Resumen de puntos de conocimiento matemático en el primer volumen de sexto grado

1. Multiplicación de fracciones

(1) Reglas de cálculo para la multiplicación de decimales:

1. Multiplicación de fracciones y números enteros: numeradores y números enteros. El producto de la multiplicación es el numerador y el denominador permanece sin cambios. (Divisores de enteros y denominadores)

2. Fracciones y multiplicación de fracciones: utilice el producto de los numeradores como numerador y el producto de los denominadores como denominador.

3. Para simplificar el cálculo, primero se restan los puntos que se pueden reducir y luego se calculan.

Nota: Al multiplicar por una fracción, la fracción debe convertirse en una fracción impropia antes del cálculo.

(2) Ley: (Cuando la multiplicación es relativamente grande)

Cuando un número (excepto 0) se multiplica por un número mayor que 1, el producto es mayor que este número .

Si un número (excepto 0) multiplicado por un número (excepto 0) es menor que 1, el producto es menor que este número.

Cuando un número (distinto de 0) se multiplica por 1, el producto es igual a este número.

(3) El orden de las operaciones con fracciones mixtas es el mismo que el de los números enteros.

(4) Las leyes conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación de números enteros también se aplican a la multiplicación fraccionaria.

Ley conmutativa de la multiplicación: a×b=b×a

Ley asociativa de la multiplicación: (a×b)×c=a×(b×c)

Ley distributiva de la multiplicación: (a+b) × c = AC+BCAC+BC = (a+b) × C

2. detalles)

(Sabiendo la cantidad (multiplicación) de la unidad "1", cuál es la fracción de la unidad "1")

1, encuentra la unidad "1": al frente de la tasa en la oración de tasa; o " "Ten en cuenta", "es" y "proporción"

2. Encuentra los múltiplos de un número: un número × varias veces; encuentra la fracción de un número : un número ×.

3. Consejos para escribir relaciones cuantitativas:

(1) "的" equivale a "x" (signo de multiplicación).

“Cuenta”, “es”, “ratio” y “equivalente” equivalen a “=" (signo igual).

(2) Antes de puntuar, es "sí":

El número de unidades "1" × puntuación = el número correspondiente a la puntuación.

(3) Antes de fracción, significa "más o menos":

El número de unidades "1" × (1 fracción) = el número correspondiente de fracciones.

Segundo, división fraccionaria

(1) Cuenta regresiva

El significado de 1 y recíprocos: dos números cuyo producto es 1 son recíprocos entre sí.

Énfasis: Recíproco, es decir, el recíproco es la relación entre dos números. Son interdependientes y la reciprocidad no puede existir por sí sola. (Deje en claro quién es la cuenta regresiva de quién).

2. Cómo encontrar el recíproco: (No escribas un signo igual entre el número original y el recíproco)

(1) Encuentra el recíproco de una fracción: intercambia las posiciones del numerador y denominador.

(2) Encuentra el recíproco de un número entero: trata un número entero como una fracción con un denominador de 1 y luego intercambia las posiciones de los denominadores del numerador.

(3) Encuentra el recíproco de la fracción de banda: convierte la fracción de banda en una fracción impropia y luego encuentra el recíproco.

(4) Encuentra el recíproco de un decimal: convierte el decimal en una fracción y luego encuentra el recíproco.

3. Debido a que 1×1=1, el recíproco de 1 es 1;

Como no hay ningún número que pueda multiplicarse por 0 para obtener 1, no hay recíproco.

4. Para cualquier número a (a≠0), su recíproco es 1/a; el recíproco del entero distinto de cero es 1/a; /b;

5. El recíproco de una puntuación verdadera es mayor que 1; el recíproco de una puntuación falsa es menor o igual a 1;

(2) División fraccionaria

1. El significado de la división decimal:

El significado de la división fraccionaria y la división entera se refieren al mismo. conocer la suma de dos factores. El producto de uno de los factores se utiliza para encontrar la operación del otro factor.

2. Reglas de cálculo de la división fraccionaria: dividir por un número que no es 0 es igual a multiplicar por el recíproco de este número.

3. Regularidad (cuando la división de fracciones es relativamente grande):

(1) Cuando el divisor es mayor que 1, el cociente es menor que el dividendo;

(2) Cuando el divisor es menor que 1 (no igual a 0), el cociente es mayor que el dividendo;

(3) Cuando el divisor es igual a 1, el cociente es igual a el dividendo.

4. "[]" se llaman corchetes.

En una ecuación, si hay paréntesis y paréntesis, cuente primero los paréntesis y luego los paréntesis.

(3) Resolución de problemas de división fraccionaria (consulte el desglose de los puntos importantes y difíciles para obtener más detalles)

(Número desconocido de la unidad "1") (división por división): número conocido de la unidad "1" ¿Una parte? Encuentre el número de unidades "1". )

1, la relación entre cantidad y multiplicación decimal es la misma:

(1) "está" antes de la fracción:

La unidad es "1 "Cantidad × fracción = cantidad correspondiente a la fracción.

(2) Antes de fracción, significa "más o menos":

El número de unidades "1" × (1 fracción) = el número correspondiente a la fracción.

2. Solución: (Sugerencia: usar ecuaciones para resolver)

Ecuación (1): Establezca la cantidad desconocida como x según la relación cuantitativa y use ecuaciones para resolver.

(2) Aritmética (división): La cantidad correspondiente a la fracción ÷ la fracción correspondiente = la cantidad de la unidad "1".

3. Encuentra la fracción de un número a otro: usa solo un número para representar el otro número.

4. Descubre cuánto más (menos) es un número que otro:

① Encuentra una fracción más: número grande ÷ decimal – 1.

②Encuentra el decimal: 1-Decimal ÷Número grande

O (1) Encuentra una fracción (Número grande-Decimal)÷Decimal.

② Encuentra la fracción: (número grande - decimal) ÷ ​​​​número grande.

(4) Razón y aplicación de la razón

1. El significado de la razón: La división de dos números también se llama razón de dos números.

2. En la razón de dos números, el número antes del signo de comparación se llama término anterior de la razón, y el número después del signo de comparación se llama último término de la razón. El cociente obtenido al dividir el término anterior por el último se llama razón (la razón generalmente se expresa como una fracción, pero también se puede expresar como un decimal o un número entero).

Por ejemplo

15 : 10 = 15÷10=1.5

∶ ∶ ∶ ∶

La diferencia entre el elemento anterior y la siguiente proporción del artículo.

3. La razón puede expresar la relación entre dos cantidades idénticas, es decir, una relación múltiple. También puedes expresar una nueva cantidad como la razón de dos cantidades diferentes.

Por ejemplo: distancia-velocidad=tiempo.

4. Tasa de discriminación y razón

Razón: expresa la relación entre dos números, que puede escribirse como una razón o como una fracción.

Razón: equivalente a un cociente, es un número, que puede ser un número entero, una fracción o un decimal.

5. Según la relación entre fracciones y división, la razón de dos números también se puede escribir como fracción.

6. La relación entre razón, división y fracciones:

7. La diferencia entre razón, división y fracciones: la división es una operación, la fracción es un número y la razón. Representa dos números.

8. Según la relación entre razón, división y fracciones, se puede entender que el último término de la razón no puede ser 0.

En un partido deportivo, el marcador entre los dos equipos es 2:0. Esto es sólo una forma de puntuación y no representa la relación entre la división de dos números.

(5) Propiedades básicas de la razón

1. Según la relación entre razón, división y fracción:

La propiedad del cociente constante: dividendo y divisor se dividen simultáneamente Cuando se multiplica o divide el mismo número (excepto 0), el cociente permanece sin cambios.

Propiedades básicas de las fracciones: Cuando el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número al mismo tiempo (excepto 0), el valor de la fracción permanece sin cambios.

Propiedades básicas de las razones: Si el primer y último término de una razón se multiplican o dividen por el mismo número al mismo tiempo (excepto 0), la razón permanece sin cambios.

2. La razón entera más simple: El primer y último término de la razón son tanto enteros como números primos, por lo que esta razón es la razón entera más simple.

3. De acuerdo con las propiedades básicas de la razón, la razón se puede reducir a la razón entera más simple.

4. Simplifica razones:

(1) Usa las propiedades básicas de las razones para simplificar

① Divide el primer y último término de la razón por su común. factor.

②La razón de dos fracciones: Multiplica el último término del párrafo anterior por el mínimo común múltiplo del denominador al mismo tiempo, y luego simplificalo simplificando la razón de números enteros.

③La proporción de dos decimales: mueva la posición del punto decimal hacia la derecha, primero cámbiela a una proporción entera y luego simplifique.

(2) Utilice el método de cálculo de la proporción. Nota: El resultado final debe escribirse en forma de proporción.

5. Distribución proporcional: Distribuir una cantidad según una determinada proporción.

Este método suele denominarse asignación proporcional.

Si se conoce la razón de dos cantidades, sean las dos cantidades respectivamente.

6. La distancia es cierta y la relación de velocidad es inversamente proporcional a la relación de tiempo. (Por ejemplo, para la misma distancia, la relación de velocidad es 4:5 y la relación de tiempo es 5:4)

La cantidad total de trabajo es cierta y la eficiencia del trabajo es inversamente proporcional al tiempo de trabajo.

(Por ejemplo, la cantidad total de trabajo es la misma, la proporción de tiempo de trabajo es 3:2 y la proporción de eficiencia laboral es 2:3)

Tres. Porcentaje

(1) El significado y método de escritura del porcentaje

1 El significado del porcentaje: significa que un número es un porcentaje de otro número.

El porcentaje se refiere a la proporción de dos números, por eso también se le llama porcentaje o porcentaje.

2. Las principales conexiones y diferencias entre porcentajes y puntuaciones:

(1) Conexión: Ambos pueden expresar la relación de proporción entre dos cantidades.

(2) Diferencias:

①Diferentes significados: el porcentaje solo representa la razón múltiplo de dos números y no puede representar una cantidad específica, por lo que no se puede tomar con una unidad;

p>

Una fracción puede representar un número específico o la relación entre dos números. Significa que puede tener unidades cuando tiene un número.

②El numerador de un porcentaje puede ser un número entero o un decimal;

El numerador de una fracción no puede ser un decimal, solo puede ser un número natural distinto de 0.

3. Cómo escribir porcentajes: Normalmente no se escriben en forma de fracciones, sino que se expresan añadiendo "%" después de la molécula original.

(B) Intercambio de porcentajes y decimales:

1. Los decimales se convierten en porcentajes: mueva el punto decimal dos lugares a la derecha y agregue cientos de puntos y coma después.

2. Porcentaje decimal: Mueva el punto decimal dos lugares hacia la izquierda y elimine el signo de porcentaje.

(C) Porcentajes y fracciones recíprocos

1, número de componente porcentual:

Primero divida el porcentaje en componentes y luego reescriba el porcentaje en una fracción de 100, puedes reducirlo a su fracción más simple.

2. Fracciones como porcentajes:

(1) Usa las propiedades básicas de las fracciones para agrandar o reducir el denominador de la fracción y escribe la fracción cuya madre es 100 en un porcentaje. .

(2) Convierta la fracción en un decimal (normalmente se conservan tres decimales excepto el infinito) y luego convierta el decimal en un porcentaje.

(D) Conversión entre fracciones ordinarias, decimales y porcentajes.

Parte 2 Gráficos y geometría

Círculos

Primero, comprenda los círculos

Definición de un círculo: un círculo se compone de. una curva rodeada de figuras planas.

2. Centro del círculo: Dobla una hoja de papel circular por la mitad dos veces, y el punto donde los pliegues se cruzan en el centro del círculo se llama centro del círculo.

Suele representarse por la letra o. Su distancia desde cualquier punto del círculo es igual.

3. Radio: El segmento de recta que conecta el centro del círculo y cualquier punto del círculo se llama radio. Generalmente representado por la letra r.

Separa las dos patas del compás. La distancia entre las dos patas es el radio del círculo.

4. Diámetro: El segmento de recta cuyos dos extremos pasan por el centro del círculo se llama diámetro. Generalmente representado por la letra d.

El diámetro es el segmento más largo del círculo.

5. El centro del círculo determina la posición del círculo y el radio determina el tamaño del círculo.

6. En un mismo círculo o círculo igual, existen innumerables radios e innumerables diámetros. Todos los radios son iguales y todos los diámetros son iguales.

7. En círculos iguales o iguales, la longitud del diámetro es el doble del radio, y la longitud del radio es el diámetro.

Usa letras para expresar: d=2r o r=d/2.

8. Figuras axisimétricas:

Si una figura se dobla por la mitad siguiendo una línea recta y las figuras de ambos lados pueden superponerse completamente, la figura es axialmente simétrica.

La línea recta donde se sitúa el pliegue se llama eje de simetría. (Cualquier línea recta que pase por el centro de un círculo o una línea recta con un diámetro)

9. Los rectángulos, los cuadrados y los círculos son figuras simétricas y todos tienen ejes de simetría. Estas figuras son todas figuras axialmente simétricas.

10. Sólo 1. Las figuras con eje de simetría incluyen ángulos, triángulos isósceles, trapecios isósceles, sectores y semicírculos.

Una figura con sólo dos ejes de simetría es un rectángulo.

Una figura con sólo tres ejes de simetría es un triángulo equilátero.

Una figura que tiene sólo cuatro ejes de simetría es un cuadrado.

Los gráficos con innumerables ejes de simetría incluyen: círculos y anillos.

En segundo lugar, la circunferencia del círculo

1. La circunferencia del círculo: La longitud de la curva que rodea el círculo se llama circunferencia del círculo. Está representado por la letra c.

2. Experimento Pi:

Haz una marca en el papel circular, alinéalo con la marca 0 de la regla y gíralo una vez sobre la regla para encontrar la circunferencia de la regla. círculo. Se encontró que la regla general es que la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es un número fijo (π).

3. Pi: La relación entre la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo es un número fijo, al que llamamos pi. Representado por la letra π (pai).

(1) La circunferencia de un círculo es siempre mayor que tres veces su diámetro. Esta relación es un número fijo. Pi π es un decimal infinito y no periódico. En el cálculo, generalmente se toma π ≈ 3,14.

(2) Al juzgar, la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es π veces, no 3,14 veces.

(3) La primera persona en el mundo en calcular pi fue el matemático chino Zu Chongzhi.

4. Fórmula para la circunferencia de un círculo.

5. Dibuja un círculo en el cuadrado. El diámetro del círculo es igual a la longitud del lado del cuadrado.

Dibuja un círculo dentro del rectángulo. El diámetro del círculo es igual al ancho del rectángulo.

6. Distinguir entre la circunferencia de un semicírculo y la circunferencia de un semicírculo:

(1) Semicircunferencia: igual a la circunferencia de un círculo ÷2.

Método de cálculo: 2πr÷2 es πr.

(2) La circunferencia de un semicírculo: igual a la mitad de la circunferencia más el diámetro.

Método de cálculo: πr+2r

En tercer lugar, el área del círculo

1. El área del círculo: el tamaño del El plano ocupado por el círculo se llama área del círculo. Está representado por la letra s.

2. Una figura encerrada por un arco y dos radios que pasan por ambos extremos del arco se llama sector. El ángulo del vértice en el centro del círculo se llama ángulo central.

3. Derivación de la fórmula del área del círculo:

(1), a medida que la idea de transformación se acerca gradualmente: refleja el círculo en un cuadrado, convierte la curva en una línea recta; lo nuevo en viejo, convertir lo desconocido en conocido, lo complejo en simple y lo abstracto en concreto.

(2) Cuantos más sectores (números pares) se divida un círculo, más cerca estará la imagen del mosaico de un rectángulo.

(3) La relación entre los gráficos detallados y la circunferencia y el radio del círculo.

4. El área del anillo:

Un anillo, el radio del círculo exterior es R, el radio del círculo interior es R, (R=r+ el ancho del anillo.)

s anillo = πR? -¿r? O

La fórmula para el área de un anillo: s anillo = π (R?-r?).

5. Cuantas veces el radio de un círculo se expande o se contrae, el diámetro y la circunferencia también se expanden o contraen en el mismo múltiplo.

Y el área se expande o contrae en un múltiplo de ese múltiplo.

Por ejemplo:

Para el mismo círculo, el radio se expande tres veces, el diámetro y la circunferencia se expanden tres veces y el área se expande nueve veces.

6. Dos círculos: relación de radio = relación de diámetro = relación de circunferencia y la relación de área es igual al cuadrado de esta relación.

Por ejemplo:

La relación de radio de los dos círculos es 2:3, por lo que la relación de diámetro y la relación de circunferencia de los dos círculos son 2:3, y la relación de área es 4:9.

7. La relación entre el área de cualquier cuadrado y su círculo inscrito es un valor fijo, es decir, 4:π.

8. Cuando los perímetros del rectángulo, cuadrado y círculo son iguales, las áreas del círculo y del cuadrado están en el medio, y el área del rectángulo es la más pequeña. Por el contrario, cuando las áreas son iguales, el rectángulo tiene la circunferencia más larga, el cuadrado está en el medio y el círculo tiene la circunferencia más corta.

9. Determinar la línea de salida:

(1), la longitud de cada pista = la circunferencia del círculo formado por las dos pistas semicirculares + la longitud de las dos rectas.

(2) Las líneas rectas de cada pista tienen la misma longitud y la circunferencia de cada círculo determina la longitud total de cada pista. (Entonces las líneas de salida son diferentes)

(3) La distancia entre cada dos pistas adyacentes es 2×π×ancho de pista.

(4) Cada vez que el radio de un círculo aumenta en un centímetro, su circunferencia aumenta en 2πa centímetros; cuando el diámetro de un círculo aumenta en un centímetro, su circunferencia aumenta en πa centímetros.

11, resultados del valor π de uso común:

2π = 6,28 3π = 9,42

4π = 12,56 5π = 15,7

6π = 18,84 7π = 21,98

8π = 25,12 9π = 28,26

10π = 31,4 16π = 50,24

25π = 78,5 36π = 113,04

64π = 200,96 96π = 301,44

Gráfico de estadísticas de fans

1. El significado del gráfico de fans:

El número total está representado por el área de todo el círculo, y el número parcial y el número total son La relación está representada por el área de cada sector dentro del círculo.

Es decir, el porcentaje de cada parte en el total (por eso también se llama tabla de porcentajes).

2. Ventajas de los gráficos estadísticos de uso común:

1. Gráfico de barras: puede ver claramente las cantidades de varias cantidades.

2. Gráfico de líneas: No solo podemos ver las cantidades de varias cantidades, sino que también podemos ver claramente el aumento o disminución de las cantidades.

3. Cuadro de estadísticas del departamento: puede reflejar claramente la relación entre la cantidad de cada pieza y la cantidad total.

3. El tamaño del sector: En el mismo círculo, el tamaño del sector está relacionado con el tamaño del ángulo central del sector. Cuanto mayor sea el ángulo central, mayor será el sector. (Entonces, el porcentaje del área del sector respecto del área del círculo es el porcentaje del ángulo central del sector respecto del ángulo circunferencial).