavera y Otoño Geométricos"
La geometría se originó en el río Nilo. En su práctica productiva, los antiguos egipcios lograron avances preliminares en geometría para inspeccionar la tierra, dividir los límites de los campos, construir proyectos de conservación del agua y construir edificios. En el siglo III a.C., el antiguo matemático griego Euclides utilizó el riguroso método de razonamiento lógico parcialmente adoptado por Eudoxo y Autolius Kush para recopilar, organizar y sistematizar el conocimiento geométrico, y lo compiló en un libro de fama mundial "Elementos de geometría", creando así Geometría euclidiana.
La geometría euclidiana abstrae los conceptos primitivos e indefinidos de puntos, líneas y superficies de los objetos objetivos. Las proposiciones geométricas indudables que los humanos han resumido en su vida social a largo plazo se han convertido en los llamados axiomas (o postulados) en la geometría euclidiana, como "dos puntos determinan una línea recta" y "el segmento de línea más corto entre dos puntos". . En 1899, Hilbert propuso el sistema de axiomas más satisfactorio de la época en su famoso libro "Principios de geometría". La geometría euclidiana parte de 23 definiciones, 5 postulados y 5 teoremas, organiza las proposiciones en orden lógico y utiliza métodos deductivos estrictos para probarlas. Poincaré creía que es hermoso poder derivar el mayor número de estructuras matemáticas a partir del menor número de premisas. Einstein admiraba mucho la "belleza" de la geometría euclidiana y dijo con emoción: "Si la geometría euclidiana no despertó tu entusiasmo creativo en tu infancia, entonces no eres un teórico".
Sin embargo, en el proceso A medida que avanza el desarrollo científico, los defectos de la geometría euclidiana se han vuelto cada vez más evidentes. Hay un "Quinto Postulado" en "Elementos de Geometría": Cuando dos líneas rectas son cortadas por una tercera línea recta, si la suma de los dos ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas se cruzan después de extenderse hacia ese lado. La extensión y vaguedad de este postulado despertaron sospechas, pero demostraron los sucesivos fracasos de su aplicación. D'Alembert lo llamó "los trapos sucios de los principios de la geometría".
En 1826, Lobachevsky anunció los resultados de su investigación en un artículo, que marcó el establecimiento de la geometría no euclidiana. Roche hizo una afirmación contraria al postulado de las paralelas de Euclides: hay al menos dos rectas paralelas a una recta conocida que pasan por un punto que no está en la recta conocida. Tomando esto como un axioma y combinándolo con otras proposiciones de la geometría euclidiana, nunca encontró una contradicción. Entonces llegó a dos conclusiones: (1) El quinto postulado no puede ser probado por otros axiomas y teoremas (2) Sobre la base de negar el postulado, se pueden desarrollar una serie de inferencias-teoremas que no contienen contradicciones para formar un Conjunto de teorías lógicas posibles. En esta nueva geometría, la suma de los ángulos interiores del triángulo será menor que 180.
Treinta años después, Riemann reemplazó el postulado de las paralelas por otra afirmación, es decir, es imposible derivar una línea recta fuera de la recta que no corte a la recta. A partir de esto, introdujo una nueva geometría no euclidiana: la geometría de Riemann. En geometría de Riemann, la suma de los ángulos interiores de un triángulo será mayor que 180. Entonces, ¿qué geometría se acerca más a la realidad? Las mediciones reales muestran que la geometría euclidiana es más consistente con la realidad objetiva, pero la teoría de la relatividad cree que la geometría euclidiana no es la forma más precisa de describir el espacio material. Cuál es mejor sólo se puede comprobar mediante la práctica.
Con el desarrollo de la geometría proyectiva, a finales del siglo XIX, la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana se unificaron en el sistema de la geometría proyectiva. Klein llamó a la geometría euclidiana "geometría parabólica", a la geometría de Roche "geometría hiperbólica" y a la geometría de Riemann "geometría elíptica". La geometría proyectiva nació durante el Renacimiento y se originó a partir de la teoría de la proyección de objetos sobre un plano. En 1822, Poncelieu aisló algunas propiedades especiales de las figuras geométricas como objetos de investigación, a las que llamó propiedades proyectivas. La geometría que estudia las propiedades proyectivas de las figuras es geometría proyectiva.
Al mismo tiempo que se producía la geometría proyectiva, Fermat y Descartes utilizaron con éxito métodos algebraicos para estudiar problemas geométricos y crearon la geometría analítica. El centro de la geometría analítica es conectar ecuaciones algebraicas con curvas y superficies, de modo que las figuras geométricas y el lenguaje algebraico puedan transformarse entre sí para lograr la unificación de números y formas.
Convierte un problema que no puede resolverse mediante métodos geométricos puros en una operación algebraica, lo que la hace relativamente fácil de resolver. La geometría analítica es resultado del álgebra simbólica. También establece y desarrolla el concepto de funciones, que es la base del cálculo.
El cálculo se desarrolló rápidamente en el siglo XVIII. En 1731 surgió la geometría diferencial. Esta geometría utiliza el análisis matemático y la topología diferencial como herramientas de investigación y analiza principalmente las propiedades de curvas y superficies suaves. La geometría diferencial tiene amplias aplicaciones en la física teórica, como la teoría de la gravedad, campos galgas, etc.
La teoría de conjuntos de puntos de Cantor amplió el alcance de las formas, y la topología de Poincaré hizo de la continuidad de las formas el objeto de la investigación geométrica: esto dio a la geometría un nuevo contenido. El explosivo desarrollo de las matemáticas modernas ha llevado al surgimiento de ramas de la geometría y a una apariencia completamente nueva. Nadie puede predecir cómo aparecerá la geometría del mañana frente a la gente.